Wstęp do logiki i teorii mnogości Relacja równoważności i klasa

Relacje równoważności
Relacje równoważności
Definicja relacji równoważności i klasy abstrakcji
Zadania
Relacja równoważności i klasa abstrakcji
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Ćwiczenia
Niech A będzie dowolnym zbiorem oraz niech S ⊆ A × A. Relację
S nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy S jest
relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią.
Jeśli S ⊆ A × A jest relacją równoważności oraz a ∈ A jest dowolne,
to klasą abstrakcji elementu a względem relacji S nazywamy zbiór
[a]S zdefiniowany następująco:
df
[a]S = {x ∈ A; aSx} .
Relacje równoważności
Dla dowolnych a1 , a2 ∈ A mamy następującą własność:
[a1 ]S = [a2 ]S ⇐⇒ a1 Sa2 .
dr Artur Woike
Relacje równoważności
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Definicja relacji równoważności i klasy abstrakcji
Zadania
Zadania
Zbadać czy relacja S jest relacją równoważności i wyznaczyć wszystkie klasy abstrakcji (jeżeli to możliwe):
N × N ∧ ∀x,y ∈N xSy ⇐⇒ 3|(x + y );
S ⊆ Z × Z ∧ ∀x,y ∈Z xSy ⇐⇒ 5|(x − y );
S ⊆ N × N ∧ ∀x,y ∈N xSy ⇐⇒ 2|(x + y );
S ⊆ C × C ∧ ∀x,y ∈C xSy ⇐⇒ Im x = Im y ;
S ⊆ R × R ∧ ∀x,y ∈R xSy ⇐⇒ ∃a∈R (x + iy )2 = ai ;
S ⊆ (N \ {0}) × N \ {0}) ∧ ∀x,y ∈N\{0} xSy ⇐⇒ ∃t∈N xy = t 2 ;
S ⊆ C × C ∧ ∀x,y ∈C xSy ⇐⇒ x + y ∈ R.
1) S ⊆
2)
3)
4)
5)
6)
7)
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości