Inżynierskie zastosowania statystyki — ćwiczenia

Inżynierskie zastosowania statystyki — ćwiczenia
Temat 5: Estymacja przedziałowa, testowanie hipotez
1. Z rozkładu N (m, σ 2 ) wylosowano 4 zmienne: 7,9,10,8. Na poziomie istotności α = 0, 05 zbadać hipotezę,
że wartość oczekiwana wynosi 10.
2. Zbadano opór 121 rezystorów. Otrzymano średnią µ = 122 Ω i odchylenie standardowe σ = 43 Ω. Zbuduj
przedział ufności dla średniej na poziomie ufności 99%.
3. Dla danych −0.05, 0.01, 0.15, 0.09, oszacować na poziomie ufności 1 − α = 0.9 wartość oczekiwaną przyjmując, że rozkład jest normalny oraz σ = 0.4. Jak zmieni się przedział ufności, jeśli przy tych samych
danych nie będziemy znać parametru σ?
4. Rozmiar prefabrykatów produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny. Trzy wylosowane
prefabrykaty miały rozmiary: 223.1, 223.0 oraz 223.2 milimetrów. Z jakim poziomem istotności można
podać, że prefabrykaty mają rozmiar 223 mm?
5. Z populacji o rozkładzie normalnych pobrano 4-elementową próbę: 2.23, 2.65, 2.83, 3.11. Na poziomie istotności 0.1 zweryfikować hipotezę, że µ = 2.5 przeciw hipotezie alternatywnej µ 6= 2.5.
6. Podczas 100 ważeń próbnych stwierdzono, że wagi zawyża zmierzoną wartość o średnio 0.01g, z wariancją
0.001 g2 . Podaj p-wartość dla hipotezy, że waga jest prawidłowo zbilansowana.
7. Przyjmując, że średnice śrub pochodzących z masowej produkcji mają rozkład normalny, w którym znane
jest odchylenie standardowe σ = 0.2mm, na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę H0 : m =
10mm przeciwko hipotezie H1 : m < 10mm w oparciu o następujące wyniki pomiarów 5 przypadkowo
wybranych śrub:
9.81, 9.89, 9.49, 9.93, 9.78.
8. Z populacji o rozkładzie normalnych pobrano 4-elementową próbę: 2.32, 2.56, 2.91, 3.01. Na poziomie istotności 0.1 zweryfikować hipotezę, że m = 2.5 przeciw hipotezie alternatywnej m 6= 2.5.
9. Z n = 50 prób wyznaczono X̄ = 2.6 i s2 = 0.045. Na poziomie istotności 0.1 zweryfikować hipotezę, że
m = 2.5 przeciw hipotezie alternatywnej m > 2.5.
10. Wyniki sondaży przedwyborczych podawane są z dokładnością do pojedynczych procentów. Podaj ile osób
należy przepytać w losowej próbie, aby na poziomie ufności 1 − α = 99% być pewnym, że otrzymało się
wynik z wymaganą dokładnością.
11. Dla danych 0.04, 0.09, 0.31, 0.26, 0.10 pochodzących z rozkładu normalnego N (µ, σ) oszacować na poziomie ufności 1 − α = 0.95 odchylenie standardowe σ przyjmując µ = 0.15. Jak zmieni się przedział ufności
dla odchylenia standardowego, jeśli założymy, że µ jest nieznane?
12. Na podstawie próby losowej 120 jednokilogramowych opakowań cukru, zważonych w pewnej hurtowni spożywczej, otrzymano średnią na poziomie 0,96 kg i odchylenie standardowe 0,01. Przyjmując współczynnik
ufności na poziomie α = 0, 90 zbuduj przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego rozkładu
wagi wszystkich jednokilogramowych opakowań cukru w danej hurtowni.
13. Badanie ceny jednego z popularnych produktów zostało przeprowadzone w 40 losowo wybranych sklepach.
Obliczono, że średnia z odczytanych cen produktów wynosiła 2 złote i 34 grosze, a odchylenie standardowe było równe 23 grosze. Podaj przedział ufności dla średniej oraz odchylenia standardowego dla ceny
produktu na poziomie istotności α = 10%.
14. Z próby 10-elementowej w populacji o rozkładzie normalnym obliczono s2 = 0.045. Czy na poziomie
istotności α = 0.01 można twierdzić, że σ 2 = 0.04?
15. Dla siedmiu otrzymanych wyników pomiarowych obliczono średnią m = 12, 11 oraz wariancję S 2 = 3, 16.
Na poziomie istotności α = 1% zweryfikuj hipotezę zerową H0 : σ 2 = π przeciwko hipotezie H1 : σ 2 > π,
podaj p-wartość.
16. Z n = 36 prób wyznaczono x̄ = 1.32 oraz s2 = 0.04. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę
H0 , że σ = 0.23 przeciwko hipotezie H1 : σ 6= 0.23.
17. Dla danych pochodzących z rozkładu wykładniczego obliczono, że czas świecenia żarówki w grupie 100
wylosowanych żarówek ma odchylenie standardowe z próby równe S = 200h. Oszacować na poziomie
ufności 1 − α = 0.9 przedział ufności odchylenia standardowego czasu świecenia dla tych żarówek?
18. Pięciokrotne pomiary oporu przeprowadzone na jednym rezystorze dały następujące wyniki: 22.3, 22.4,
22.6, 22.0 oraz 23 omów. Wiedząc że błąd omomierza ma rozkład normalny podaj poziom ufności, z
którym można powiedzieć, że omomierz ma dokładność jednego oma.
19. Zmienne X1 , . . . , Xn są niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu Poissona o nieznanym parametrze
λ > 0, o gęstości
e−λ λk
fλ (Xi = k) =
dla k ∈ N.
k!
Niech λ0 = 10, n = 200, ni=1 Xi = 2085. Na poziomie istotności α = 5% przetestuj czy hipoteza
H0 : λ ­ λ0 powinna zostać odrzucona. Podaj wyliczoną p-wartość.
P
20. Zmienne X1 , . . . , Xn są niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu wykładniczego o nieznanym parametrze θ > 0. Jego związek z wartością średnią jest następujący: EXi = θ−1 .
Rozważmy test z hipotezą zerową H0 : µ ¬ µ0 przeciwko H1 : µ > µ0 . Przedziałem odrzucenia dla tego
testu na poziomie istotności α jest
µ0 c1−α
X̄ ­
,
2n
gdzie c1−α będzie kwantylem rzędu (1 − α) z rozkładu χ2 o 2n stopniach swobody.
Przeprowadź test dla µ0 = 25, oblicz p-wartość oraz zinterpretuj wynik dla następującej próby:
3, 150, 40, 34, 32, 37, 34, 2, 31, 6, 5, 14, 150, 27, 4, 6, 27, 10, 30, 37.
21. Testy kliniczne przeprowadzane są na poziomie ufności 95%. Badacze testują w ten sposób każdą z 30
substancji, która może okazać się lekarstwem na pewną chorobę. Czy wynik takich eksperymentów jest
wiarygodny? Oblicz prawdopodobieństwo popełnienia błędu, gdy w rzeczywistości żadna z substancji nie
jest lekarstwem.
22. Zmienne X1 , . . . , Xn są niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu jednostajnego dyskretnego U (0, θ),
gdzie θ ∈ N jest nieznanym parametrem. Największą spośród Xi oznaczmy jako Xmax . Wiedząc, że Xmax
θ
nie zależy od θ pokaż, że
Xmax
Xmax
,
(1 − α/2)1/n (α/2)1/n
jest przedziałem ufności na poziomie (1 − α) dla θ.
23. Zmienne Xi są niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu N (m, σ 2 ), gdzie m i σ nie są znane. Pokaż,
że przedział
"
#
n−1
n−1 2
2
s (Xi ), 2
s (Xi )
χ2n−1,1−α/2
χn−1,α/2
jest przedziałem ufności na poziomie 1 − α dla σ 2 , s2 jest nieobciążonym estymatorem wariancji, a χ2n,a
kwantylem rzędu a dla zmiennej z rozkładu χ2 o n stopniach swobody.
24. Dane są dwie niezależne próby losowe: X1 , . . . , Xn oraz Y1 , . . . , Ym , gdzie Xi ∼ Exp(θ) i Yi ∼ Exp(λ).
Otrzymaj statystykę ilorazu wiarogodności dla hipotezy zerowej H0 : θ = λ przeciwko H1 : θ 6= λ
25. Zmienne X1 , . . . , Xn są niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu wykładniczego o nieznanym parametrze θ > 0, o gęstości
fθ (Xi = x) = θe−θx 1(0,∞) (x).
Oznaczając najmniejszą wartość spośród Xi jako Xmin pokaż, że
− ln(1 − α/2) − ln(α/2)
,
nXmin
nXmin
jest przedziałem ufności na poziomie (1 − α) dla parametru θ.
26. W m = 4 losowo wybranych punktach zmierzono grubość pewnej płytki metalowej otrzymując x̄ =
0.511mm oraz Sx2 = 0.03mm. Następnie płytkę poddano obróbce chemicznej i ponownie zmierzono jej
grubość w n = 9 losowo wybranych punktach, otrzymując ȳ = 0.449mm i Sy2 = 0.02mm. Przyjmując
poziom istotności α = 0.05 sprawdzić hipotezę, że grubość płytki nie zmieniła się podczas obróbki.
27. Zmierzono średnie spalanie paliwa na 100km w samochodach pewnej marki. Przetestowano auta pochodzące z dwóch roczników: n1 = 30 samochodów wyprodukowanych w 2009 roku i otrzymano średnie
spalanie na poziomie m1 = 5.6 l/100 km przy odchyleniu standardowym σ1 = 1.1 l/100 km oraz n2 = 100
samochodów wyprodukowanych w 2010 roku i otrzymano średnie spalanie na poziomie m2 = 5.3l/100 km
przy odchyleniu standardowym σ2 = 1.3 l/100 km. Zweryfikować na poziomie istotności 5% hipotezę, czy
auta wyprodukowane później mają istotnie mniejsze średnie spalanie paliwa?
28. Zmienne Xi pochodzą z rozkładu N (mx , σ 2 ), a niezależne zmienne Yi z rozkładu N (my , σ 2 ), gdzie σ = 2, 5.
Zmierzone średnie wynosiły x̄ = 3.55 i ȳ = 3.65. Zweryfikuj hipotezę H0 : mx = my na poziomie istotności
α = 1%. Liczności obu prób wynosiły odpowiednio 200 i 250.
29. Pewien stary drwal w ciągu dnia ściął 50 drzew o średniej wysokości 15.23 m i wariancji 0.67 m2 , w
tym samym czasie jego młodszy kolega ściął w 40 drzew, których średnia wysokość wynosiła 15.42 m, a
wariancja 1.23 m2 . Podaj p-wartość dla hipotezy, że drzewa ścięte przez młodszego drwala były średnio
wyższe.
30. W 4 paczkach chipsów firmy A było odpowiednio 350, 410, 290, 450 sztuk chipsów, a w 5 paczkach
chipsów firmy B było odpowiednio 210, 320, 440, 230, 400 sztuk chipsów. Na poziomie istotności α = 0.1
zweryfikować hipotezę H0 : σ1 = σ2 , że w obu populacjach utrzymany jest ten sam poziom odchylenia
standardowego liczby chipsów względem hipotezy alternatywnej H1 : σ1 < σ2 , że w drugiej populacji jest
znacząco wyższy poziom odchylenia standardowego liczby chipsów w stosunku do pierwszej populacji.
31. Na pewnej górskiej drodze mierzono średnią prędkość przejazdu. W styczniu 2013 roku zbadano próbę
złożoną ze 100 kierowców i otrzymano, że kierowcy jechali przeciętnie z prędkością m1 = 40 km/h przy
odchyleniu standardowym z próby wynoszącym S1 = 20 km/h, a w styczniu 2014 roku zbadano próbę
złożoną z 50 kierowców i tym razem otrzymano, że kierowcy jechali przeciętnie z prędkością m2 = 48 km/h
przy odchyleniu standardowym z próby wynoszącym S2 = 16 km/h. Na poziomie istotności α = 0.05
zweryfikować hipotezę H0 : σ1 = σ2 , że w obu populacjach utrzymany jest ten sam poziom odchylenia
standardowego prędkości jazdy kierowców po wybranej drodze względem hipotezy alternatywnej H1 :
σ1 > σ2 . Podaj p-wartość.