Zestaw 6 - PDF

Matematyczne Metody Fizyki/Algebra - ćwiczenia
WFiIS – I rok IS - gr.1,2 - I semestr
Zestaw nr 6 na zajęcia w dniu 12.12.2010
Zad.1 Przekształcenie liniowe dla danego wektora v = [vx, vy, vz] ≡ [v1,v2,v3] w przestrzeni
trójwymiarowej będziemy rozumieć jako utworzenie nowego wektora w = [wx, wy, wz] ≡[w1,w2,w3]
którego składowe zostały utworzone jako kombinacje liniowe składowych starego wektora v. To
znaczy, że:
j=3
W i =∑ a ij V
j=1
j
Zbiór współczynników aij będziemy nazywać macierzą przekształcenia liniowego. Proszę znaleźć
macierze przekształcenia dla następujących operacji:
 odbicia zwierciadlanego wektora w płaszczyźnie XY
 inwersji względem początku układu współrzędnych
 obrotu o kąt π/2 wokół osi OX
 obrotu o kąt α wokół osi OZ
Zad.2 Nie wszystkie (a właściwie mało które, za wyjątkiem obrotów i odbić) przekształcenia liniowe
zachowują długość wektora. Jako przykład rozważmy przekształcenia, które dany wektor v
przekształcają w wektory u oraz w , będące wynikiem rozłożenia wektora v na składową
równoległą i prostopadłą do danego wektora n o długości jednostkowej. Proszę znaleźć macierze
tych przekształceń wiedząc, że:
u =n v⋅n 

w
 =v −
u
Proszę sprawdzić procedurę przez wykonanie mnożenia macierzy otrzymanych dla wektora n
postaci [ c, c, c ] , gdzie c=1/  3 przez kolejne wersory układu współrzędnych a następnie
przemyślenie i przetestowanie otrzymanego wyniku.
Zad.3 Dla ogólnych macierzy obrotu wektora wokół jednej osi A(α) wykazać (przez pomnożenie
macierzy) następujące własności składania operacji obrotu:
 dla obrotów wokół jednej osi (np. osi OZ) wynik tego działania nie zależy od
kolejności wykonywania obrotów, tzn, że mnożenie tych macierzy jest przemienne,
tzn. A(α) A(β) = A(β)A(α) = A(α) A(β) = A(α+β)
 dla obrotów wokół różnych osi (np. OZ i OX) wynik działania zależy od kolejności
operacji, tzn. mnożenie takich macierzy obrotów nie jest przemienne tzn.
A(α) B(β) ≠ B(β)A(α) (gdzie A oznacza obrót wokół OZ zaś B wokół OX)
Zad.4 Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz B = A-1 , taką że: A A-1 = A-1 A = I
gdzie I jest tzw. macierzą jednostkową, czyli macierzą mającą same jedynki na diagonali (głównej
przekątnej) i zera we wszystkich pozostałych pozycjach. Pokazać, że:
 dla macierzy obrotu o kąt α wokół dowolnej osi (np. osi OZ) macierzą odwrotną jest
macierz obrotu o kąt (-α)
 dla macierzy otrzymanej ze złożenia obrotów wokół osi OZ(α) i OX(β) (czyli
OX(β)*OZ(α) ) macierzą odwrotną jest macierz transponowana do niej.
 Pokazać, że macierz odwrotna może być otrzymana jako OZ(-α)*OX(-β)
Zad.5 Dane są następujące macierze:
[ ]
1 2 0
A= 2 1 1
0 1 3
[
C= 1 2 1
2 3 2
]
[ ]
1 3
D= 1 2
2 1
Obliczyć wartość następujących wyrażeń: A2 , AD , CA. Czy da się znaleźć wartość wyrażeń:
DA , AC ? Czy da się znaleźć macierze odwrotne do macierzy C i D ?