materiały na ćwiczenia cz. 2

1
Statystyka opisowa
Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem.
Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy
1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości
badanej cechy, np. od najmniejszej do największej
2. szereg rozdzielczy - wyniki są uporządkowane i pogrupowane według wariantów badanej
cechy; poszczególnym wariantom przyporządkowane są odpowiadające im liczebności
(a) szereg rozdzielczy punktowy (jednostopniowy, prosty) - gdy liczba możliwych
przyjmowanych wartości jest niewielka
(b) szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy, złożony) - gdy liczba możliwych
przyjmowanych wartości jest duża
Przykład 1. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały
się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4;
2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7.
szereg wyliczający
szereg rozdzielczy punktowy
szereg rozdzielczy przedziałowy
cena akcji
cena akcji
liczebność
przedziały
liczebność
2,0
2,0
1
1,95-2,13
1
2,3
2,3
2
2,13-2,31
2
2,3
2,4
3
2,31-2,49
3
2,4
2,5
2
2,49-2,67
14
2,4
2,6
12
2,67-2,85
8
2,4
2,7
5
2,85-3,03
2
2,5
2,8
3
2,5
2,9
1
2,6
..
.
3,0
1
30
30
Miary statystyczne:
1. miary położenia - służą do określenia tej wartości cechy, wokół której skupiają się wszystkie
pozostałe wartości; mierzą przeciętny poziom cechy
(a) średnia z próby
1
(b) moda (dominanta)
(c) mediana
(d) kwartyle
2. miary rozproszenia (zmienności, rozrzutu) - służą do badania stopnia zróżnicowania jednostek populacji ze względu na wartość badanej cechy
(a) wariancja
(b) odchylenie standardowe
(c) odchylenie przeciętne od średniej
(d) odchylenie przeciętne od mediany
(e) odchylenie ćwiartkowe
(f) współczynnik zmienności
(g) współczynnik nierównomierności
3. miary asymetrii - służą do badania kierunku zróżnicowania wartości badanej cechy; mierzą
czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu
badanej cechy
(a) wskaźnik asymetrii
(b) współczynnik asymetrii
4. miary koncentracji - służą do analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół
średniej
(a) współczynnik skupienia (kurtoza)
(b) eksces
ZADANIA.
1. Studenci otrzymali następujące oceny z egzaminu: 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2;
2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5;
3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4;
4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5;
4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5. Zbudować szereg rozdzielczy
2
punktowy (jednostopniowy). Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram,
a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii.
2. W pewnym przedsiębiorstwie na koniec 2014 roku przeprowadzono inwentaryzację sprzętu
komputerowego i otrzymano następujący rozkład liczby napraw tego sprzętu od chwili
zakupu:
liczba napraw (xi )
0
1
2
3
4
5
liczba urządzeń (ni )
10
22
15
5
5
3
Narysować histogram. Dokonać analizy struktury sprzętu komputerowego według liczby
napraw, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii.
3. Stopa bezrobocia (w %) w Polsce według województw na dzień 31.12.1996 roku kształtowała się następująco: 4,1; 6,1; 6,2; 8,4; 9,6; 9,8; 10,6; 10,7; 10,7; 11,7; 11,7; 11,9; 12;
12,1; 12,4; 12,4; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,1; 13,9; 14,2; 14,3; 14,6; 14,9; 14,9; 15,2; 15,3;
16,2; 16,6; 16,7; 16,8; 16,9; 17; 17; 17,2; 17,3; 17,4; 18,2; 18,6; 19; 21,7; 21,5; 23,4; 23,6;
24,6; 24,7; 25,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy), przyjmując
długość klasy h = 3, 1. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a
następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. Podać interpretację otrzymanych wyników.
4. W pewnym przedsiębiorstwie w Lublinie na dzień 31.12.2014 roku było zatrudnionych
48 osób, których staż pracy (w latach) wynosił: 1, 2, 7, 9, 31, 24, 21, 16, 2, 7, 11, 15,
8, 6, 7, 3, 13, 15, 4, 5, 17, 20, 12, 1, 2, 3, 10, 8, 13, 2, 11, 14, 6, 10, 18, 21, 27, 27,
9, 35, 17, 32, 8, 27, 26, 18, 25, 29. Przeprowadzić grupowanie statystyczne pracowników
pod względem stażu pracy (zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość
klasy h = 5). Narysować histogram. Dokonać wszechstronnej analizy stażu pracy w tym
przedsiębiorstwie, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii.
5. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się
następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4;
2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. Zbudować szereg rozdzielczy
przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 0, 18. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego
narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii.
3
2
Estymacja
Estymacja jest to szacowanie nieznanych paramentrów, które charakteryzują rozkład badanej
cechy populacji (wychodzimy od wyników próby i na ich podstawie formułujemy wnioski o
populacji).
1. Estymacja punktowa - polega na wyznaczeniu pojedynczej wartości, która stanowi przybliżenie poszukiwanego parametru
2. Estymacja przedziałowa - polega na konstruowaniu przedziału liczbowego, który z określonym z góry prawdopodobieństwem (bliskim jedności) będzie zawierał nieznaną wartość
szacowanego parametru. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności.
• najpierw określamy prawdopodobieństwo 1 − α tzw. poziom ufności (współczynnik
ufności)
• potem wyznaczamy przedział, do którego z prawdopodobieństwem 1 − α należy szacowany parametr θ, czyli wyznaczamy takie a, b, że
P (a ¬ θ ¬ b) = 1 − α
ZADANIA.
1. W pewnym zakładzie zbadano staż pracy pracowników. W tym celu z populacji pracowników wylosowano próbę o liczebności n = 196 pracowników, z której obliczono x = 6, 9
lat. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracy pracowników jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 2, 8 lat. Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 95,
zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników.
2. W celu ustalenia nowych norm pracy konieczne było oszacowanie średniego czasu potrzebnego do wykonania pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu z populacji
wszystkich robotników wylosowano próbę n = 17 robotników i u każdego z nich dokonano
pomiaru czasu wykonania detalu. Okazało się, że średni czas wykonania detalu wynosił 15
minut, odchylenie standardowe zaś 2 minuty. Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 95,
oszacować średni czas potrzebny do wykonania tego detalu w całej populacji robotników.
Wiadomo ponadto, że rozkład czasu wykonania tego detalu jest w przybliżeniu normalny
N (µ, σ).
4
3. W losowo wybranej grupie samochodów osobowych pewnej marki przeprowadzono badanie
zużycia benzyny na trasie 100 km. Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny
dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km. Zakładając, że badana cecha
na rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego zużycia
benzyny przez wszystkie samochody tej marki na takiej trasie. Przyjąć poziom ufności
0, 99.
4. Spośród 120 wylosowanych pracowników pewnego zakładu, 12 nie wykonało normy wydajności. Przyjmując poziom ufności 0,9, wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury
pracowników w tym zakładzie, którzy nie wykonują normy.
5. Dla 200 pracowników wylosowanych niezależnie w pewnym przedsiębiorstwie otrzymano
następujący rozkład empiryczny wieku (w latach):
wiek
liczba pracowników
ni
15-19
6
20-24
40
25-29
24
30-34
25
35-39
18
40-44
28
45-49
25
50-54
10
55-59
24
200
Wiadomo, że wiek pracowników ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 − α =
0, 99, oszacować przedziałowo:
(a) przeciętny wiek pracowników w badanym przedsiębiorstwie,
(b) odchylenie standardowe wieku pracowników w badanym przedsiębiorstwie,
(c) odsetek pracowników w wieku poniżej 35 lat.
6. Analizując wydajność pracy w pewnym zakładzie otrzymano dane:
5
wydajność pracy
liczba pracowników
w szt/h
ni
0-4
4
4-8
6
8-12
7
12-16
5
22
Wiadomo, że wydajność pracy w tym zakładzie ma rozkład normalny. Przyjmując poziom
ufności 1 − α = 0, 95, wyznaczyć przedział ufności dla:
(a) przeciętnej wydajności,
(b) odchylenia standardowego.
7. Wśród studentów palących papierosy przeprowadzono ankietę na temat ilości wypalanych
dziennie papierosów. Uzyskano następujące odpowiedzi:
liczba
liczba studentów
papierosów
ni
1-3
10
3-5
20
5-7
25
7-9
40
9-11
35
11-13
10
140
Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 9, zbudować oszacować przedziałowo:
(a) średnią ilości papierosów wypalanych dziennie przez studentów,
(b) odsetek osób, które palą mniej niż 5 papierosów dziennie.
8. W celu oszacowania średniego kosztu oraz rozrzutu kosztu produkcji pewnego artykułu
produkowanego przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby 150 zakładów i
otrzymano wyniki:
6
koszt jednostkowy
liczba zakładów
w zł
ni
20-40
20
40-60
30
60-80
50
80-100
30
100-120
20
150
Wiadomo, że koszt produkcji ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 − α =
0, 95, oszacować metodą przedziałową:
(a) nieznany średni koszt tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w
Polsce,
(b) odchylenie standardowe jednostkowego kosztu tego artykułu we wszystkich zakładach
produkujących go w Polsce,
(c) odsetek zakładów, w których koszt jednostkowy jest wyższy niż 60 zł.
9. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów chorych na pewną
chorobę. Zmierzono czas snu u n = 16 wylosowanych niezależnie pacjentów i otrzymano
wyniki (w minutach): 436, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553,
500, 488. Zakładając, że czas snu ma rozkład N (µ, 70), oszacować średnią µ czasu snu
pacjenta metodą przedziałową przyjmując 1 − α = 0, 99.
10. Na koniec 2014 roku wylosowano niezależnie 8 pracowników umysłowych w pewnym przedsiębiorstwie i uzyskano następujące informacje dotyczące stażu pracy (w latach): 5, 16, 9,
13, 5, 14, 2, 9. Przy założeniu, że staż pracy w przedsiębiorstwie ma rozkład normalny,
oszacować przedziałowo na poziomie ufności 0, 98:
(a) przeciętny staż pracy pracowników umysłowych w badanym przedsiębiorstwie,
(b) odchylenie standardowe stażu pracy pracowników umysłowych badanego przedsiębiorstwa.
7
3
Weryfikacja hipotez statystycznych
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej
cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej
próby. Hipotezy możemy podzielić na:
1. hipotezy parametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące parametru badanej cechy,
2. hipotezy nieparametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące postaci funkcyjnej rozkładu
badanej cechy
Weryfikacja hipotez statystycznych jest to podejmowanie decyzji o prawdziwości lub fałszywości hipotez statystycznych.
Weryfikując daną hipotezę statystyczną na podstawie zaobserwowanych wyników próby, ponosimy zawsze pewne ryzyko podjęcia błędnej decyzji. Wynika to stąd, że na podstawie próby
nigdy nie mamy całkowitej informacji o populacji, z której pobrana została próba. Możemy
popełnić 2 rodzaje błędów:
1. możemy odrzucić hipotezę, która jest prawdziwa - błąd I rodzaju (prawdopodobieństwo
popełnienia tego błędu oznaczmy α),
2. możemy przyjąć hipotezę, która jest fałszywa - błąd II rodzaju (prawdopodobieństwo
popełnienia tego błędu oznaczmy β).
Decyzja
Hipoteza prawdziwa
Hipoteza fałszywa
decyzja poprawna
decyzja błędna
1−α
β
przyjąć hipotezę
(błąd II rodzaju)
decyzja błędna
decyzja poprawna
α
1−β
odrzucić hipotezę
(błąd I rodzaju)
Najczęściej wykorzystywane są tzw. testy istotności. Są to testy, w których bierzemy pod
uwagę jedynie prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju α, zwane poziomem istotności testu, a pomijamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju β. Dlatego nie podejmujemy decyzji o przyjęciu hipotezy. Możemy jedynie odrzucić hipotezę na poziomie istotności
α lub stwierdzić, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.
Etapy weryfikacji hipotezy statystycznej:
8
1. Dokonujemy wyboru testu statystycznego.
2. Definiujemy hipotezę zerową H0 , która będzie podlegać weryfikacji.
3. Definiujemy hipotezę alternatywną H1 , która może przyjmować wszystkie rozwiązania
poza tymi zawartymi w H0 . Hipoteza H1 najczęściej wynika z celu badania statystycznego;
jest zależna od konkretnych warunków rozwiązywanego problemu. Hipoteza H1 jest taką
hipotezą, którą w danym zagadnieniu jesteśmy skłonni przyjąć, jeśli weryfikowaną hipotezę
trzeba będzie odrzucić.
4. Wyznaczamy zbiór krytyczny W na podstawie przyjętego poziomu istotności α (w zależności od postaci hipotezy alternatywnej H1 ).
Zazwyczaj α = 0, 1; 0, 05; 0, 01; 0, 001.
5. Wyznaczamy wartość statystyki testowej i ustalamy czy należy ona do zbioru krytycznego W .
6. Podejmujemy decyzję. Jeżeli wynik znalazł się w zbiorze krytycznym, to odrzucamy hipotezę H0 na korzyść hipotezy alternatywnej H1 . W przeciwnym wypadku stwierdzamy jedynie brak podstaw do odrzucenia H0 .
ZADANIA.
1. W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma okresu użytkowania ubrań ochronnych - wynosząca 150 dni - nie jest zbyt wysoka, zbadano faktyczny okres użytkowania ich na przykładzie 50 losowo wybranych robotników pracujących w normalnych warunkach. Otrzymano
średnią długość okresu użytkowania x = 139 dni oraz odchylenie standardowe s = 9, 8
dni. Zakładając, że czas użytkowania ubrań ma rozkład normalny, stwierdzić, na poziomie
istotności α = 0, 01, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę zmiany (zmniejszenia) normy.
2. Losowo wybrana próba złożona z n = 20 studentów pewnej uczelni dała odchylenie stan√
dardowe s = 30 papierosów wypalanych dziennie. Zakładając, że rozkład liczby wypalanych dziennie papierosów jest normalny, zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe
liczby wypalanych dziennie papierosów wynosi 5. Przyjąć poziom istotności α = 0, 05.
3. W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano
z każdego z tych zakładów grupę pracowników i zbadano ją pod względem długości stażu
pracy. Otrzymano następujące wyniki:
9
zakład 1: n1 = 18 pracowników, x1 = 6, 8 lat, s1 = 1, 7 lat
zakład 2: n1 = 20 pracowników, x2 = 8, 2 lat, s2 = 2, 5 lat.
Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy pracowników w
zakładzie 1 jest niższy niż w zakładzie 2. Zakładamy, że średni staż pracy w obu zakładach
ma rozkład normalny o nieznanych, ale jednakowych parametrach σ1 = σ2 .
4. Studenci dwóch kierunków na pewnej uczelni uzyskali następujące średnie wyników nauczania: x1 = 3, 6, s1 = 2, x2 = 4, s2 = 1, 8. Przy obliczaniu średnich uwzględniono oceny
ze wszystkich zaliczeń i egzaminów w czasie studiów: n1 = 100, n2 = 120. Na poziomie
istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie ocen uzyskanych przez studentów obu
kierunków są jednakowe.
5. Wylosowano 300 mieszkań w Lublinie, w 54 przypadkach mieszkania te były wyposażone w
telefon stacjonarny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować hipotezę, że wskaźnik
struktury p mieszkań w Lublinie mających telefon stacjonarny jest równy 0,4.
6. Zbadano opony samochodowe, produkowane przez dwóch producentów, które zostały wycofane z eksploatacji. Spośród zbadanych 1582 opon producenta A otrzymano 1250 opon
wycofanych z powodu zużycia bieżnika, a spośród 589 opon producenta B wycofanych z
powodu tego defektu otrzymano 421 sztuk. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę H0 , że procent opon wycofanych z eksploatacji na skutek zużycia się bieżnika jest
jednakowy dla obu producentów, przeciw hipotezie H1 , że jest niższy dla producenta A.
7. Czas pracy baterii pewnego rodzaju ma rozkład N (µ, 70). Na poziomie istotności α = 0, 05
zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas pracy tego typu baterii wynosi ponad 500 godzin,
jeśli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 560 godzin.
8. Przeprowadzono badanie przeciętnych miesięcznych płac netto osiągniętych przez pracowników pewnego przedsiębiorstwa w 2010 roku. Wylosowano 21 pracowników i otrzymano
następujące wyniki: x = 750 zł, s = 150 zł. Miesięczne płace netto mają rozkład normalny.
Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować następujące hipotezy:
(a) przeciętna miesięczna płaca uzyskana przez pracowników była równa 700 zł,
(b) odchylenie standardowe przeciętnych płac w przedsiębiorstwie przekroczyło 90 zł.
9. W pewnej firmie wylosowano niezależnie po 150 odbiorców w roku 2001 oraz w 2002 i
zbadano poziom rentowności sprzedaży wyrobów firmy dla tych odbiorców.
10
rentowność
liczba odbiorców
liczba odbiorców
w%
w 2001 roku
w 2002 roku
-20-0
20
10
0-10
30
10
10-20
40
30
20-30
30
50
30-40
20
20
40-50
10
30
razem
150
150
Wiadomo, że rentowność w całej populacji ma rozkład normalny. Na poziomie istotności
α = 0, 05 sprawdzić:
(a) czy średnia rentowność w 2002 roku wynosiła 30 (%)?
(b) czy odchylenie standardowe rozkładu rentowności w 2002 roku było większe od 20
(%)?
(c) czy średnia rentowność firmy poprawiła się w 2002 roku w porównaniu z 2001 rokiem?
(d) czy odsetek nierentownych transakcji w 2002 roku był mniejszy niż 35%?
(e) czy są podstawy do twierdzenia, że odsetek odbiorców, dla których rentowność przekroczyła 20 (%) był większy w 2002 roku niż w 2001 roku?
10. Dzienne zużycie wody w fabryce jest zmienną losową o rozkładzie N (µ, σ). Na podstawie
obserwacji n = 196 dni stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi x = 1025
(m3 ), zaś odchylenie standardowe s = 20 (m3 ). Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że średnie dzienne zużycie wody jest mniejsze od 1000 (m3 ).
11. Dokonano 100 pomiarów opóźnień autobusów w stosunku do rozkładu. Otrzymano x = 8,
s = 4 (w minutach). Zakładając, że czas opóźnień ma rozkład normalny, zweryfikować na
poziomie istotności α = 0, 01, hipotezę, że wariancja opóźnień wynosi 9.
12. W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie do próby 250 kobiet i 380 mężczyzn,
i spytano ich czy są skłonni zmienić swoje miejsce pracy. Odpowiedziało twierdząco 100
kobiet i 280 mężczyzn. Czy można sądzić przy α = 0, 01, że badanie potwierdza ogólną
opinię, że kobiety w większym stopniu boją się zmian niż mężczyźni?
13. Z populacji studentów wylosowano 150 osób, a z populacji studentek 180 osób. Wylosowanym osobom zadano pytanie: Czy lubi pan/pani pić alkohol? Odpowiedziało twierdząco 50
11
kobiet i 120 mężczyzn. Na poziomie istotności α = 0, 02, zweryfikować hipotezę o wyższym
odsetku pijących studentów niż studentek.
14. Istnieje powszechna opinia, że studentki uzyskują lepsze oceny z egzaminu z matematyki
niż studenci. Wylosowano 10 studentów oraz 10 studentek, których średnie oceny ze sprawdzianów z matematyki wynosiły:
studenci
studentki
3,0
3,3
3,2
3,6
2,5
4,0
4,5
4,0
4,0
3,5
2,8
5,0
3,2
3,0
3,0
4,1
3,1
3,3
3,0
3,6
Zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnie oceny z matematyki
studentów i studentek są równe. Zakładamy, że średnie ocen (studentów i studentek) mają
rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) oraz że σ1 = σ2 .
15. Średnia prędkość trolejbusu (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę prędkości 200 trolejbusów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 trolejbusów w sobotę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości obliczona na podstawie tych wyników
wynosiła odpowiednio s21 = 6, 8, s22 = 4, 3. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikować
na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość trolejbusów w środę jest
mniejsza niż w sobotę.
16. Wiadomo, że rozkład wyników pomiaru głębokości morza jest normalny z odchyleniem
standardowym σ = 5 metrów. Dokonano 5 niezależnych pomiarów w tym rejonie i otrzymano wyniki: 862, 870, 876, 866, 874.
(a) Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że µ = 870.
(b) W innym rejonie rozkład jest N (µ, 10). Dla 10 niezależnych wyników otrzymano średnią głębokość morza 865 metrów. Czy można uważać, że przeciętna głębokość morza
w tych rejonach jest jednakowa?
12