kurs szeregi - Akademia eTrapez

KURS
SZEREGI
Lekcja 10
Szeregi Fouriera
ZADANIE DOMOWE
www.etrapez.pl
Strona 1
Część 1: TEST
Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Pytanie 1
Zaznacz poprawną odpowiedź:
a) Szereg Fouriera wykorzystujemy do badania zjawisk nieokresowych
b) Szereg Fouriera wykorzystujemy do badania całek
c) Szereg Fouriera wykorzystujemy do badania granic
d) Szereg Fouriera wykorzystujemy do badania zjawisk okresowych
Pytanie 2
Wzór na szereg Fouriera dla funkcji f  x  , to:
a) f  x 
a0 
n x
n x
  an cos
 bn sin
2 n1
T
T
b) f  x 
a0 
n x
n x
  an cos
 bn sin
1
1
2 n 1
2
2
c) f  x 
a0 
n x
n x
  an cos
 bn sin
T
T
2 n 1
2
2
d) f  x 
a0 
n x
n x
  an cos
 bn sin
T
T
2 n 1
2
2
www.etrapez.pl
Strona 2
Pytanie 3
a0 
n x
n x
jest szeregiem Fouriera, gdy :
  an cos
 bn sin
T
T
2 n 1
2
2
Szereg f  x 
a) a0 
1
b

T
2 a
f  x dx, an 
1

T
2 a
f  x  cos
n x
T
2
dx, bn 
1
b
 f  x  sin
T
2 a
n x
T
2
dx
1
1
n x
1
n x
f  x dx, an  T  f  x  cos T dx, bn  T  f  x  sin T dx

Ta
2 a
2
2 a
2
b
b) a0 
b
c) a0 
1
d) a0 
1
b
b
 f  x dx, a
T
2 a
n

1

1
b
 f  x dx, a
T
2 a
www.etrapez.pl
n
b
b
 f  x  sin
T
2 a
b

T
2 a
n x
T
2
dx, bn 
1
b
 f  x  cos
T
2 a
n x
T
2
dx
n x
1
n x
f  x  cos
dx, bn  T  f  x  sin
dx
T
T
2 a
b
Strona 3
Pytanie 4
Jeśli funkcja f  x  o okresie T jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a,b) o długości
T i ma w nim co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju („skoków”), to jej
szereg Fouriera:
a) w każdym punkcie x nieciągłości ma sumę: f  x  , a w punkcie ciągłości sumę:
f  x0   f  x0 
2
b) w każdym punkcie x ciągłości ma sumę: f  x  , a w punkcie nieciągłości sumę:
f  x0   f  x0 
2
c) w każdym punkcie x ciągłości ma sumę: f  x  
a w punkcie nieciągłości sumę:
f  x0   f  x0 
2
d) w każdym punkcie x ciągłości ma sumę: f  x  
a w punkcie nieciągłości sumę:
a0 
n x
n x
,
  an cos
 bn sin
2 n1
T
T
a0 
n x
n x
,
  an cos
 bn sin
2 n1
T
T
f  x0   f  x0 
2
Pytanie 5
Aby rozwinąć daną funkcję w szereg Fouriera musimy umieć:
a) liczyć macierze
b) liczyć granice
c) liczyć pochodne cząstkowe
d) liczyć całki
www.etrapez.pl
Strona 4
Pytanie 6
Funkcja jest okresowa tzn.:
a) okresowo przyjmuje te same wartości
b) okresowo ma pochodną równą zero
c) okresowo osiąga wartość 1
d) okresowo przyjmuje te same argumenty x
Pytanie 7
Szereg f  x 
a0 
n x
n x
  an cos T  bn sin T jest szeregiem Fouriera, gdy :
2 n1
2
2
a) daną mamy funkcję f  x  o okresie T w przedziale x   a, b  o długości 2T
b) daną mamy funkcję f  x  o okresie T
c) daną mamy funkcję f  x  o okresie T w przedziale x   a, b  o długości T
d) daną mamy funkcję f  x  o okresie T w przedziale x   a, b  o długości 3T
Pytanie 8
Mówimy, że funkcja f  x  nieciągła w punkcie x0 ma w tym punkcie nieciągłości
pierwszego rodzaju, jeżeli:
a) w tym punkcie istnieją obie granice jednostronne skończone
b) w tym punkcie istnieją obie granice jednostronne nieskończone
c) w tym punkcie nie istnieją obie granice jednostronne skończone
d) w tym punkcie istnieją granice nieskończone
www.etrapez.pl
Strona 5
Pytanie 9
Punkty nieciągłości pierwszego rodzaju na wykresie , to tzw.:
a) „pazurki”
b) „kreski”
c) „skoki”
d) „kropeczki”
Pytanie 10
Zaznacz warunek konieczny na to, żeby funkcję f  x  , okresową, można było rozłożyć w
szereg Fouriera, zbieżny do niej, w przedziale  a, b  :
a) Funkcja f  x  musi mieć każdym punkcie x   a, b  pochodną dowolnego rzędu
b) Funkcja f  x  musi mieć każdym punkcie x   a, b  pochodną
c) Funkcja f  x  musi być w każdym punkcie x   a, b  ciągła
d)
Funkcja f  x  musi być w każdym punkcie x   a, b  ciągła, poza skończoną
ilością punktów, w których może mieć punkty nieciągłości I rodzaju
www.etrapez.pl
Strona 6
Część 2: ZADANIA
Zadanie 1.
Rozwiń w szereg Fouriera funkcję:
a)
1, x   2 , 0 
f  x  
1, x  0, 2 
b)

0, x   2, 0 
f  x  

2, x   0, 2 
c)

 x, x  0,1
f  x  

 x  2, x  1, 2 
d)

2, x    , 0 
f  x  

2, x   0,  
e)

4, x    , 0 
f  x  

4, x   0,  
f)

5, x    , 0 
f  x  

5, x   0,  
www.etrapez.pl
Strona 7
Zadanie 2
Rozwiń w szereg Fouriera funkcję:
a) f  x   e x w przedziale  2, 2 
b) f  x   e x w przedziale   ,  
c) f  x   5  x w przedziale 10, 20 
d) f  x   5  x w przedziale 15, 25
KONIEC
www.etrapez.pl
Strona 8