Zadania z algebry 3. (pierścienie, macierze)

Zadania z algebry 3. (pierścienie, macierze)
1. Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na R o wartościach
rzeczywistych. Jeśli określimy (f + g)(x) = f(x) + g(x) dla x∈R, to (A , +) jest
grupą abelową. Jeśli określimy (f • g)(x) = f(g(x)) , to (A , • ) jest półgrupą. Czy
(A , + , • ) jest pierścieniem?
2. Niech A = {0 , 1 , 2}. Określmy działania + i ⋅ na A przy pomocy tabelek:
+ 0 1 2
⋅ 0 1 2
0 0 1 2
0 0 0 0
1 1 2 0
1 0 2 2
2 2 0 1
2 0 2 1
Czy (A , + , ⋅ ) jest pierścieniem?
3. Wykazać, że jeśli w pierścieniu z jednością R element a jest odwracalny (tzn.
istnieje b , że a b = 1 , to element –a też jest odwracalny. Obliczyć (–a) –1 .
4. Pokazać, że jeśli pierścień R jest jedyny element lewostronnie neutralny, to jest
on po prostu neutralny (obustronnie).
5. Oblicz
 1 − 2 3   3 − 5 6



2 1
3  7
− 2 1
 0
1 − 1   − 1 1 2 

6. Wykazać, że pierścień Z2x2 macierzy kwadratowych 2 x 2 , o elementach z Z
nie jest przemienny i ma nietrywialne dzielniki zera.
7. Jeśli |R|> 1 oraz n > 1, to Rnxn ma nietrywialne dzielniki zera oraz jeśli istnieją
elementy a , b∈ R ,że ab ≠ 0 , to Rnxn jest nieprzemienny.
8. Znaleźć macierze odwrotne do macierzy:
4
1 
− 1 2 4
 1




2 0  oraz  0
1 − 1
 3
 5 − 1 2
 − 3 − 6 − 8




9. Udowodnić, że jeśli R jest przemiennym pierścieniem z jednością, to dla
dowolnych macierzy (a) , (b) ∈ Rnxn , jeśli (a)(b) = 1, to (b)(a) = 1.
10. Dla dowolnego całkowitego n zbiór nR = {na : a ∈ R} jest ideałem.
11. Dla dowolnego całkowitego n zbiór {a ∈ R : na = 0} jest ideałem.
12. Wyznaczyć ideały podpierścienia R ⊆ Z2x2 złożonego z macierzy postaci
a b

 , gdzie a , b , c ∈ Z .
0 c
a b
 ma
13. Pokazać, że podpierścień R ⊆ Z2x2 złożonego z macierzy postaci 
 0 0
lewostronną jedność nie ma zaś prawostronnej jedności.
14. Pokazać, że odwzorowanie C → R2x2 przyporządkowujące liczbie zespolonej
 a b
 jest izomorfizmem C w R . To samo dla
a + bi macierz 
− b a
a − b
 .
odwzorowania f(a + bi) = 
b a 