Lista 4

Lista 4
Funkcje wielu zmiennych
Zadanie 1 Wyznacz dziedziny podanych funkcji:
r
y
y−2
x2 y
p
a) f (x, y) =
,
c)
f
(x,
y)
=
,
b)
f
(x,
y)
=
,
x − y2
x+1
4 − x2 − y 2
d) f (x, y) = ln(
x2 + y 2 − 9
).
16 − x2 − y 2
Zadanie 2 Naszkicuj wykres funkcji zadanej wzorem:
p
p
a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 ; b) f (x, y) = 3 + 2x − x2 − y 2 ; c) f (x, y) = sin y; d) f (x, y) = 1 − |x|.
Zadanie 3 Oblicz granice funkcji:
a)
sin(x4 − y 4 )
; b)
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
1 − cos(x2 + y 2 )
; c)
(x,y)→(0,0)
(x2 + y 2 )2
lim
xy 2
;
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
.
Zadanie 4 Dla funkcji
(
f (x, y) =
x2 y
x4 +y 2
dla (x, y) 6= (0, 0)
dla (x, y) = (0, 0)
0
1. pokaż, że dla dowolnego wektora (a, b) 6= (0, 0) mamy lim f (ta, tb) = 0,
t→0
2. znajdź taki ciąg punktów ((xn , yn ))n∈N , taki że lim f (xn , yn ) 6= 0.
n→∞
Zadanie 5 Niech
(
f (x, y) =
sin(xy)
x
dla x 6= 0 i y ∈ R
dla x = 0 i y ∈ R.
0
1. Pokaż, że funkcja jest ciągła w punkcie (0, 0),
2. czy funkcja jest ciągła w każdym punkcie płaszczyzny?
Zadanie 6 Korzystając z definicji oblicz pochodne cząstowe pierwszego rzędu dla zadanych funkcji:
a) f (x, y) =
p
x2
w punkcie (0, 1); b) f (x, y) = x6 + y 6 w punkcie (0, 0);
y
c) f (x, y, z) =
x2 + z
w punkcie (0, 1, 2).
y
Zadanie 7 Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla zadanych funkcji:
a)
x2 + y 2
1 − xy
; b) arctg
; c) xyz ; d) cos(x sin(y cos z)).
xy
x+y
Zadanie 8 Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla zadanych funkcji;
a) cos(x2 + y 2 );
b) yexy ;
x
c) y ln ;
y
1
d) ln(x + y 2 + z 3 + 1).
Zadanie 9 Wyznacz równanie płaszyzny stycznej do powierzchni wykresu funkcji w zadanym punkcie:
p
a) f (x, y) = x2 y + 1 w punkcie (1, 3, f (1, 3)); b) f (x, y) = ex+2y w punkcie (1, −3, f (1, −3));
√
√ arcsin x
1 3
1 3
c) f (x, y) =
w punkcie − ,
,f − ,
; d) f (x, y) = xy w punkcie (2, 4, f (2, 4));
arc cos y
2 2
2 2
Zadanie 10 Na wykresie funkcji f (x, y) = arctg xy wyznacz punkty w których styczna do wykresu
funkcji jest równoległa do płaszczyzny zadanej wzorem x + y − z = 5.
Zadanie 11 Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = x2 + y 2 , która jest
prostopadła do prostej

x = t

l:
y = t, t ∈ R


z = 2t
.
Zadanie 12 Korzystając z definicji wyznacz pochodne kierunkowe
√
p
1. f (x, y) = x2 + y 2 , x0 = (0, 0) oraz v̄ = ( 23 , 21 ),
2. f (x, y) =
√
3
∂f
(x0 ):
∂v̄
√
2
2
,
),
2
2
√
xy, x0 = (1, 0) oraz v̄ = (
3 4 12
3. f (x, y, z) = x2 + yz, x0 = (0, 0, 0) oraz v̄ = ( 13
, 13 , 13 ).
Zadanie 13 Wyznacz pochodne kierunkowe ∂f
(x0 ):
∂v̄
√
p
1. f (x, y) = x2 + y 2 , x0 = (−3, 4) oraz v̄ = ( 23 , 12 ),
2. f (x, y) = x −
y2
x
+ y, x0 = (1, 1) oraz v̄ = ( 35 , − 54 ),
3. f (x, y, z) = exyz , x0 = (−1, 1, 1) oraz v̄ = ( 21 , − 43 ,
√
3
).
4
Zadanie 14 Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x2 + 2 ln(xy) w punkcie (− 21 , −1) w
kierunku wersora v̄ tworzącego kąt α z dodatnią osią OX. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość
równą 0 a dla jakiego przyjmuje wartość największą?
√
Zadanie 15 Wyznacz wszystkie wersory v̄, dla których funkcja f (x, y) = ex (x+y 2 ) w punkcie (0, 2)
ma pochodną kierunkową równą 0.
Robert Rałowski
2
.