pochodna_funkcji_i_jej_zastosowania

Pochodna funkcji i jej zastosowania
Zad.1. Obliczy¢ pochodn¡ funkcji:
√
ex
1
5
f (x) = x7 cos x + sin
x− √
3 2,
x +
x
4
b) f (x) = sin (5x) − 3 sin 6x cos 7x,
cos 10x
,
c) f (x) =
2 sin2 (4x)
x−1
d) f (x) = arctg
x+1 ,
√
2
12x+5
√
e)f (x) = 7
+ 6 5x3 + 7 − 4x
7 −3x ,
x
arcsin 3x
f ) f (x) =
,
x2 ·sin 4x
√
x−1
g) f (x) =
x+1 ,
a)
f (x) = e3x sin (sin (sin x)),
cos x
i) f (x) = x
+ (cos x)x ,
√
ln x
3
h)f (x) =
arcctg 2x +
arcsin x ,
2
sin (x +3)
i) f (x) = 7
+ arccos 4x,
5x+7
j) f (x) = e
· ln sin 6x,
√
2
x− 1−3x
k) f (x) = e
+ 5x−x
x2 ln x ,
√
l) f (x) =
x · log4 (x − sin x),
1
1
m) f (x) =
sin6 3x − 24
cos8 4x,
18
√
3
x
n) f (x) = ln sin x + e
,
4
cos x
o) f (x) = 5
·√
arcsin 5x,
log7 x+ 5 x
p) f (x) =
cos 3x .
h)
Zad.2. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala obliczy¢
a)
f)
l)
lim 1−cos 3x ,
x→0 1−cos 4x
b)
lim sin 5x ,
x→0 sin 10x
c)
lim
x→0
sin x−x cos x
,
x3
d)
lim1 sin (2x − 1)tgπx,
x→ 2
x10 −10x+9
x cos x−sin x
x10 −1
e3x +e−3x −2
1−cos 3x
sin 3x
, g) lim
, j) lim
,
2 4x , k) lim
3 −1 , h) lim sin 5x , i) lim
2
5
sin
x−x
x
x
sin
x→π
x→1 x −5x+4
x→0
x→1
x→0
x→0 √
lim x2 e−x , ª) lim+ x ln x, m) lim lnxx , n) lim [ln (1 + x)]x , o) lim+ x x , p) limπ (tgx)tg2x .
x→∞
x→∞
x→0
x→ 4
x→0
x→0
lim
f (x) w punkcie P ,
√
√
P = ( 2, f ( 2)),
Zad.3. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji
x
a)
c)
4x
lim e2x −cos 4x ,
x→0 e −cos 2x
e)
e
f (x) = x+1
, P = (1, f (1)), b) f (x) =
f (x) = ln (x2 + e), P = (0, f (0)).
2x
1+x2 ,
je»eli:
Zad.4. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji
a)
e)
f (x) = x + x4 ,
1
f (x) = x ln
x,
2
f (x) = e2x−x ,
2
f (x) = x2 e7−x .
b)
f)
c)
f (x) = x3 − 30x2 + 225x + 1,
d)
f (x) =
x
ln x ,
Zad.5. Wyznaczy¢ wszystkie asymptoty funkcji
a)
f (x) =
2x2
x−3 ,
b)
f (x) =
x2 +1
x2 −4x+3 ,
c)
f (x) =
x3 +1
3x−2x2 ,
d)
f (x) =
2−2x3
x2 −4 ,
e)
f (x) =
2x−1
2x+6 .
Zad.6. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji
a)
f (x) = x4 + 2x2 ,
b)
f (x) =
1
1+x2 ,
c)
f (x) =
ln2 x
x ,
d)
f (x) = (x2 + 2x − 1)ex
2
+2x
Zad.7. Znale¹¢ przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci oraz punkty przegi¦cia funkcji
f (x) = x2 e−x ,
x2
b) f (x) =
x2 +1 ,
a)
1
c)
f (x) = (x − 1)e x−1 ,
1
.
d)
e)
f (x) = xe−x
f (x) = lnx2x .
2
,
Zad.8. Znale¹¢ przedziaªy, na których funkcja
f (x) = x3 e−x
Zad.9. Znale¹¢ przedziaªy, na których funkcja
f (x) =
2
ln x
x2
jest jednocze±nie malej¡ca i wypukªa.
jest jednocze±nie rosn¡ca i wkl¦sªa.