Matematyka MAP3032

Matematyka MAP3032
E/AiR, rok IV
Wykład 2
1.Przekształcenia liniowe
Chcemy zdefiniować klasę przekształceń, które będą szanować strukturę liniową. W
szczególności, obraz podprzestrzeni będzie podprzestrzenią liniową, jeśli v̄ jest kombinacją
liniową w̄1 , ..., w̄r , to obraz v̄ będzie kombinacją odpowiednich obrazów itp.
Definicja 1. Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem liczbowym K. Przekształcenie L : V → W jest liniowe, gdy
(1) L(v̄ + v̄0 ) = L(v̄) + L(v̄0 ) dla wszystkich v̄, v̄0 ∈ V ,
(2) L(αv̄) = αL(v̄) dla wszystkich v̄ ∈ V i α ∈ K.
Równoważnie, L jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy L(αv̄ + βv̄0 ) = αL(v̄) + βL(v̄0 )
dla wszystkich v̄, v̄0 ∈ V , α, β ∈ K. Proste własności: L0 = 0, L(v − u) = Lv − Lu.
Przekształcenia liniowe są często nazywane operatorami liniowymi.
Ważne przypadki szczególne:
1. V = Rm , W = Rm . Można sprawdzić, że liniowe są przekształcenia:
(a) L(x, y, z) = (x + y, x − 2z), L : R3 → R2 ,
(b) symetria względem y = x w R2 , czyli L(x, y) = (y, x),
(c) L(x, y) = (x, 0) – rzut na OX w R2 ,
(d) obrót o α,
(e) ogólnie, Lv = A · v, gdzie v ∈ Rn , A macierz n × m.
W R2 i R3 to sa symetrie względem O, prostych i płaszczyzn zawierających O, obroty
względem O lub prostych przechodzących przez O, rzuty na proste i płaszczyzny j.w.,
jednokładności i powinowactwa.
Twierdzenie 1. Każde przekształcenie liniowe L : Rn → Rm jest postaci Lv̄ = Av̄
dla pewnej macierzy wymiaru n × m. Co więcej, między przekształceniami liniowymi
Rn → Rm a macierzami wymiaru n × m istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość.
Dowód. To, że macierz zadaje przekształcenie liniowe już stwierdziliśmy w ostatnim
punkcie powyższych przykładów.
Na odwrót, niech ē1 = (1, 0, 0, ..., 0), ē2 = (0, 1, 0, 0, ..., 0), ..., ēn = (0, 0, ..., 0, 1). Dla
L : Rn → Rm liniowego oznaczmy L(ēj ) = w̄j = (β1,j , β2,j , ..., βm,j ). Wtedy

L(α1 , ..., αn ) =
L
n
X
j=1

αj ēj 
=
n
X
αj L (ēj )
j=1
=(
n
X
j=1
1
αj · β1,j , ...,
n
X
j=1
αj · βm,j ) = B · [α1 , ..., αn ]t ,
h
gdzie B = Bi,j
i
n×m
=macierz której kolumnami są wektory w̄j = L(ēj ).
Macierz AL taką, że Lv̄ = AL v̄ nazywamy macierzą przekształcenia L.
Twierdzenie 2. Złożeniu przekształceń liniowych odpowiada iloczyn macierzy, tzn.
AL◦L0 = AL · AL0 . Przekształcenie liniowe jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy
macierz AL jest nieosobliwa. Macierzą przekształcenia odwrotnego do L jest A−1
L .
Dowód.
AL◦L0 · v̄ = L ◦ L0 (v̄) = L L0 (v̄) = L(AL0 · v̄) = AL · (AL0 · v̄) = (AL · AL0 ) · v̄
Druga część wynika z pierwszej.
2. Jeśli W = K, to mówimy, że L jest funkcjonałem liniowym lub w przypadku skończeniewymiarowym formą liniową. Formy liniowe na Rn są postaci
f (x1 , ..., xn ) =
n
X
(= [α1 ...αn ] · [x1 , ..., xn ]t ).
α i xi
i=1
n
Funkcjonałem na R jest na przykład f (x1 , ..., xn ) = x1 . Funkcjonałem liniowym na
przestrzeni C([0, 1]) jest na przykład całka Riemanna. Funkcjonałem na Mn jest na
P
przykład ślad macierzy: tr (A) = ni=1 aii .
Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych sam jest przestrzenią liniową z naturalnymi
działaniami. Nazywa się go przestrzenią dualną do V .
Rezultaty z przykładu 1 uogólnia się na przekształcenia na dowolnych skończenie wymiarowych przestrzeniach liniowych w następujący sposób.
Twierdzenie 3. Niech v̄1 , ..., v̄n baza w V , w̄1 , ..., w̄n wektory w W . Wtedy istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe spełniające Lv̄i = w̄i . Czyli działanie na bazie determinuje
całe L.
Można więc zdefiniować macierz przekształcenia jako macierz, która w kolumnach ma
obraz bazy V .
Przykłady: L(x, y) = (x + y, y − x), obrót w R2 o kąt α względem początku układu
współrzędnych.
2. Macierz przekształcenia w różnych bazach
Oczywiście w różnych bazach to samo przekształcenie będzie zazwyczaj reprezentowane
innymi macierzami.
Definicja 2. Niech B = (ē1 , ..., ēn ) będzie bazą przestrzeni liniowej V . Jeśli v̄ = λ1 ē1 +
... + λn ēn , to λ1 ,...,λn nazywamy współrzędnymi wektora v̄ w bazie B.
Sumie wektorów odpowiada suma współrzędnych; mnożenie przez skalar mnoży współczynniki wektora.
Niech B = (ē1 , ..., ēn ), B 0 = (ē01 , ..., ē0n ) będą dwiema bazami przestrzeni V . Wtedy
wektory jednej można wyrazić przez wektory drugiej:
ē0i = α1i ē1 + ... + αni ēn
2
i = 1, ..., n.
Definicja 3. Macierz kwadratową P stopnia n, której współczynniki spełniają powyższą
zależność nazywamy macierzą przejścia od bazy B do bazy B 0 .
Kolumny macierzy przejścia są współrzędnymi wektorów z bazy B 0 w bazie B. Zachodzi
zależność:
[ē01 , ..., ē0n ] = [ē1 , ..., ēn ] · P.
Uwaga: wektory wierszowe składają się z wektorów, a nie liczb!
Rozważmy wektor
v̄ = λ1 ē1 + ... + λn ēn = λ01 ē01 + ... + λ0n ē0n .
Podstawiając ē0i = α1i ē1 + ... + αni ēn otrzymujemy
λi = αi1 λ01 + ... + αin λ0n .
λ01
λ1


 . 
0
0

 . 
Jeśli X = 
 .. , X =  .. , P = [αij ] - macierz przejścia, to X = P X . Podobnie,
λn
λ0n
podstawiając ēi w zależności od ē01 , ..., ē0n wyrazimy X 0 = QX, gdzie Q jest macierzą
przejścia od B 0 = (ē01 , ..., ē0n ) do B = (ē1 , ..., ēn ). Zatem P i Q sa odwracalne i X 0 = P −1 X.
Podsumowując, mamy następujące twierdzenie:




Twierdzenie 4. Jeśli P jest macierza przejścia z bazy B = (ē1 , ..., ēn ) do B 0 = (ē01 , ..., ē0n ),
to współrzędne wektora w bazie B 0 otrzymujemy przez (lewostronne) pomnożenie przez
macierz P −1 kolumny współrzędnych w bazie B.
Przypuśćmy, że dane jest przekształcenie liniowe L : V → W , które w bazach B =
{v̄1 , ..., v̄n } i C = {w̄1 , ..., w̄m } ma macierz AL . Chcemy zmienić bazy z B na B 0 = {v̄01 , ..., v̄0n }
w przestrzeni V oraz z C na C 0 = {w̄01 , ..., w̄0m } w W . Oznaczmy przez P macierz przejścia
z B do B 0 , a przez Q macierz przejścia z C do C 0 . Wtedy zmiana współrzędnych jest
realizowana przez P −1 w V , a przez Q−1 w W . Jednocześnie mnożenie przez P kolumny
współrzędnych w bazie B zmienia współrzędne w bazie B 0 na współrzędne w B. Wtedy
macierz przekształcenia w nowych bazach ma postać
A0L = Q−1 · AL · P.
W szczególności, jeśli mamy przekształcenie tej samej przestrzeni L : V → V i zmieniamy jej bazę z B na B 0 za pomocą macierzy P , to w nowej bazie przekształcenie L ma
−1
0
macierz P −1 · AL · P . Oczywiście, L−1 ma macierz A−1
· A−1
L w bazie B, a P
L ·P w B .
Warto się zastanowić: Co się dzieje gdy chcemy wrócić z bazy B 0 do B? Co gdy składamy
przekształcenia L1 i L2 ?
3. Zbiór przekształceń liniowych.
Zbiór wszystkich przekształceń liniowych L : V → W tworzy przestrzeń liniową z naturalnymi działaniami. Oznaczamy ją przez L(V, W ) (lub Hom(V, W )). Przekształcenia
liniowe V → W można:
1. dodawać: (L1 + L2 )(v̄) = L1 (v̄) + L2 (v̄),
3
2. skalować: (αL)(v̄) = α · L(v̄),
3. a jeśli V = W to także składać: (L◦ L1 )(v̄) = L2 (L1 (v̄))
otrzymując zawsze przekształcenie liniowe tej samej przestrzeni. Jeśli AL jest macierzą
przekształcenia L, too zachodzą wzory:
(i) AαL1 +βL2 = αAL1 + βAL2
(ii) AL2 ◦L1 = AL2 · AL1 .
(iii) Jeśli X jest kolumną współrzędnych wektora v̄ w bazie {v̄1 , ..., v̄n }, a Y kolumną
współrzędnych wektora w̄ = L(v̄) w bazie {w̄1 , ..., w̄m }, to Y = AL · X.
4