ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ
DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO
Z MATEMATYKI
ZAKRES ROZSZERZONY
ROK SZKOLNY 2009/2010
Zadanie 1.

2
1
Wskaż w zbiorze A =  12,(011);  0,49 ;  ; 0; 3 8 ; 10 ; 20  liczby wymierne.

4

Zadanie 2.
6 3
Usuń niewymierność z wyrażenia
.
2 1
Zadanie 3.
Rozwiąż nierówność x + 5 > 4 . Rozwiązanie przedstaw na osi liczbowej.
Zadanie 4.
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci 2p – 4 – 34 – 3p dla p (–5,0).
Zadanie 5.
Zaznacz na jednej osi liczbowej zbiory: A = (–; –7)  <0, +) i B = –4, 1).
a) Wyznacz zbiór A  B.
b) Wyznacz zbiór A B’. Podaj najmniejszą liczbę pierwszą, która należy
do zbioru A B’.
Zdanie 6.
Adam kupił klawiaturę do komputera za 125 zł, myszkę za 49 zł i podkładkę pod myszkę
za 11 zł.
a) O ile procent myszka jest tańsza od klawiatury?
b) Jakim procentem ceny klawiatury jest cena myszki?
Zadanie 7.
Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 2:

4
1 3
2     23 4
8
.
3  215  5  214

31
6
Zadanie 8.
Rozwinięcie dziesiętne nieskończone 0,(45) przedstaw w postaci ułamka zwykłego.
Zadanie 9.
Doprowadź wyrażenie
a3 : a 5
do najprostszej postaci, gdzie a ≠ 0.
a 4
1
Zadanie 10.
Zuzanna kupiła sukienkę za 120 zł, buty za 174 zł oraz torebkę za 96 zł.
a) O ile procent buty są droższe od sukienki?
b) Jakim procentem ceny sukienki jest cena torebki?
Zadanie 11.
Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 2:
31
14 4
1
128  1024 :  
 16 
4
5
6 2  2
9
5

3
4
.
Zadanie 12.
Wyznacz dziedzinę funkcji f o wzorze f ( x)  | 2 x  2 | 3 .
Zadanie 13.
Punkt A( 3 , 1) należy do wykresu funkcji f(x) = x2 + 4k. Oblicz wartość liczby k.
Zadanie 14.
Dana jest funkcja f, opisana wzorem f(x) =
1  x2
,
x2  2
a) Wyznacz dziedzinę funkcji f ;
3
;
2
c) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 2 3 i podaj tę wartość w postaci a  b c ,
gdzie a, b, c są liczbami wymiernymi i c > 0.
b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji f wynosi 
Zadanie 15.
Dana jest funkcja f(x)  x2  (a+3)x  (–7 – b), określona w zbiorze liczb rzeczywistych.
a) Dla a = –3 i b = 2 wyznacz miejsca zerowe funkcji;
b) Wiedząc, że wykres funkcji f ma z osią OY punkt wspólny o współrzędnych (0, 2), zaś
jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 2 , ustal wartości współczynników a i b.
Zadanie 16.
Punkt B(–3, 6) należy do wykresu funkcji f(x) = –x2 – 3a. Oblicz wartość parametru a.
Zadanie 17.
Na podstawie wykresu funkcji f podaj:
a) Dziedzinę i zbiór wartości funkcji f ;
b) Zbiór wszystkich argumentów, dla
których funkcja f przyjmuje wartości
niedodatnie;
c) Maksymalne przedziały, w których
funkcja f jest rosnąca;
d) Wartość wyrażenia f(1) ∙ f(-4,5)  f(6,5).
2
Zadanie 18.
Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x) =
x2  9
.
x 2  3x
Zadanie 19.
Dana jest funkcja f(x) = x2 – (a + 2)x + b, określona w zbiorze liczb rzeczywistych.
a) Dla a = –7 i b = 0 wyznacz miejsca zerowe funkcji;
b) Wiedząc, że wykres funkcji f ma z osią OY punkt wspólny o współrzędnych (0, 4),
zaś jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 3, ustal wartości współczynników a i b.
Zadanie 20.
Oblicz:
a) [9∙26∙213 + 8∙(23)5] : 49;
b) [7∙38∙317 + 8∙(34)6] : 912;
1
c)
2
3


1 
 2  3

4
  54   81  –
 



6 2  82 ;
1
2
1 3



d)  0,125 3  32 5  – 122  52 .


Zadanie 21.
Rozwiąż równania:
a) │2 − x│ – 3 = 0;
b) │5 – │x││ = 8,5;
c) │2x + 3│−│x − 2│ = 4.
Zadanie 22.
Napisz taką nierówność z wartością bezwzględną, aby jej zbiorem rozwiązań był zbiór:
(–, –7)  (3, +).
Zadanie 23.
Doprowadź do najprostszej postaci poniższe wyrażenie uwzględniając, że x  (5, +)
9  x2
4x – 3|x – 2| + 8|5 – x| –
.
3  x
Zadanie 24.
Wykres funkcji f(x) = (x – 2)2 + 1 powstał w wyniku przesunięcia równoległego wykresu
funkcji y = x2 o pewien wektor. Wyznacz współrzędne wektora translacji.
Zadanie 25.
Dziedziną funkcji f jest zbiór <–3, 2). Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię osiową
względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. Wyznacz dziedziną funkcji g .
Zadanie 26.
Funkcja y = f(x) ma dwa miejsca zerowe: – 3 oraz 1. Jakie miejsca zerowe ma funkcja y = –f(x)?
Zadanie 27.
Funkcja y = f(x) ma dwa miejsca zerowe: – 5 oraz 2. Jakie miejsca zerowe ma funkcja y = f(−x)?
Zadanie 28.

W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f(x) = –x3 o wektor u = [−2, –3] otrzymamy
wykres funkcji g. Wyznacz wzór funkcji g.
3
Zadanie 29.
Wykres funkcji y = 2x + 1 przekształcono przez symetrię środkową względem punktu O(0, 0) .
Utwórz wzór otrzymanej w ten sposób funkcji.
Zadanie 30.
Doprowadź do najprostszej postaci
26 5  23 3
45  27

2 5 3
5 3
.
Zadanie 31.
2
11 
3
 3
 0,45   35  33  : 21
5
21 
4
 28
Zapisz liczbę a =
w najprostszej postaci, następnie
0,96 : 1,2
znajdź liczbę przeciwną do a i odwrotność liczby a.
2,125 
Zadanie 32.
W równoległoboku ABCD dane są punkty A(-3,-1), B(3,1), D(-1,2). Oblicz :
a) współrzędne punku C,
b) obwód równoległoboku ABCD,
c) współrzędne punktu przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD.
Zadanie 33.
→
→
Dla jakich wartości parametrów k,m wektory u=[2k-m,-3k] i w=[-k+3,m-5] są przeciwne.
Zadanie 34.
→
→
Dla jakich wartości parametrów k,m wektory u=[2m+1,-m+k] i w=[4k-3,3-3k] są równe.
Zadanie 35.
Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji f, której dziedziną jest zbiór <–6, 6>.
Wykres funkcji f jest symetryczny względem osi OY.
a) Uzupełnij brakujący fragment wykresu funkcji
f,
b) Naszkicuj wykres funkcji g, opisanej
wzorem g(x) = f(x – 3) + 1,
c) Odczytaj z wykresu funkcji g zbiór
rozwiązań nierówności g(x) < 0,
d) Podaj maksymalne przedziały, w których
funkcja g jest malejąca,
e) Oblicz wartość wyrażenia
g(8) ∙ g(  5 ) – g(1).
Zadanie 36.
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.
a) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(–x).
b) Podaj zbiór rozwiązań równania
g(x)= 2.
c) Podaj maksymalne przedziały, w
których funkcja g jest rosnąca.
d) Rozwiąż graficznie nierówność g(x) ≤ 2x.
4
Zadanie 37.
Dane są punkty A(2,2), B(-4,0), C(-1,-3). Oblicz :
→ →
a) 2AB-3BC,
→ →
b) | AC + AB|,
→
→
→
c) liczby m,p tak, aby m·BA + p·AC =4·CB.
Zadanie 38.
Wiedząc, że sin = 0,8 i  ( 90°), oblicz pozostałe wartości
funkcji trygonometrycznych kąta .
Zadanie 39.
 1
1 
 .
Podane wyrażenie przekształć do najprostszej postaci (1  cos  )

 sin  tg 
Zadanie 40.
Wiedząc, że tg = 0,6 i  ( 180°), oblicz pozostałe wartości
funkcji trygonometrycznych kąta .
Zadanie 41.
Dane jest wyrażenie: sin + sin tg2, gdzie  (0, 90).
a) Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego  dane wyrażenie równa się
b) Oblicz wartość tego wyrażenia dla  = 30.
Zadanie 42.
Rozwiąż równanie -2 sin ( 2x −
tg
;
cos

)=- 3 .
6
Zadanie 43.
Rozwiąż nierówność 2 cos x ≥ 1 .
Zadanie 44.
Rozwiąż nierówność -3 tg 2x ≥ -3.
Zadanie 45.
Oblicz obwód czworokąta ABCD, wykorzystując dane na rysunku poniżej:
5
Zadanie 46.
Sporządź wykres funkcji f(x) = − | sin ( x −

) | + 1. Na podstawie sporządzonego wykresu
3
funkcji f, odczytaj:
a) Miejsca zerowe funkcji f;
b) Argumenty dla których funkcja f osiąga wartość największą;
Zadanie 47.
Wiadomo, że  jest kątem ostrym i tg = 3. Oblicz wartość wyrażenia (tg + ctg)2.
Zadanie 48.
Punkt A leży na jednym ramieniu kąta o mierze 60°, w odległości 1 dm od wierzchołka tego
kąta. Oblicz odległość punktu A od drugiego ramienia tego kąta.
Zadanie 49.
Punkt A(–6, 8) należy do wykresu funkcji liniowej f(x) =
1
x + b + 1. Oblicz wartość
2
parametru b.
Zadanie 50.
Dane są dwie funkcje liniowe: f(x) =
2
2
x + 4 oraz g(x) =
x – 3. Zbadaj ich wzajemne
3
3 2
położenie.
Zadanie 51.
2
Wykres funkcji f(x) = (m – 3)x jest prostopadły do wykresu funkcji g(x) = – x + 8.
5
Oblicz wartość parametru m.
Zadanie 52.
Sporządź wykres funkcji f(x) = -2x + 3. Oblicz miejsce zerowe funkcji f .
Oblicz, czy do wykresu funkcji f należy punkt A=( 3, -1).
Zadanie 53.
Utwórz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji
3
g(x) = –
x + 5 i przechodzi przez punkt A=( 3 , -2).
2 3
Zadanie 54.
Utwórz wzór funkcji liniowej, do której wykresu należą punkty A=(4,-1), B=(-2, 3).
Zadanie 55.
Utwórz wzór funkcji liniowej, która tworzy z osią OX kąt o mierze 30° i przechodzi przez
punkt A=( -4, -1).
Zadanie 56.
Utwórz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji
g(x) = -3x -1 i przechodzi przez punkt A= (4, -2).
6
Zadanie 57.
5

y  x  2
Rozwiąż algebraicznie układ równań 
.
6
6 y  3x  2
Zadanie 58.
 2 x  3 dla x   ,  1 
Dana jest funkcja f ( x)  
.
 x  2 dla x   1, )
a) Sporządź wykres funkcji f .
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f .
c) Określ przedziały monotoniczności funkcji f .
d) W jakim punkcie wykres funkcji f przecina oś OY?
e) Dla jakich argumentów wykres funkcji osiąga wartości ujemne?
f) Jaką wartość ma funkcja f dla argumentu x = - 3 ?
Zadanie 59.
Oceń wartość logiczną zdania i podaj jego zaprzeczenie:
a) (3 – 4)2 = 4 – 3  2 > 1,4
b)

xN

x W 

x 1 0 .
Zadanie 60.
Określ liczbę rozwiązań równania ax – 2 = 8 – 5a ze względu na wartość parametru a.
Zadanie 61.
Rozwiąż równanie (x – 1)2 – (x + 4)2 + 2x + 31 = 0.
Zadanie 62.
(2x  1)3
 1 3
Rozwiąż nierówność
 2x(x  1)2  x x    .
4
 2 4
Przedstaw zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej.
Zadanie 63.
Rozwiąż nierówność: │x + 3│-│2x - 2│≤ 3.
Zadanie 64.
4 2 3
x + 5 = 2 3 x + 8.
2
Wynik doprowadź do najprostszej postaci.
Rozwiąż równanie
7