Ci agi liczbowe. Funkcje elementarne.

Lista nr 5
EiT, sem.I, studia zaoczne, 2006/07.
Ciagi
liczbowe. Funkcje elementarne.
,
1. Obliczyć granice, ciagu
o wyrazie ogólnym:
,
(2n − 1)3
2n3 − 4n − 1
,
b)
a)
,
6n + 3n2 − n3
(4n − 1)2 (1 − 5n)
√
( n + 3)2
2n + (−1)n
e)
,
f)
,
n+1
n
√
√
√
j) n2 + n − n,
i) n + 2 − n,
3 · 22n+2 − 10
,
5 · 4n−1 + 3
r
√
1
n
n
100
r) 10 −
,
10100
n
n+5
v)
,
n
m)
−8n−1
,
7n+1
s n
n
3
2
s) n
+
,
3
4
−n+3
4
x) 1 −
,
n
n)
2. Obliczyć granice, ciagu
o wyrazie ogólnym:
,
p
p
√
√
√
a) n + n − n − n,
b) n10 − 2n2 + 2,
d) 2−n cos nπ,
e)
n sin n!
,
n2 + 1
(−1)n
,
2n − 1
√
n2 − 1
h) √
,
3
n3 + 1
4n−1 − 5
l) 2n
,
2 −7
√
p) n 10n + 9n + 8n ,
3
10
−√ ,
n
n
√
√
1 + 2n2 − 1 + 4n2
g)
,
n
√
k) 3 n3 + 4n2 − n,
n n+1
3
2
−1
o)
,
2
3n+1 − 1
n
2
t) 1 +
,
n
2
n2
n +6
y)
,
n2
c)
c)
d)
1−
u)
z)
1
n2
n
n2 + 2
2n2 + 1
,
n2
1
3n
cos n3 −
,
2n
6n + 1
f) n(ln(n + 1) − ln n)
3. Korzystajac
monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność podanych ciagów:
, z twierdzenia o ciagu
,
,
(n!)2
1
1
1
n3
a) an =
,
b) bn =
+
+ ··· +
,
c) cn = n ,
(2n)!
n+1 n+2
2n
10
1
1
1
d) dn = 1
+
+ ··· + n
4 + 1! 42 + 2!
4 + n!
4. Określić dziedziny naturalne oraz zbiory wartości podanych funkcji:
p
a) f (x) = log(x2 − 1),
b) f (x) = ctg πx,
c) f (x) = 1 + 2 4 sin(x),
5. Uzasadnić, że podane funkcje sa, rosnace
na wskazanych zbiorach:
,
2
a) f (x) = x , x ∈ h0; ∞),
b) g(x) = x41+1 , x ∈ (−∞; 0i,
√
d) p(x) = x + 1, x ∈ h−1; ∞)
6. Uzasadnić, że podane funkcje sa, malejace
na wskazanych zbiorach:
,
a) f (x) = 3 − 4x, x ∈ R,
b) g(x) = x2 − 2x, x ∈ (−∞; 1i,
1
d) p(x) = 1+x , x ∈ (−∞; −1)
d) f (x) = 2−|x|
c) h(x) =
√
3
c) h(x) =
x, x ∈ (∞; 0i;
1
1+x2 ,
7. Określić funkcje zlożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, jeżeli:
√
a) f (x) = x2 , g(x) = x,
b) f (x) = 2x , g(x) = cos x,
c) f (x) = x3 , g(x) =
1
x
d) f (x) = 1+x2 , g(x) = x
8. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g ◦ f , jeżeli:
a) h(x) =
2−|x|
2+|x| ,
b) h(x) = sin2 x,
c) h(x) = log(x2 + 1),
d) h(x) =
√
x ∈ h0; ∞);
1
√
3 x;
x+2
9. Uzasadnić, że podane funkcje sa, różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
√
c) h(x) = x + 1, x ∈ h0; ∞)
a) f (x) = x3 + 1, x ∈ R,
b) g(x) = x12 , x ∈ (−∞; 0),
10. Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:
a) f (x) = x2 − 2x, x ∈ h1; ∞),
3x dla x < 0
d) p(x) =
, x∈R
5x dla x > 0
b) g(x) = 2 −
√
5
x + 1, x ∈ R,
c) h(x) = x3 |x|, x ∈ R;
11. Wykazać, że prawdziwe sa, wzory:
a) ch2 x − sh2 x = 1,
b) tgh x · ctgh x = 1,
c) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y;
d) sh(x − y) = sh x ch y − ch x sh y,
e) ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y,
f) ch(x − y) = ch x ch y − sh x sh y;
g) sh(2x) = 2 sh x ch x,
h) ch(2x) = sh2 x + ch2 x,
i) sh x + sh y = 2 sh
x+y
x−y
ch
2
2