1. Przestrzeń liniowa
Transkrypt
1. Przestrzeń liniowa
1. Przestrzeń liniowa Niech R będzie zbiorem liczb rzeczywistych, X - dowolnym niepustym zbiorem. Na elementach zbioru X określone są dwa działania: - dodawanie dwóch elementów zbioru X x + y∈ X , dla dowolnych x, y ∈ X , - mnoŜenie elementu zbioru X przez element zbioru R a ⋅ x∈ X , dla dowolnego x ∈ X oraz a ∈ R . Zbiór X z tak określonymi działaniami nazywamy przestrzenią liniową, jeŜeli spełnione są następujące warunki, zwane aksjomatami przestrzeni liniowej: A1. przemienność dodawania x+ y = y+ x, A2. łączność dodawania x + ( y + z) = ( x + y) + z , A3. istnienie elementu neutralnego dodawania (elementu zerowego) istnieje 0 ∈ X takie, Ŝe x + 0 = 0 + x = x , dla dowolnego x ∈ X , A4. istnienie elementu przeciwnego dla dowolnego x ∈ X istnieje − x ∈ X taki, Ŝe A5. rozdzielność mnoŜenia względem dodawania a ⋅ ( x + y) = a ⋅ x + a ⋅ y , dla dowolnych x, y ∈ X , a ∈ R , A6. rozdzielność dodawania względem mnoŜenia ( a + b) ⋅ x = a ⋅ x + b ⋅ x , dla dowolnych a, b ∈ R , x ∈ X , A7. łączność mnoŜenia (a ⋅ b) ⋅ x = a ⋅ (b ⋅ x) , A8. istnienie elementu neutralnego mnoŜenia (jedynki) 1⋅ x = x , dla dowolnego x ∈ X . dla dowolnych x, y ∈ X , dla dowolnych x, y, z ∈ X , x + ( − x) = 0 , dla dowolnych a, b ∈ R , x ∈ X , Uwaga Dla dowolnych x, y ∈ X moŜna określić róŜnicę x − y = x + (− y ) ∈ X . Tak określone działanie nazywamy odejmowaniem elementów przestrzeni X . Przykłady 1. 2. X = R - zbiór liczb rzeczywistych. X = R 2 = R × R - zbiór par liczb rzeczywistych, x = ( x1 , x 2 ) ∈ X , x1 ∈ R , x 2 ∈ R , y = ( y1 , y 2 ) ∈ X , y1 ∈ R , y 2 ∈ R , x + y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ) ∈ X , 3. 4. a ⋅ x = (a ⋅ x1 , a ⋅ x 2 ) ∈ X , a∈R. 3 X = R = R × R × R - zbiór trójek liczb rzeczywistych, x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ X , x1 ∈ R , x 2 ∈ R , x3 ∈ R y = ( y1 , y 2 , y 3 ) ∈ X , y1 ∈ R , y 2 ∈ R , y3 ∈ R x + y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x3 + y 3 ) ∈ X , a ⋅ x = (a ⋅ x1 , a ⋅ x 2 , a ⋅ x3 ) ∈ X , a∈R. X - zbiór funkcji rzeczywistych jednej zmiennej f = f ( x), g = g ( x) ∈ X , a∈R, f + g = f ( x) + g ( x) ∈ X , a ⋅ f = a ⋅ f ( x) ∈ X . Zbiór A ⊂ X nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X , jeŜeli a⋅ x+b⋅ y∈ A, dla dowolnych x, y ∈ A oraz a, b ∈ R . Przykłady 1. 2. X = R2, A = {x ∈ X : x = ( x1 ,0)}. X - zbiór funkcji rzeczywistych jednej zmiennej A = { f ∈ X : f (0) = 0}. Uwaga Przestrzeń liniową X nazywa się takŜe przestrzenią wektorową, a jej elementy wektorami. JeŜeli X = R 2 , to wektor x ∈ X moŜna zapisać w postaci x = [x1 , x 2 ] wektor wierszowy lub w postaci x x = 1 wektor kolumnowy. x2 JeŜeli X = R 3 , to wektor x ∈ X moŜna zapisać w postaci x = [x1 , x 2 , x3 ] wektor wierszowy lub w postaci x1 x = x 2 wektor kolumnowy. x 3 Ogólniej, jeŜeli X = R n , n ∈ N , to wektor x ∈ X moŜna zapisać w postaci x = [x1 , x 2 , K , x n ] wektor wierszowy lub w postaci x1 x x = 2 M xn - wektor kolumnowy. Działania w X = R n określa się następująco: x1 y1 x1 + y1 x1 a ⋅ x1 x y x + y x a ⋅ x 2 2 2 2 2 x+ y = , a⋅x = a⋅ 2 = + = M M M M M xn y n xn + y n x n a ⋅ x n Uwaga JeŜeli x = [x1 , x 2 , K , x n ] , to element xi ( i = 1,2, K , n ) nazywamy i-tą współrzędną lub i-tą składową tego wektora. Przykład 1. W przestrzeni wektorowej R 3 dane są trzy wektory 1 2 4 x1 = 3 , x 2 = 1 , x3 = − 1 . 6 5 3 Wyznaczyć wektor x = 7 ⋅ x1 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x3 . 1 2 4 7 −6 8 1 8 9 x = 7 ⋅ 3 + (−3) ⋅ 1 + 2 ⋅ − 1 = 21 + − 3 + − 2 = 18 + − 2 = 16 . 6 5 3 42 − 15 6 27 6 33 Oczywiście, moŜna to wykonać szybciej 1 2 4 7 ⋅1 − 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 9 x = 7 ⋅ 3 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ − 1 = 7 ⋅ 3 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) = 16 . 6 5 3 7 ⋅ 6 − 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 33 Kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 , K , x k ∈ X , k ∈ N , nazywamy wektor k a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + K + a k ⋅ x k ≡ ∑ ai ⋅ xi , i =1 gdzie a i ∈ R , i = 1,2, K , k . Wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X , k ∈ N , nazywamy liniowo niezaleŜnymi, jeŜeli równość a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x2 + K + a k ⋅ x k = 0 , gdzie 0 jest wektorem zerowym przestrzeni X , zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a 2 = K = a k = 0 . Wektory, które nie są liniowo niezaleŜne nazywamy liniowo zaleŜnymi. MoŜna stwierdzić, Ŝe jeŜeli zachodzi równość a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x2 + K + a k ⋅ x k = 0 oraz istnieje i takie, Ŝe a i ≠ 0 , 1 ≤ i ≤ k , to wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X są liniowo zaleŜne. Przykłady 1. Wektory 2 4 x1 = , x2 = 1 3 2 są liniowo niezaleŜne w przestrzeni wektorowej R . Istotnie, z równości a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 = 0 , czyli 2 4 0 a1 ⋅ + a 2 ⋅ = , 1 3 0 wynika, Ŝe 2 ⋅ a1 + 4 ⋅ a 2 = 0 . a1 + 3 ⋅ a 2 = 0 Jedynym rozwiązaniem tego układy jest a1 = a 2 = 0 , co oznacza, Ŝe wektory są liniowo niezaleŜne. 2. Wektory 1 3 x1 = , x2 = , 2 4 2 są liniowo zaleŜne w przestrzeni wektorowej R . Istotnie, z równości a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + a 3 ⋅ x3 = 0 , czyli 1 3 3 0 a1 ⋅ + a 2 ⋅ + a 3 ⋅ = , 2 4 5 0 wynika, Ŝe a1 + 3 ⋅ a 2 + 3 ⋅ a3 = 0 . 2 ⋅ a1 + 4 ⋅ a 2 + 5 ⋅ a3 = 0 3 x3 = 5 Przyjmując np. a1 = 3 , a 2 = 1 , a 3 = −2 , stwierdzamy, Ŝe wektory są liniowo zaleŜne. Uwaga JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X są liniowo zaleŜne, to co najmniej jeden z nich moŜna przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych wektorów. Np. w przykładzie drugim mamy x 2 = 2 ⋅ x3 − 3 ⋅ x1 . Wymiarem przestrzeni wektorowej X nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezaleŜnych wektorów tej przestrzeni i oznaczamy symbolem dim X . Mówimy, Ŝe wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X tworzą bazę przestrzeni wektorowej X , jeŜeli 1. wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X są liniowo niezaleŜne, 2. k = dim X . Przykłady 1. Wektory 4 x1 = , 2 1 x2 = 1 4 x1 = , 2 2 x2 = 1 tworzą bazę w przestrzeni R 2 . 2. Wektory nie tworzą bazy w przestrzeni R 2 . 3. Wektory 4 x1 = , 2 1 x2 = , 1 2 x3 = 4 nie tworzą bazy w przestrzeni R 2 . Uwaga Zbiór wektorów 1 0 0 0 1 0 e1 = , e2 = , ..., en = M M M 0 0 1 n tworzy bazę w przestrzeni wektorowej R . Taką bazę nazywamy bazą kanoniczną lub bazą standardową. Dowolny wektor x ∈ R n , czyli wektor postaci x1 x x = 2 M xn moŜna zapisać następująco x = x1 ⋅ e1 + x 2 ⋅ e2 + K + x n ⋅ en . Liczby x1 , x 2 , K , x n ∈ R są współrzędnymi wektora x ∈ R n w bazie kanonicznej przestrzeni Rn . Przykład Wektor 4 x= 3 przestrzeni wektorowej R 2 wyraŜony jest za pomocą wektorów bazy kanonicznej tej przestrzeni 1 0 e1 = , e2 = 0 1 w następujący sposób x = 4 ⋅ e1 + 3 ⋅ e2 . JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X , 1 ≤ k ≤ n = dim X , są liniowo niezaleŜne, to zbiór L( x1 , x 2 , K , x k ) ⊂ X , złoŜony z wszystkich kombinacji x = a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + K + a k ⋅ x k , gdzie a1 , a 2 , K , a k ∈ R generuje (rozpina) podprzestrzeń liniową przestrzeni X . Przykład Wektory 1 x1 = 2 , 3 0 x 2 = 2 , 1 są liniowo niezaleŜne w przestrzeni X = R 3 . Zatem zbiór 1 0 L 2, 2 3 1 złoŜony z kombinacji 1 0 a1 ⋅ 2 + a 2 ⋅ 2, a1 , a 2 ∈ R , 3 1 jest podprzestrzenią przestrzeni X = R 3 . Czy wektor 1 0 1 1 ∈ L 2, 2 ? 3 1 1 Aby odpowiedzieć na to pytanie, naleŜy sprawdzić, czy istnieją a1 , a 2 ∈ R takie, Ŝe 1 0 1 a1 ⋅ 2 + a 2 ⋅ 2 = 1 , 3 1 1 co prowadzi do układu równań a1 = 1 2 ⋅ a1 + 2 ⋅ a 2 = 1 , 3⋅ a + a = 1 1 2 który jest sprzeczny, a zatem 1 0 1 1 ∉ L 2, 2 . 3 1 1 Niech w przestrzeni X = R n ustalona będzie baza oraz x1 y1 x y 2 x= , y = 2∈ X . M M xn yn Liczbę rzeczywistą x o y określoną wzorem x o y = x1 ⋅ y1 + x 2 ⋅ y 2 + K + x n ⋅ y n nazywamy iloczynem skalarnym wektorów x, y ∈ X . Przykład Niech 1 x = 2 , 3 Wtedy 0 y = 2 . 1 x o y = 1⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅1 = 7 . JeŜeli x o y = 0 , to mówimy, Ŝe wektory x, y ∈ X są prostopadłe (ortogonalne) i zapisujemy x⊥y . Przykład Niech 1 0 x = 0 , y = 2 . 3 0 Wtedy x o y = 1⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 = 0 , czyli x⊥y . JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x n ∈ X = R n tworzą bazę oraz xi ⊥x j dla i ≠ j , i, j = 1,2, K , n , to taką bazę nazywamy bazą ortogonalną. Przykład Wektory 1 0 x1 = 0, x 2 = 2, 0 0 tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni R 3 . 0 x3 = 0 3 Liczbę x określoną wzorem x = xo x nazywamy normą (długością) wektora x ∈ X . JeŜeli x ∈ R n , to x = x12 + x 22 + K + x n2 . Przykład Niech 1 x = 2 , 3 0 y = 2 . 0 Wtedy x = 12 + 2 2 + 3 2 = 14 , y = 02 + 22 + 02 = 2 . JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x n ∈ X = R n tworzą bazę oraz xi ⊥x j dla i ≠ j , i, j = 1,2, K , n , xi = 1 dla i = 1,2, K , n , to taką bazę nazywamy bazą ortonormalną. Przykład Wektory 1 e1 = 0, 0 0 e2 = 1, 0 tworzą bazę ortonormalną w przestrzeni R 3 . 0 e3 = 0 1 Kąt ϕ między wektorami x, y ∈ X określamy wzorem xo y cos ϕ = . x ⋅ y Przykład Niech 1 x = 2 , 3 0 y = 2 . 0 Wtedy x = 12 + 2 2 + 3 2 = 14 , y = 02 + 22 + 02 = 2 , xo y = 4, a więc cos ϕ = 4 14 ⋅ 2 = 2 14 , ϕ ≈ 58 o . Zbiór V ⊂ R n nazywamy wypukłym, jeŜeli dla dowolnych x1 , x 2 ∈ V i dowolnego λ ∈ [0;1] wektor x = λ ⋅ x1 + (1 − λ ) ⋅ x 2 ∈ V . Przykład Niech 2 6 x1 = , x2 = 7 1 będą wektorami w przestrzeni R 2 . Wówczas V jest odcinkiem łączącym końce wektorów x1 , x 2 . Punkt 4 x = 12 ⋅ x1 + 12 ⋅ x 2 = 4 jest środkiem tego odcinka. WyraŜenie λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 + K + λk ⋅ x k , gdzie λi ≥ 0 , i = 1,2, K , k oraz λ1 + λ 2 + K + λ k = 1 , nazywamy wypukłą kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 , K , x k ∈ X . Zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych wektorów x1 , x 2 ∈ X , czyli λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 , λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ 2 = 1 , jest odcinkiem łączącym końce wektorów x1 , x 2 . Zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych wektorów x1 , x 2 , x3 ∈ X , czyli λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 + λ3 ⋅ x3 , λ1 , λ2 , λ3 ≥ 0, λ1 + λ 2 + λ3 = 1 , jest trójkątem o wierzchołkach w końcach wektorów x1 , x 2 , x3 . Zbiór wszystkich wypukłych kombinacji x1 , x 2 , K , x k ∈ X λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 + K + λk ⋅ x k , gdzie λi ≥ 0 , i = 1,2, K , k oraz λ1 + λ 2 + K + λ k = 1 , tworzy sympleks k-wymiarowy.