ETIz – zestaw zadań do III wykładu ze statystyki Z. 1. Rzucamy

ETIz – zestaw zadań do III wykładu ze statystyki
Z. 1. Rzucamy kostką do gry. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek.
Z. 2. Grę nazywamy sprawiedliwą, jeśli wartość oczekiwana wygranej jest równa 0. Zorganizowano następującą grę. Za rzut trzema kostkami do gry płacimy s złotych. Gdy wyrzucimy trzy szóstki wygrywamy 100 zł,
gdy wyrzucimy dokładnie dwie szóstki, wygrywamy 10 zł, w przeciwnym wypadku nic nie wygrywamy. W
przypadku wygranej dostajemy ponadto zwrot wpłaconych s złotych. Ile powinno wynosić s, aby gra była
sprawiedliwa?
Z. 3. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
xi
pi
1
2
3
4
1
4
3
8
1
8
1
4
Wyznaczyć stałą c oraz obliczyć (o ile istnieją) wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe, modę i medianę
zmiennej losowej X.
Z. 4. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
xi
pi
−2
0, 2
−1
0, 2
0
0, 1
1
c
3
0, 2
5
0, 1
Wyznaczyć stałą c oraz obliczyć (o ile istnieją) wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę zmiennej
losowej X.
Z. 5. Wyznaczyć stałą c oraz obliczyć (o ile istnieją) wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę zmiennej
losowej X, której gęstość prawdopodobieństwa dana jest wzorem

1
dla
x ∈ h−1, 0i,

2




dla
x ∈ (0, 1i,
f (x) = cx(1 − x)





0
dla pozostałych x.
Z. 6. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
 2
dla
x ∈ h−1, 1i,
c(x − 1)
f (x) =

0
dla pozostałych x.
(a) Wyznaczyć stałą c.
(b) Obliczyć (o ile istnieją) wartość oczekiwaną, modę i medianę zmiennej losowejX.
(c) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Z. 7. Obliczyć (o ile istnieją) wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę zmiennej losowej X, której
gęstość prawdopodobieństwa dana jest wzorem

dla
x ∈ h0, 21 i,
4x + 1
f (x) =

0
dla pozostałych x.
Z. 8. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym są odpowiednio równe 15 i 5. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie wartość:
a) mniejszą niż 12;
b) większą niż 14;
c) należącą do przedziału (12, 14);
d) różną od wartości przeciętnej nie więcej niż o 3.