STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zestaw 1. Rachunek

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zestaw 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 1. Rzucamy dwoma sprawiedliwymi monetami. Jeśli wypadną:
• 2 orły – wygrywamy 10 złotych,
• 1 orzeł i 1 reszka – wygrywamy 5 złotych,
• 2 reszki – przegrywamy 20 złotych.
Niech X oznacza wynik z tej gry. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X, jej funkcję prawdopodobieństwa, dystrybuantę (narysuj), wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 2. Wiadomo, że 25% wszystkich szkód zgłaszanych do zakładu ubezpieczeniowego stanowią włamania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zgłoszonych 10 szkód liczba włamań
będzie:
• równa 5,
• większa niż 2,
• nie mniejsza niż 4 i nie większa niż 8?
Niech Y oznacza liczbę włamań wśród 10 zgłoszonych szkód. Wyznacz rozkład zmiennej Y , jej
funkcję prawdopodobieństwa, dystrybuantę (narysuj), wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 3 (Schematy losowania). Zakładamy, że populacja składa się z N ­ 4 różnych elementów
{1, 2, . . . , N }. Z populacji tej losujemy próbę 4-elementową na dwa sposoby:
• każdy element (z czterech) wylosowany z populacji jest do niej zwracany (losowanie zwrotne
– niezależne).
• każdy element (z czterech) wylosowany z populacji nie jest do niej zwracany (losowanie
bezzwrotne – zależne).
Czy szanse wylosowania próby {1, 2, 3, 4} są takie same w każdym z tych przypadków? Odpowiedź
uzasadnij stosownymi obliczeniami. Dla jakich wartości N różnica szans doboru takiej samej próby
zanika?
Zadanie 4. Partię stu wyprodukowanych przedmiotów poddaje się wyrywkowej kontroli. Warunkiem odrzucenia całej partii jest znalezienie chociaż jednego wadliwego przedmiotu wśród pięciu
sprawdzonych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia zostanie odrzucona, jeżeli zawiera 5%
wadliwych wyrobów?
Zadanie 5. W Katowicach kradzionych jest średnio 18 samochodów tygodniowo. Jaka jest szansa,
że jutro będzie „dzień bez kradzieży”, przy założeniu stałej intensywności działania złodziei?
Zadanie 6. Struktura miejskich i wiejskich gospodarstw domowych ze względu na liczbę osób
czynnych zawodowo jest następująca:
Miasto
Wieś
Osoby czynne zawodowo
1
2
3
4
2778 2918 447 127
1085 1609 577 390
Oblicz prawdopodobieństwo, że:
1. losowo wybrane gospodarstwo jest gospodarstwem miejskim,
2. w losowo wybranym gospodarstwie przynajmniej 2 osoby są czynne zawodowo,
3. w losowo wybranym gospodarstwie przynajmniej 2 osoby są czynne zawodowo, jeśli wiadomo,
że jest to gospodarstwo wiejskie.
Zadanie 7. Pralnia chemiczna chce rozwinąć swoją działalność przez zainstalowanie nowej maszyny do prania i czyszczenia odzieży. W związku z tym konieczne jest dostarczenie 30 litrów
skoncentrowanego środka chemicznego na minutę. W rzeczywistości jednak podaż tego środka nie
jest stała. Ocenia się, że jest to zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym na przedziale [25, 35]
litrów. Znaleźć prawdopodobieństwo, że na minutę dostarcza się więcej niż 32 litry środka czyszczącego.
Zadanie 8. Czas bezawaryjnej pracy (w godzinach) urządzenia w pewnym zakładzie przemysłowym ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 0.5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urządzenie
przepracuje bezawaryjnie 1 godzinę?
Zadanie 9. Dystrybuanta zmiennej losowej X określona jest następującym wzorem:


dla x < −2,
0
F (x) = x4 + 21 dla − 2 ¬ x ¬ 2,


1
dla x > 2.
Wyznacz funkcję gęstości zmiennej losowej X, jej wartość oczekiwaną i wariancję.
WYBRANE ODPOWIEDZI
Odpowiedź 1. Rozkład: P(X

0,



0.25,
Dystrybuanta: F (t) =

0.75,



1,
= −20) = 0.25, P(X = 5) = 0.5, P(X = 10) = 0.25.
t < −20,
−20 ¬ t < 5,
E(X) = 0, D2 (X) = 137.5.
5 ¬ t < 10,
10 ¬ t.
Odpowiedź 2. P(Y = 5) = 0.0583992, P(Y > 2) = 0.4744072, P(4 ¬ Y ¬ 8) = 0.2240953,
E(X) = 2.5, D2 (X) = 1.875.
Odpowiedź 3. Nie:
1
4!
> N . Dla N → ∞.
N4
4
Odpowiedź 4. Dokładnie (rozkład hipergeometryczny): 0.2304100.
Przybliżenie rozkładem dwumianowym: 0.2262191.
Odpowiedź 5. X ∼ P ois(18/7), P(X = 0) = 0.07642629.
Odpowiedź 6. 1) 0.6313564,
2) 0.611016,
3) 0.7036329.
Odpowiedź 7. P(X > 32) = 0.3.
Odpowiedź 8. P(X < 1) = 0.3934693.


0, x < −2,
Odpowiedź 9. Gęstość: f (x) = 14 , −2 ¬ x ¬ 2,


0, x > 2.
E(X) = 0, D2 (X) = 34 .