elementy logiki i teorii mnogości - e-WMP

ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
ZESTAW ZADAŃ NR 6
1. Rozważmy zbiór X = {1, 3, 5, 10, 30, 45, 60} uporządkowany częściowo przez
relację podzielności.
a)
b)
c)
d)
Narysuj diagram Hassego zbioru X.
Wyznacz elementy charakterystyczne.
Wyznacz, o ile istnieją, kresy zbioru {3, 5} ⊂ X
Wyznacz maksymalne łańcuchy i antyłańcuchy w X.
2. Rozważmy zbiór R2 , częściowo uporządkowany przez standardowy porządek
produktowy.
a) Narysuj zbiór elementów porównywalnych z (2, −3).
b) Sprawdź dla jakich parametrów a i b prosta y = ax + b jest łańcuchem
w tym zbiorze częściowo uporządkowanym.
c) Niech A = {(x, y) ∈ [−1, 1]2 : y ­ 2|x| − 1}. Wyznacz kres górny i dolny
zbioru A oraz elementy maksymalne i minimalne w A. Czy w zbiorze A
istnieje element najmniejszy bądź największy?
3. Sprawdź czy relacja ∼ zdefiniowana na zbiorze N następująco:
x∼y
⇐⇒
3|x − y
jest relacją równoważności? Jeśli tak, to wyznacz jej klasy abstrakcji.
4. Sprawdź czy relacja ∼ zdefiniowana na zbiorze B = {x ∈ Z : 0 < |x| ¬ 5}
następująco:
x∼y
⇐⇒
x·y >0
jest relacją równoważności? Jeśli tak, to wyznacz jej klasy abstrakcji i zbiór
ilorazowy.
5. Rozważmy relacje R i S na zbiorze A = {x ∈ N : x ¬ 10} zdefiniowane
następująco:
xRy
⇔
5|(x2 − y 2 ),
xS y
⇔
xy 6= 8.
a) Uzasadnij, że R jest, a S nie jest relacją równoważności.
b) Wyznaczyć A/R.
c) Czy R ∩ S jest relacją równoważności?
6. Rozważmy relacje R i S na zbiorze A = {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} zdefiniowane
następująco:
(n, m)R(k, l)
⇔
min(n, m) = min(k, l),
(n, m)S(k, l)
⇔
n = k.
a) Uzasadnij, że relacja R−1 jest relacja równoważności.
b) Uzasadnij, że relacja R ∪ S nie jest relacja równoważności.
c) Wyznaczyć {1, 2, 3, 4}2 /R
7. Znajdź wszystkie relacje równoważności w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
8. Znajdź liczbę wszystkich relacji równoważności w danym zbiorze n−elementowym,
gdzie n > 0 mających dokładnie
a) dwie klasy abstrakcji.
b) n − 1 klas abstrakcji.
1