Algorytmy algebry numerycznej

Algorytmy algebry numerycznej
zadania do wykładu
lista 2 - 22 października 2003
"
#
"
#
c s
c −s
1. Niech Q =
,
J =
, gdzie c2 + s2 = 1, c >
s −c
s c
0, s > 0. Niech e1 = [1, 0]T , e2 = [0, 1]T będę wektorami jednostkowymi. Czemu równa się
Qe1 , Qe2 , Je1 , Je2 , J 2 , QT Q? Jaka jest geometryczna interpretacja przekształceń Q i J? Wskazówka. Rozważyć obroty i odbicia
zwierciadlane. Wyznaczyć
" takie# Q i J, że macierze QA i JA są trój1 2
kątne górne, gdzie A =
.
1 3


3 −2


2. Wyznaczyć rozkład QR macierzy A =  0 3  za pomocą prze4 4
kształcenia Householdera.
3. Niech x = [1, 10−2 ]T . Wektor x przekształcamy na kierunek wektora
jednostkowego za pomocą przekształcenia Householdera
Q = I − 2uuT /(uT u), gdzie wektor u = [u1 , u2 ]T jest obliczany z
wzoru u = x − ||x||2 e1 . Obliczenia wykonujemy w zmiennopozycyjnej
arytmetyce dziesiętnej dwucyfrowej. Czym obliczony wektor Qx różni
się od wektora ||x||2 e1 ?
Pierwszą współrzędną wektora u można obliczyć również z wzoru (skąd
on wynika?)
−x22
u1 =
.
|x1 | + ||x||2
Powtórzyć obliczenie wektora Qx dla nowej wersji wyznaczania u1 .
4. Niech A będzie macierzą stopnia n. Niech przekształcenie Householdera ma postać blokową(U jest przekształceniem Householdera)
Q=
"
Ir 0
0 U
#
,
gdzie Ir jest macierzą jednostkową stopnia 0 lub 1. Blok U wybieramy tak, by w pierwszej kolumnie macierzy QA było jak najwięcej
elementów zerowych (ile ich może być?). Jaka będzie postać macierzy B = QAQT w zależności od r? Rozważyć oddzielnie przypadek
A = AT .
5. Algorytm Householdera-Ortegi
Niech C = QBQ, gdzie B jest macierzą symetryczną, Q przekształceniem Householdera
Q = I − βuuT ,
1
β = 2/(uT u).
Sprawdzić, że
C = B − uq T − quT ,
gdzie p = βBu,
q = p − [β(pT u)/2]u.
6. Niech x ∈ Rn , x 6= 0. Porównać koszty (liczbę działań) potrzebne do
przekształcenia wektora x na wektor ||x||2 e1 za pomocą przekształcenia Householdera i za pomocą obrotów.
7. Niech A = QR będzie rozkładem QR macierzy nieosobliwej A. Pokazać, że
cond2 (A) = ||A||2 ||A−1 ||2 = ||R||2 ||R−1 ||2 .
8. Wyznaczyć wartości własne macierzy obrotu. Czemu równają się wartości szczególne dowolnej macierzy ortogonalnej?
9. Niech A będzie macierzą prostokątną, A ∈ Rm×n , m > n, rzędu n.
Niech A = QR będzie rozkładem QR macierzy A, gdzie
R=
"
R1
0
#
,
R1 = [rij ] jest macierzą trójkątną górną.
Niech X = (AT A)−1 = (R1T R1 )−1 . Pokazać,że elementy przekątniowe
xjj macierzy X są równe kwadratom norm l2 wierszy macierzy R1−1 .
10. Napisać schemat algorytmu wyznaczania rozkładu QR macierzy A za
pomocą przekształceń Householdera z wyborem kolumny, czyli algorytm znajdowania macierzy ortogonalnej Q (w postaci sfaktoryzowanej) i macierzy permutacji P takich, że AP = QR (R - trójkątna
górna). Algorytm zastosować do macierzy




A=
1
2
4
7
2
3
5
8
3
4
6
9





11. Dana jest macierz kwadratowa A i wektor b. Zaproponować algorytm
wyznaczania macierzy ortogonalnej U takiej, że U AU T jest macierzą
Hessenberga górną, a wektor U b jest wielokrotnością wektora jednostkowego e1 . Wskazówka. Najpierw wyznaczyć przekształcenie Householdera Q1 takie, że Q1 b jest wielokrotnościa wektora jednostkowego
e1 i obliczyć H1 = Q1 AQT1 . Następnie przekształcić H1 do postaci
Hessenberga górnej. Uwaga. Macierz Hessenberga górna ma niezerowe elementy tylko bezpośrednio pod główną przekątna i w górnym
trójkącie.
Krystyna Ziętak
2