Lista 1

Lista 1. zadań ze statystyki w biznesie dla II roku SNE(3), rok akademicki 2015/16
1. W badaniu dziennej wydajności pracy w pewnym zakładzie w kolejnych 3 latach otrzymano
następujące wyniki:
Wydajność w sztukach
20-40
40-60
60-80
80-100 100-120
Liczba pracowników (rok 2013)
10
30
70
70
20
Liczba pracowników (rok 2014)
20
30
50
70
30
Liczba pracowników (rok 2015)
0
0
70
100
30
Narysuj histogramy częstości względnych i prawdopodobieństwa w kolejnych latach i dokonaj
analizy zaobserwowanych zmian.
2. Rzucamy 4 razy monetą, każda czwórka wyników jest jednakowo prawdopodobna i jest
zdarzeniem elementarnym w takim eksperymencie. Wypisać wszystkie wyniki rzutów a
następnie obliczyć prawdopodobieństwa, że w 4 rzutach wypadnie dokładnie 0, 1, 2 ,3 ,4 orły.
3. Egzamin polega na odpowiedzi na 8 pytań testowych z czterema możliwymi odpowiedziami,
z których tylko jedna jest prawdziwa. Warunkiem zdania egzaminu jest podanie przynajmniej 5
poprawnych odpowiedzi. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez
nieprzygotowanego studenta, który losowo odpowiada na pytania egzaminacyjne?
4.
Dany
jest
rozkład
prawdopodobieństwa
pewnej
zmiennej
losowej
P( X  5)  0,1; P( X  1)  0,25; P( X  0)  0,3; P( X  2)  0,25; P( X  4)  0,1.
skokowej:
Znaleźć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
5. Zbadano średni czas tygodniowej samodzielnej pracy w ciągu tygodnia grupy 20 studentów i
otrzymano następujące odpowiedzi: 29, 30, 18, 10, 9, 15, 25, 14, 26, 28, 9, 16, 13, 10, 20, 21, 24
25, 26, 28. a) Zaznaczyć wyniki obserwacji na osi liczbowej a następnie obliczyć średnią
arytmetyczną i medianę, które też należy nanieść na wykres. b) obliczyć odchylenie standardowe
i nanieść przedział dwóch odchyleń standardowych wokół średniej. c) Wyznaczyć kwartyle i
odstęp międzykwartylowy. d) Wykonać wykres pudełkowy.
6. Firma ubezpieczeniowa ocenia, że każdego roku 2% ubezpieczonych ulega wypadkowi w
pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym roku firma wypłaci odszkodowanie więcej
niż trzy razy, jeżeli ubezpieczyło się w niej od wypadku 150 osób? Wyznacz oczekiwaną liczbę
wypłaconych odszkodowań.
7. Zmienna Z ma rozkład N(0,1). Obliczyć P( Z  2,3 ), P( Z  1,25 ), P( Z  1 ), P( Z  0,95 ),
P(0,5  Z  0,45) , P(1,5  Z  0,35) .
8. Wykorzystać pakiet gretl do zbadania wpływu parametrów na badany rozkład. W tym celu
narysować
a) rozkład dwumianowy o ustalonym prawdopodobieństwie sukcesu (p = 0,01; 0,05; 0,1) i
liczebności próby odpowiednio 5, 10, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 100.
b) rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą odpowiednio 0,5; 1; 1,5; 2; 5; 10; 20; 30;
50.
Zinterpretować w jaki sposób parametry wpływają na rozkład dwumianowy i rozkład Poissona.
9. Wykorzystać pakiet gretl do zbadania zbieżności rozkładu dwumianowego do rozkładu
Poissona i normalnego. Narysować na jednym wykresie rozkład dwumianowy, Poissona i
normalny jeśli:
a) n  10 i p  0,01
b) n  20 i p  0,01
c) n  25 i p  0,01 d) n  30 i p  0,01 e)
n  100 i p  0,01 f) n  10 i p  0,1 g) n  20 i p  0,1 h) n  30 i p  0,1 i) n  100 i
p  0,1 .
1. Wylosowano 300 mieszkań we Wrocławiu, w 215 przypadkach mieszkania te były
wyposażone w telefon stacjonarny. Na poziomie istotności   0,05 zweryfikować hipotezę H,
że frakcja mieszkań we Wrocławiu posiadających telefon stacjonarny jest równa 0,7.
2. W celu porównania poziomu wynagrodzenia w dwóch województwach: dolnośląskim i
opolskim zapytano 15 osób o ich wynagrodzenie w październiku 2013r. Otrzymano następujące
wyniki dotyczące wynagrodzenia (tys. zł) osób pracujących w województwie opolskim:
2,9 3,5 3,7 3,4 3,3 4,4 3,0 4,5 1,9 3,4 4,3 4,6 3,0 3,7 2,8
Wiadomo, że średnie wynagrodzenie w województwie dolnośląskim wyniosło 3,9 tys. zł z
odchyleniem standardowym równym 1,2 tys. zł. Poziom wynagrodzenia jest zmienną losową o
rozkładzie normalnym.
a) Czy słuszne jest przypuszczenie, że przeciętne wynagrodzenie w województwie
dolnośląskim jest wyższe od przeciętnego wynagrodzenia w województwie opolskim
(   0,05 )?
b) Czy na poziomie istotności 0.05 można przyjąć hipotezę o jednakowych poziomach
średniego wynagrodzenia w obu województwach?
3. Na egzaminie wstępnym z matematyki na wyższą uczelnie spośród 705 absolwentów
techników 450 nie rozwiązało pewnego zadania, natomiast na 1320 absolwentów liceów
ogólnokształcących nie rozwiązało tego zadania 517 kandydatów. Na poziomie istotności
równym 0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowym stopniu opracowania tej części materiału,
którego dotyczyło zadania przez absolwentów obu typów szkół, jeśli hipotezą alternatywną jest
hipoteza, że absolwenci techników byli słabiej przygotowani z tej partii materiału.
4. Piętnaście losowo wybranych rodzin dwukrotnie zapytano o miesięczne wydatki na leki: raz
w roku 2010, a następnie w 2014 roku. Średnia wartość różnic wynosi -30 złotych przy
odchyleniu standardowym 10. Czy na tej podstawie da się stwierdzić, że:
a)
hipotezę o jednakowym poziomie wydatków można zweryfikować za pomocą testu
Studenta dla prób niezależnych
b)
na poziomie istotności 0.05 można odrzucić hipotezę o jednakowych
oczekiwanych wydatkach na leki
c)
można być pewnym, że reforma nie zmieniła wydatków rodzin na leki w skali
całego kraju.
5. Zbadano wiek pracowników w dwóch przedsiębiorstwach A i B i otrzymano wyniki:
Wiek pracownika (w latach)
20-30 30-40 40-50 50-60
Liczba pracowników w A
15
25
30
30
Liczba pracowników w B
10
30
45
15
a) Czy można uważać, że 80% pracowników w przedsiębiorstwie B jest w wieku 30 do 50 lat?
Przyjąć poziom istotności   0,01.
b) Czy można uważać, że odsetek pracowników w przedsiębiorstwach A i B w wieku do 30 lat
jest jednakowy? Przyjąć poziom istotności   0,05.
9. W celu porównania przeciętnej płacy miesięcznej mężczyzn i kobiet, wśród osób pracujących
w Polsce, wylosowano 25 mężczyzn i 22 kobiety i zbadano ich płace. Okazało się, że dla
mężczyzn średnia wyniosła 4350zł z odchyleniem standardowym 485 zł, a dla kobiet
odpowiednio 3950z i 450zł. Czy słuszne jest przypuszczenie, że płace kobiet w Polsce są niższe
od płac mężczyzn?
10.W próbie obejmującej 100 wylosowanych mieszkań we Wrocławiu okazało się, że 84
mieszkania ma centralne ogrzewania. Na poziomie istotności 0,95 wyznaczyć przedział
ufności dla frakcji mieszkań z c.o. we Wrocławiu. Jak zmieni się długość wyznaczonego
przedziału, jeśli poziom ufności obniżymy do 0,9?
11.Na podstawie danych z zadania 1. obliczyć, ile mieszkań co najmniej powinna liczyć próba,
która umożliwi na poziomie ufności 0,95 oszacować przedział ufności z błędem nie
przekraczającym 0,03.
12. Ocenić zróżnicowanie średnicy wałów korbowych produkowanych w pewnej odlewni jeżeli
na podstawie próby losowej liczącej 25 elementów otrzymano wartość średniej 45 cm a
S2(X)=14 mm2 .Zakładamy rozkład normalny średnicy wałów i poziom ufności 0,99.
13. W centrali i oddziałach pewnej firmy badano jaka część pracowników zamierza w ciągu
najbliższego roku przejść na emeryturę. Okazało się że 20 na 200 zapytanych zamierza podjąć
taką decyzję. Znaleźć przedział ufności o poziomie 0,9 dla wskaźnika struktury pracowników
zamierzających przejść na emeryturę.
14. Wyznaczyć minimalną liczebność próby dla oszacowania średniej wysokości premii
miesięcznej w firmie jeżeli na podstawie 10-elementowej próby wstępnej otrzymano
następujące wyniki (w tys. zł): 1,25: 1,5: 1,45; 1,3: 1,55; 1,4: 1,6: 1,25: 1,55: 1,35. Zakładamy
dopuszczalny błąd szacunku 50 zł przy współczynniku ufności 0,95.
15. Dzienne zużycie wody do produkcji w pewnej firmie jest zmienną losową o rozkładzie
N(1000, 202). Na podstawie obserwacji przez 196 dni roboczych stwierdzono, że średnie
zużycie wynosiło 1025 m3. Na poziomie istotności 0,95 zweryfikować hipotezę, że średnie
rzeczywiste zużycie dzienne wody różni się istotnie od teoretycznego.
16. Z próby losowej złożonej z 20 studentów pewnego wydziału otrzymano wariancję równą 50
papierosów2 liczby papierosów wypalanych dziennie przez studentów. Zweryfikować
hipotezę, że odchylenie standardowe liczby wypalanych papierosów wynosi 5. Przyjąć poziom
istotności 0,05.
17. Badanie wydajności pracy na podstawie próby 26 pracowników (mierzonej liczbą
elementów wyprodukowanych w ciągu dniówki roboczej) dostarczyło następujących
obserwacji:
Wydajność Liczba osób
120 -130
3
130 -140
5
140 -150
12
150 -160
6
Zweryfikować, na poziomie istotności 0,05, hipotezę, że średnia wydajność wszystkich
pracowników jest większa od 130 elementów na dniówkę.
18. Sprawdzić, czy możliwe jest, aby średnie zróżnicowanie czasu trwania wycieczek
organizowanych przez pewne biuro podróży wynosiło 4 dni, jeśli dla 10 elementowej próby czas
trwania wycieczki wynosił (w dniach): 28, 20, 18, 16, 10, 8, 19, 10, 9, 12. Przyjąć α = 0.05.
19. Czy prawdą jest, że średnie spożycie pieczywa w 2-osobowych gospodarstwach domowych
emerytów jest mniejsze od 11 kg na osobę, jeśli w 19- elementowej próbie takich gospodarstw
otrzymano średnie spożycie 10,6 kg i odchylenie standardowe 4 kg ? Przyjąć poziom istotności
0,01.
1.Z populacji studentów I roku pewnej uczelni wylosowano 120 osób i stwierdzono, że egzamin
ze statystyki na ocenę bdb zdało 25 osób, na +db 8 osób, db 30 osób, +dst 17 osób a ocenę dst
otrzymało 40 osób. Oszacować nieznany odsetek studentów w populacji, którzy otrzymali ocenę
bdb. Przyjąć poziom ufności 0,95.
2. Dział marketingu pewnej firmy kosmetycznej badał opinię klientek o nowym kremie
odmładzającym CUD NATURY. Badanie przeprowadzono w kilkunastu sklepach sprzedających
ten krem. Okazało się, że na 250 zapytanych klientek 65 stwierdziło, że jest on bardzo skuteczny,
35 klientek było rozczarowanych używaniem tego kremu, 25 słyszało o nim ale jeszcze go nie
stosowały, pozostałe nie znały tego kremu. Utworzyć 90% przedział ufności dla proporcji
klientek oceniających nowy produkt firmy bardzo pozytywnie. Podać interpretację wyniku.
3. W losowo wybranej próbie 100 studentów UWr 35 osób mieszkało na stałe we Wrocławiu.
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,95, oszacować przedziałowo udział studentów
mieszkających na stałe poza Wrocławiem wśród ogółu studentów.
4. Aby zbadać dochody maklerów giełdowych wybrano próbę 256 maklerów, dla których
otrzymano średnie miesięczne dochody na poziomie 12 tys. zł z odchyleniem standardowym 3,5
tys. zł. Jaka jest oczekiwana wartość miesięcznych dochodów maklerów w Polsce?
a) Określić przedział ufności dla oczekiwanych miesięcznych dochodów maklerów.
b) Czy liczebność próby losowej jest wystarczająca do estymacji oczekiwanych
miesięcznych dochodów?
c) Co oznaczają uzyskane wyniki?
d)
5. Pragniemy oszacować średnie miesięczne koszty utrzymania studentów Wydziału PAiE Uwr
studiujących ekonomię, na studiach stacjonarnych drugiego stopnia, z dokładnością do 25 zł przy
użyciu 95% przedziału ufności. Ustalić liczebność próby losowej jaką należy pobrać aby
osiągnąć zamierzoną dokładność. Ponadto wiadomo z wcześniejszych badań, że odchylenie
standardowe wynosi 105zł. Wykorzystując pakiet GRETL na podstawie zebranych danych
zbudować przedział dla średnich miesięcznych kosztów utrzymania studentów studiujących
ekonomię na WPAiE UWr (studia II stopnia).
6. W pewnej księgarni wrocławskiej postanowiono zbadać przeciętną cenę oraz zróżnicowanie
cen książek - podręczników dla studentów sprzedawanych w tej księgarni. W tym celu
wylosowano z półek księgarskich 15 książek. Okazało się, że ich ceny wynosiły w złotych:
52, 60, 47, 48, 49, 57, 55, 59, 45, 50, 44 , 62 , 56, 64, 47. Znaleźć przedział ufności na
poziomie 0,9 dla średniej, wariancji i odchylenia standardowego. Oceń precyzję oszacowania.
7. Celem organizacji konsumenckiej jest oszacowanie średnich jednorazowych wydatków na
zakupy klientów wybranego sklepu. Wobec tego zapytano losowo wybranych 20 klientów o
koszt ich zakupów na podstawie posiadanych paragonów. Wyniki ( w zł) zamieszczono poniżej:
150,34
128,98
98,20
234,7
127,10
372,91
114,23
78,5
198,66
239,09
167,34
198,22
153,7
99,7
74,09
76,8
25,01
241,45
175,28
58,12
Na podstawie przedstawionych danych zbuduj 95% oraz 99% przedział ufności dla średnich
wydatków klientów wybranego sklepu. Jak zwiększenie liczebności próby wpłynie na sposób
rozwiązania? (Do obliczeń należy wykorzystać pakiet GRETL).
8. W roku 2014 studenci kierunku ekonomia pracowali w domu przygotowując się do zajęć,
przeciętnie 1.5 godziny dziennie. W 2015 roku wylosowano 20 studentów i zapytano ich o czas
codziennej pracy w domu . Otrzymano, że średni czas nauki dla tej grupy wyniósł 75 minut z
odchyleniem standardowym 15 minut. Zweryfikuj na poziomie istotności 0.05 następującą
hipotezę: H 0 :  90
H a :  90 .
9. Poniżej znajdują się dane dotyczące poziomu inflacji w Polsce w miesiącach od stycznia do
grudnia w roku 2004 i 2005. Za pomocą testu t-Studenta dla prób zależnych i niezależnych
zweryfikuj hipotezę (na poziomie istotności =0,01), że średnia inflacja w obu latach była
identyczna.
2004: 0.4 0.1 0.3 0.8 1.0 0.9 -0.1 -0.4 0.3 0.6 0.3 0.1
2005: 0.1 -0.1 0.1 0.4 0.3 -0.2 -0.2 -0.1 0.4 0.4 -0.2 -0.2