mrmr ]) 1[( ]) 1[( mrmr ]) 1[( ]) 1

Równoważność bądź preferencja warunków oprocentowania
Określenie przez bank konkretnych warunków oprocentowania wiąże się z
podaniem modelu kapitalizacji, wysokości i okresu stopy procentowej oraz okresu
kapitalizacji. Dla porównania atrakcyjności ofert bankowych wprowadza się relację
równoważności i relację preferencji warunków oprocentowania.
Omówimy je równolegle umieszczając w nawiasach zapisy dla relacji preferencji.
Mówimy, że warunki oprocentowania określone w banku I są równoważne
warunkom (preferowane nad warunkami) oprocentowania określonego w banku II w
odniesieniu do przedziału czasu <0,t> (t>0), jeśli wartość przyszła kapitału po czasie t w
banku I jest równa (większa od ) wartości przyszłej tego kapitału w banku II.
Jeśli warunki oprocentowania w banku I są równoważne warunkom (preferowane
nad warunki) w banku II dla każdego przedziału czasu, to krótko mówimy, że warunki
oprocentowania w banku I są równoważne warunkom (preferowane nad warunki
)oprocentowania w banku II. {wtedy nie pojawia się określenie związane z długością
czasu.}
Przejdziemy do ustalenia zależności określających równoważność (preferencję)
warunków oprocentowania. W tym celu załóżmy, że w banku I obowiązuje roczna stopa
procentowa r1 oraz odsetki są dopisywane m1 razy w roku, zaś odpowiednio w banku II
obowiązuje stopa procentowa r2, a odsetki kapitalizowane są m2 razy w roku. Oczywiście
r1, r2 >0, m1,m2 naturalne.
Rozważmy najpierw sytuację, gdy w banku I i w banku II obowiązuje model
kapitalizacji
prostej.
Równoważność
(odpowiednio
preferencja)
warunków
oprocentowania w banku I w stosunku do warunków w banku II dla okresu n lat, gdzie n
jest
naturalne,
oznacza,
że
zachodzi
równość
(nierówność):
K 0 (1 n m1
r1
r
) K (1 n m2 2 ) , K 0
m1
m2
K 0 (1 n m1
r1
)
m1
K (1 n m2
0
r2
)
m2
Stąd otrzymujemy +
(43) r1=r2 (r1>r2)
Relacja (43) nie zależy od liczby lat (liczby n).
Wniosek:
W modelu kapitalizacji prostej warunki równoważne (preferowane) dla pewnego okresu
czasu są równoważne (preferowane) dla dowolnego okresu czasu, czyli są równoważne
(preferowane).
Rozważmy teraz sytuację, gdy w obu bankach I, II stosowany jest ten sam model
kapitalizacji złożonej. Wtedy równoważność(preferencja) warunków oprocentowania w
banku I w stosunku do warunków w banku II oznacza, ze zachodzi równość
(nierówność):
r1
)
m1
r
K 0 (1 1 )
m1
K 0 (1
n m1
n m1
r 2 n m2
)
m2
r 2 n m2
K 0 (1
)
oczywiście Ko>0.
m2
K 0 (1
Znaki + dla kapitalizacji złożonej z dołu, zaś – dla kapitalizacji złożonej z góry.
Mamy więc
[(1
r1 m1
) ]
m1
n
[(1
r2 m2
) ]
m2
n
[(1
r1 m1
) ]
m1
n
[(1
r2 m2
) ]
m2
n
Wobec (32) otrzymujemy zatem w kapitalizacji złożonej z dołu
(1 r1ef ) n
(1 r2ef ) n
A stąd
(44) r1ef
r2 ef
(1 r1ef ) n
(1 r2ef ) n
r2 ef (roczna stopa efektywna)
r1ef
Dla kapitalizacji złożonej z góry z (34) dostajemy
_
(1 r1ef )
_
(1 r1ef )
_
n
(1 r2ef )
n
(1 r2ef )
_
n
n
A stąd
_
(44’) r 1ef
_
r 2 ef
_
_
r 1ef
r 2 ef
Relacje (44) i (44’) nie zależą od liczby n, czyli liczby lat.
Wniosek W ustalonym modelu kapitalizacji złożonej, jeśli warunki oprocentowania są
równoważne (preferowane) dla pewnego okresu czasu, to są równoważne (preferowane)
dla dowolnego okresu czasu, czyli są równoważne (preferowane). {chodzi o to ze nie
dodajemy dla jakiej sytuacji, dla jakiego okresu czasu, oznacza to też odpowiednią
relację stóp efektywnych dla poszczególnych modeli}.
Jest możliwe porównywanie warunków oprocentowania w dwóch bankach w
których obowiązują różne modele kapitalizacji. Przykładowo rozważmy sytuację, gdy w
banku I stosowana jest kapitalizacja prosta, zaś w banku II kapitalizacja złożona z dołu.
W tym przypadku równoważność (preferencja) warunków oprocentowania w banku I w
stosunku do banku II oznacza, że mamy odpowiednią równość (nierówność):
K 0 (1 nm1
r1
)
m1
K 0 (1
r2 nm2
)
K0
m2
0
Zatem
(45) 1 nr1
(1
r2 nm2
)
1 nr1
m2
(1
r2 nm2
)
m2
Równość (nierówność) (45) jest tutaj zależna od n. Jeśli przy przyjętych założeniach
warunki oprocentowania w banku I są równoważne warunkom (odpowiednio preferowane
nad warunki) oprocentowania w banku II dla pewnego okresu czasu, to nie muszą
zachować tej relacji dla innego okresu czasu.
Przykład 14
W banku I stosowana jest półroczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie
procentowej 8%, zaś w banku II obowiązuje kwartalna kapitalizacja złożona z dołu przy
rocznej stopie procentowej r. Wyznaczymy r takie, aby warunki oprocentowania w
bankach I i II były równoważne.
{Widzimy, że w obu bankach mamy kapitalizację złożoną z dołu, i ze wzoru (44) wiemy,
że równoważność dla dowolnej liczby lat oznacza równość stóp procentowych.}
Jak stwierdziliśmy w tym przypadku kapitalizacji złożonej z dołu warunki oprocentowania
są równoważne w tych bankach, gdy roczne stopy efektywne będą równe.
Zgodnie z (26) roczna stopa efektywna w banku I wynosi
r1ef
0,08 2
) 1 0,0816
2
0,08 , m1 2
(1
gdyż r1
M1=2 bo mamy dwa razy w roku kapitalizowanie odsetek.
W banku II mamy r2=r, m2=4, zatem aby stopy efektywne (roczne) były sobie równe,
roczna stopa procentowa r musi spełniać równanie
r 4
) 1 0,0816
4
stad
(1
r
4( 4 1,0816 1)
wiec
r 0,07922
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej
Do tej pory zakładaliśmy, że stopa procentowa jest stała w rozważanym okresie
oprocentowania. Założenie to nie musi być jednak spełnione , szczególnie gdy mamy do
czynienia z długim okresem czasu. Obecnie zajmiemy się sytuacją, gdy właśnie to
założenie nie będzie spełnione.
Załóżmy, że rozważamy kapitalizację zgodną , czyli okres stopy procentowej
pokrywa się z okresem kapitalizacji. Przyjmujemy ,że przez n1 obowiązywała stopa
procentowa r1, przez następnych n2 okresów obowiązywała stopa procentowa r2 itd.
Ustalimy wartość przyszłą kapitału Ko (Ko>0) po n okresach, gdzie
n=n1+n2+…+np., czyli mamy p różnych stóp procentowych. (nj są naturalne dla
wszystkich j=1,…,p), przyjmując, że na przestrzeni wszystkich n okresów stosowany był
ten sam model kapitalizacji.
Jeśli obowiązywała kapitalizacja prosta, to po tych n okresach odsetki od kapitału
Ko wynoszą
Z
K 0 n1 r1
K 0 n 2 r2
...
K 0 n p rp
A wartość przyszła kapitału Ko po tych n okresach jest równa
K 0 Z K 0 (1 n1 r1 n2 r2 ... n p rp ) K 0 0, n j N , r j
(46) Pn
0, j
1,..., p
W modelach kapitalizacji złożonej i kapitalizacji ciągłej wartość końcowa po danym
okresie staje się wartością początkową dla następnego okresu. Wobec tego wartość
przyszła kapitału Ko po n okresach jest odpowiednio równa:
- dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu:
(47)
Kn
K 0 (1
r1 ) n1 (1
r2 ) n2 ...(1
rp )
np
Ko>0, rj>0, nj naturalne,
j=1,…,p
- dla modelu kapitalizacji złożonej z góry
(48)
Kn
K0 (1 r1 )
n1
(1 r2 )
n2
...(1 rp )
np
Ko>0, rj>0, nj naturalne, j=1,…,p
- dla modelu kapitalizacji ciągłej
(49)
K (n)
K0en1r1 en2 r2 ...e
n p rp
K 0e
n1r
... n p r
p
Ko>0,
rj>0,
nj
naturalne, j=1,…,p
W sytuacji, gdy kapitalizacja następuje przy zmianie stopy procentowej przydatne
jest stosowanie tzw. Przeciętnej stopy procentowej.
Przeciętną stopą procentową dla danego okresu czasu nazywa się taką stałą stopę
procentową rprz dla której przyszła wartość kapitału jest równa jego wartości przyszłej
przy zmieniającej się stopie procentowej.
Stosując tą definicję oraz wzory (46)-(49) wyznaczymy przeciętne stopy
procentowe w różnych modelach kapitalizacji (przy wcześniejszych założeniach i
oznaczeniach).
- dla modelu kapitalizacji prostej wobec (46) stopa przeciętna musi spełniać równość:
Ko(1 nrprz )
Ko(1 n1 r1
n2 r2
... n p rp )
Więc w tym modelu stopa przeciętna:
1
(n1r1
n
(50) rprz
n2 r2
... n p rp )
Można zauważyć, że jest to pewna średnia ważona stóp rj dla wag nj, j=1,…,p
- Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu z (47) otrzymujemy
K 0 (1 r1 ) n1 (1 r2 ) n2 ...(1 rp )
Ko(1 rprz ) n
np
stad
(51) rprz
n
(1 r1 ) n1 (1 r2 ) n2 ...(1 rp )
np
1
- w modelu kapitalizacji złożonej z góry na mocy (48) mamy
Ko(1 rprz )
n
K 0 (1 r1 )
n1
(1 r2 )
n2
...(1 rp )
np
wiec
(52) rprz
1
n
(1 r1 ) n1 (1 r2 ) n2 ...(1 rp )
np
- Dla modelu kapitalizacji ciągłej z (49) otrzymujemy
K 0e
nrprz
K 0e
n1r1 ... n p r
p
Więc
(53)
rprz
1/ n (n1r1 ... n p r p )
Przykład 15.
Przez rok obowiązywała roczna stopa procentowa 9%, następnie przez dwa lata – roczna
stopa procentowa 8%, a przez kolejny rok – roczna stopa procentowa 10%. Obliczymy
roczna przeciętną stopę procentową, jeśli bank stosował roczną (bo poznane wzory
dotyczą tylko zgodnej) kapitalizację:
a) prostą
b) złozoną z dołu
c) złożoną z góry
Mamy n1=1 (ilość lat obowiązywania pierwszej stopy), n 2=2, n3=1, n=n1+n2+n3=4,
r1=0,09, r2=0,08, r3=0,1 Zatem
a) w modelu kapitalizacji prostej stosując (50)
rprz
1 / 4 (1 * 0,09
2 * 0,08 1 * 0,1)
0,25 * 0,35
0,0875
b) w modelu kapitalizacji złożonej z dołu z (51) dostajemy
rprz
4
(1 0,09)1 (1 0,08) 2 (1 0,1)1 1 0,0974685
c) w modelu kapitalizacji złożonej z góry z (52) mamy
rprz
1
4
(1,09)1 (1,08) 2 (1,1)1
0,0875378
Czyli te różnice pojawiają się daleko w zależności od modelu.