cd n go

GRANICA FUNKCJI. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Niech x1, . . . , xn, . . . , gdzie {xn}∞
n=1 ⊂ D, będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Dla funkcji f : D 7→ P
rozważmy ciąg liczbowy f (x1), . . . , f (xn), . . . .
Definicja. Funkcja f posiada granicę A ∈ R w punkcie x0 ∈ D, jeśli dla dowolnego ciągu liczbowego {xn}∞
n=1
⊂ D, spełniającego warunek xn → x0, gdy n → +∞,
zachodzi f (xn) → A (zapisujemy lim f (x) = A).
x→x0
Definicja. lim f (x) = A wtedy i tylko wtedy, gdy dla
x→x0
dowolnej liczby ε > 0 znajdzie się taka liczba δ > 0, że
|f (x) − A| < ε, gdy |x − x0| < δ.
Jeśli przy x → x0 zachodzi f (x) → +∞ lub f (x) →
−∞, to mówimy, że funkcja f w punkcie x0 ma granicę
niewłaściwą.
Funkcja może nie mieć granicy w punkcie x0, ale mieć
w tym punkcie granicę lewostronną i/lub prawostronną.
Definicja. Jeśli ciąg liczbowy {xn}∞
n=1 ⊂ D jest taki,
że xn → x0 ∈ D, gdy n → +∞, oraz xn > x0, to gdy
f (xn) → A mówimy, że A jest granicą prawostronną
funkcji f w punkcie x0 i zapisujemy lim f (x) = A.
x→x0 +0
Analogicznie, gdy xn < x0, to mówimy, że A jest
granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 i zapisu1
jemy lim f (x) = A. Obie te granicy nazywamy jedx→x0 −0
nostronnymi.

 1, x > 0
0, x = 0
Przykład. y = sgn(x) =

−1, x < 0.
Jeśli granica lewostronna jest równa granicy prawostronnej, to mówimy o granicy obustronnej. Oczywiście, gdy lim f (x) = A, to A jest granicą obustronną.
x→x0
Uwaga. Można rozważać zagadnienie poszukiwania granicy funkcji w punkcie x0 ∈
/ D.
x2 − 1
, D = R\{1}, x0 = 1, lim f (x) = 2.
Przykład. y =
x→1
x−1
Podsumowując, granica funkcji w punkcie x0 może być:
(a) obustronna, (b) jednostronna (lewostronna bądź
prawostronna), (c) niewłaściwa, lub (d) może nie istnieć.
Przykłady. y = x2, x0 = 2; y = 1+e11/x , x0 = 0;
1
1
1
y = |x−x
;
y
=
;
y
=
sin(
x−x0
x ), x0 = 0.
0|
W powyższych definicjach jako x0 może też występować +∞ bądź −∞.
x
Przykłady. y = x+1
,
x
=
+∞;
y
=
e
, x0 = −∞;
0
x
y = 1 − e−x, x0 = +∞.
2
Jeśli przy x → +∞ (bądź x → −∞) wartości funkcji
f rosną lub maleją bez ograniczenia, to mówimy, że
funkcja f ma granicę niewłaściwą.
Przykłady. y = ex, x0 = +∞; y = 1 − e−x, x0 = −∞.
Ciągłość funkcji.
Definicja. Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0 ∈
D, jeśli funkcja ta ma w tym punkcie granicę obustronną równą f (x0), czyli jeśli
lim f (x) = lim f (x) = f (x0).
x→x0 −0
x→x0 +0
(1)
Definicja. Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0 ∈
D, jeśli lim f (x0 + ε) = f (x0).
ε→0
Uwaga. Jeśli lim f (x) = f (x0), to mówimy, że funkx→x0 −0
cja jest ciągła z lewej strony; jeśli lim f (x) = f (x0),
x→x0 +0
to mówimy, że funkcja jest ciągła z prawej strony. Funkcja ciągła jest ciągła z lewej strony i ciągła z prawej
strony.
Jeśli funkcja f nie jest ciągła w punkcie x0, to mówimy,
że funkcja ta ma w tym punkcie nieciągłość, która może
być 1-go lub 2-go rodzaju.
1-go rodzaju: obie granicy w (1) istnieją (i są skończone), ale przynajmniej jedna z równości w (1) nie
3
zachodzi;
2-go rodzaju: przynajmniej jedna z granic w (1) nie
istnieje bądź jest niewłaściwa.
Przykłady. y = x2, x0 = 2; y = 1+e11/x , x0 = 0;
1
1
1
;
y
=
;
y
=
sin(
y = |x−x
x−x0
x ), x0 = 0.
0|
Funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale (w pewnym
zbiorze), jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie tego
przedziału (tego zbioru).
Niektóre własności funkcji ciągłych.
1. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], to jest
ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty, w których funkcja ta przyjmuje największą oraz najmniejszą
wartości (twierdzenie Weierstrassa).
2. Jeśli funkcja ciągła ma na końcach przedziału [a, b]
różne znaki, to w tym przedziale jest chociażby jeden
punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość 0.
Ogólniej, jeśli f jest funkcją ciągłą w [a, b], a L jest
dowolną liczbą leżącą w odcinku o końcach w f (a) i
f (b), to w przedziale [a, b] jest chociażby jeden punkt,
w którym funkcja przyjmuje wartość L (twierdzenie
Cauchy’ego).
4