Lista 2
Transkrypt
Lista 2
Lista 2 Prowadzący: mgr Marcin Spryszyński www: http://www-users.mat.uni.torun.pl/ ∼spryszyn e-mail: [email protected] Zadanie. 1 Oblicz (a) lim x→+∞ 1− 3 2x √ 4x , lim+ arccos(ex − 1), (b) x→0 (c) lim+ (sin(x)) x ln(ex −1)−1 ln(ex −1) x→0 , lim + cos(sin(x2 ))cos(x) . x→( π2 ) (d) Zadanie. 2 Znajdź równania wszystkich asymptot funkcji 1 · arcctg(x). x+2 f (x) = x + Zadanie. 3 Wyznacz wzór na pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R. Zbadaj granicę tego wyrażenia przy n → +∞. 1 Zadanie. 4 Zdefiniuj wyrażenie 1−x . Stwórz z niego funkcję g i oblicz g (2009) (5), gdzie g (n) (x) oznacza n-krotne złożenie funkcji g w punkcie x. Zadanie. 5 Zdefiniuj funkcję f : R → R daną wzorem f (x) = 1 x+1 2 x ∈ (−∞, −1) +3 x = −1 ex (x+1)2 (x−3)2 5 −2 x=3 log13 (x − 3) − x ∈ (−1, 3) 3 2 x ∈ (3, +∞) (a) Oblicz f − 11 , f (5). 13 (b) Znajdź punkty nieciągłości tej funkcji. (c) Narysuj wykres funkcji f uwzględniając nieciągłości. (d) Oblicz granice lewo-, prawostronne tej funkcji w punktach nieciągłości. Zadanie. 6 Zdefiniuj funkcję ex + ey + ez f (x, y, z) = √ 2 , x + y2 + z2 a następnie oblicz (a) ∂ 3f (3, 1, 2) ∂x∂y∂z (b) ∂ 3f (x, y, z) ∂x3 1 (b) ∂ 4f (0, 0, 1). ∂x2 ∂y∂z Zadanie. 7 Wykaż, że funkcja określona wzorem √ f (x, y) = e x2 +y 2 spełnia poniższe równanie różniczkowe cząstkowe ∂u ∂x !2 ∂u + ∂y !2 = u2 . Narysuj wykres tej funkcji na zbiorze [−4, 4] × [−4, 4] (polecenie: plot3d). Wskazówka: komenda is(wyr_logiczne) sprawdza, czy wyr_logiczne jest prawdziwe, czy fałszywe! Zadanie. 8 Oblicz Z x4 − 5x + 1 (a) dx x3 − x2 + x − 1 Z (b) 1 dx 7 sin(x) − 5 cos(x) (c) Z ex sin(x) sin(7x)dx Zadanie. 9 Narysuj na jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji x → f (x), x → gdzie Z x sin(t) dt. f (x) = t −∞ Grubość linii wykresu ustaw na 2. df (x), dx x→ d2 f (x), dx2 Zadanie. 10 Rozwiń funkcje w szereg Taylora, w podanym punkcie oraz narysuj wykres funkcji w podanym otoczeniu 2 (a) f (x) = e−x sin(x) + cos(x), x0 = 0, x ∈ [−3, 3] (Uwaga: wprowadź ograniczenia na osi OY ), (b) g(x, y) = sin(x2 + y 2 ), (x0 , y0 ) = (0, 0), (x, y) ∈ [−3, 3] × [−3, 3]. Zadanie. 11 Dana jest funkcja f : R → R ( f (x) = 0 x ∈ (−∞, 0) 4 −2x C ·x e x ∈ [0, +∞) (a) Wyznacz wartość C, tak aby funkcja f była gęstością pewnej zmiennej losowej X, (b) Wyznacz EX oraz D2 X, (c) Oblicz P(1 < X ¬ 5), (d) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X, narysuj jej wykres i na jej podstawie oblicz P(1 < X ¬ 5). Porównaj wyniki. Zadanie. 12 Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest ( F (x, y) = 1 − e−x − e−y − e−x−y x > 0, y > 0 0 w pozostałych przypadkach Znajdź gęstość prawdopodobieństwa f (x, y). Zadanie. 13 Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest 1 − x2 +y2 f (x, y) = e 2 . 2π (a) Oblicz P(X > 1). (b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zmienna (X, Y ) przyjmie wartość z wnętrza okręgu x2 + y 2 = 1. Zadanie. 14 Wyznacz długość łuku y 2 = x6 , 0 ¬ x ¬ 13. Zadanie. 15 Wyznacz objętość bryły powstałej przez obrót funkcji f (x) = sin(x), x ∈ [0, π] względem osi OX. 2