Rozkład SVD

Z49: Algebra liniowa
Zagadnienie: Rozkłady macierzy LU, RU, SVD
Zadanie: Rozkład SVD.
Rozkład SVD
Rozkład SVD
Rozkład SVD (z ang. Singular Value Decomposition) polega na zapisaniu
macierzy A wymiaru m × n w postaci
A = U ΣV ∗ ,
gdzie U i V są macierzami ortogonalnym, odpowiednio, U wymiaru m×m, V
wymiaru n × n, zaś Σ jest macierzą diagonalną wymiaru m × n, tzn. σij = 0,
gdy i 6= j. Rozkład SVD stosuje się między innymi do obliczania macierzy
odwrotnych i w teorii aproksymacji. Ważną cechą rozkładów SVD jest, że
są niewrażliwe na błędy również w przypadka macierzy prawie osobliwych.
Każda macierz ma rozkład SVD. Niezerowe wyrazy macierzy Σ nazywamy wartościami szczególnymi macierzy A i nie zależą one od rozkładu SVD.
Kolumny macierzy U i V nazywamy, odpowiednio, lewymi i prawymi wektorami szczególnymi macierzy A. Gdy A jest macierzą kwadratową o wyrazach
rzeczywistych o wyznaczniku dodatnim, to macierze U , Σ, V też są macierzami o wyrazach rzeczywistych, przy czym U i V są obrotami, zaś Σ jest
odwzorowaniem afinicznym przeskalowującym osie układu współrzędnych.
Algorytm Rozkład SVD
Ograniczymy się do omówienia algorytmu wyznaczania rozkładu SVD dla
macierzy wymiaru 2 × 2 o wyrazach rzeczywistych.
1. Wyznaczamy macierz AT A.
2. Wyznaczamy wartości własne λ1 i λ2 macierzy AT A. Wtedy λ1 i λ2 są
liczbami dodatnimi. Przyjmujemy, że λ√
1 ­ λ2 . Wtedy√wartości szczególne
macierzy A są wyrażone wzorami σ1 = λ1 oraz σ2 = λ2 .
3. Wyznaczamy wektory własne v1 i v2 macierzy AT A i po podzieleniu przez
ich długość otrzymujemy kolumny macierzy V .
4. Wyznaczamy macierz U korzystając ze wzoru U = AV Σ−1 .
1