docgeometria analityczna część 1
download 
Reklamacja Transkrypt
geometria analityczna część 1
Wektory → → − → 1. Obliczyć długość przekatnych równoległoboku zbudowanego na wektorach − u = 2− p +√ q, ˛ − → − → − → − → − → π w = p −2 q , gdzie p i q sa˛ wektorami jednostkowymi tworzacymi kat ˛ ˛ α = 3 . (d1 = 7, √ \ d2 = 13) → → → → → → → 2. Obliczyć kat wektorami − p = 6− m + 4− n i− q = 2− m + 10− n , jeżeli wiadomo, że − m ˛ miedzy ˛ − → π i n sa˛ wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.(α = 4 ) → → → → → → 3. Znaleźć rzut wektora − u = −2− m +− n na oś o kierunku wektora − w = 6− m − 2− n , jeżeli − → → − → − → w) wiadomo, że m i n sa˛ wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. ( u = − 14 − → → → → → 4. Dany jest wektor − u = 2− p + 4− q , gdzie − p i− q sa√ ˛ wektorami jednostkowymi wzajemnie − → → prostopadłymi. Wyznaczyć wektor w o długości 5 prostopadły do wektora − u i leżacy ˛ → → → = 2− → − → − → = 2− → − → w płaszczyźnie wektorów − p i− q . (− w p − q , w p + q ) 1 2 5. Uprościć wyrażenia: → → → → → → → → → → → (a) − p × (2− q −− r +− p ) + (2− r +− q ) × (− p − 2− r ) (odp: −2− p + 3− q +− r) → → → → → → → → → → (b) (− p + 3− q ) × (3− r +− p ) + (2− q − 3− r ) × (3− p −− q ) (odp: −9− r − 12− q) → → → gdzie − p ,− q ,− r sa˛ trójka˛ wektorów jednostkowych wzajemnie prostopadłych majacych ˛ orientacje˛ zgodna˛ z orientacja˛ przestrzeni. → → → → → → 6. Obliczyć |− u ×− v |, wiedzac, u ◦− v = 6, |− u | = 2, |− v | = 5. (odp: 8) ˛ że − → → → → → → 7. Wyznaczyć miare˛ kata wektorami − u i − v , jeżeli (− u + 3− v ) ⊥ (7− u − 5− v) i ˛ miedzy ˛ → → → → (− u − 4− v ) ⊥ (7− u − 2− v ). (Odp: π3 lub 2π ) 3 → → → → 8. Wyznaczyć miare˛ kata wektorami jednostkowymi − u i− v , wiedzac, u +− v)⊥ ˛ miedzy ˛ ˛ że (2− − → − → π (−4 u + 5 v ). (odp: 3 ) → → → → → → → → 9. Uprościć wyrażenia: (p − 2− q +− r ) × (− p −− q + 2− r ), gdzie − p ,− q ,− r sa˛ trójka˛ wektorów → wzajemnie prostopadłych majacych orientacje˛ zgodna˛ z orientacja˛ przestrzeni oraz |− p|= ˛ − → − → | q | = | r | = 2. → → 10. Wiedzac, p i− q jest równe 2 obliczyć ˛ że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach − → → → → → → pole równoległoboku zbudowanego na wektorach − m = 2− p −− q i− n = 2− p +3− q . (P = 16) → → 11. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach − p i− q wiedzac, ˛ że pole równoległoboku − → − → − → − → − → − → zbudowanego na wektorach u = 2 p + 4 q i w = p − q jest wówne 12. (P = 2) → → → → → → → → 12. Znależć rzut wektora − u =− p +− q − 2− r na oś o kierunku wektora − w = (3− p −− q +− r )× → → → → → → (2− p +− q −− r ) , gdzie − p,− q .− r jest trójka˛ wektorów jednostkowych wzajemnie prostopadłych − → → → majacych orientacje˛ zgodna˛ z orientacja przestrzeni. ( a = − 21 (− q +− r )) ˛ → → → → 13. Obliczyć wysokość równoległościanu zbudowanego na wektorach − u = 3− p + 2− q − 5− r, − → − → − → − → − → − → − → − → v = p − q + 4 r , w = p − 3 q + r , jeżeli za podstawe˛ wzieto ˛ równoległobok − → − → − → − → − → zbudowany na wektorach u i v oraz p , q , r sa˛ wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. (h = √49 ) 323 1 → → → 14. Objetość równoległościanu zbudowanego na wektorach − p, − q,− r jest równa 3. Obliczyć ˛ − → − → − → → → → → → objetość równoległościanu zbudowanego na wektorach u = p + q −− r ,− v = 2− p −− q +− r ˛ → → → → ,− w =− p + 2− q − 3− r . (V = 32 ) → → → 15. Obliczyć objetość równoległościanu zbudowanego na − m , − n i − p , jeżeli wiadomo, że ˛ − → − → − → → → → → → objetość równoległościanu zbudowanego na wektorach u = m+ n +− p ,− v = 2− m−− n −− p ˛ − → − → − → − → , w = m + n − 3 p jest równa 48. (V = 4) −→ 16. Wyznaczyć przekatne równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach AB = [3, −2, 1] ˛ −→ i AC = [0, 3, −1]. → 17. Wyznaczyć współrzedne wektora jednostkowego równoległego do wektora − a = [3, −2, 1] . ˛ → → → → → → → → → → → 18. Uprościć wyrażenie − u 2 + 3− u− v − 2− v− w + 1 jeżeli − u = 4− p −− q , − v = − p + 2− q , − → → → → → → → w = 2− p − 3− q , |− p | = 4 , |− q | = 1 , (− p ,− q ) = π2 . (392) → 19. Znaleźć miare˛ kata przekatnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach − u = ˛ miedzy ˛ ˛ − → π [2, 1, −1] , v = [1, 1, 2] ( 2 ) 20. Znaleźć miary katów wewnetrznych trójkata ˛ ˛ ˛ ABC o wierzchołkach A = (2, −1, 3), B = (1, 1, 1), C = (0, 0, 5). → → → → → → 21. Wektory − p, − q,− r maja˛ wspólny poczatek, wektory − p i− q sa˛ bokami trójkata, r ˛ ˛ zaś − − → − → − → − → − → − → − → jest jego środkowa.˛ Wykazać, że p × q + q × r + r × p = 0 . √ → → 22. Obliczyć tangens kata wektorami − u = [0, 1, 2] i − v = [2, −1, 0]. (−2 6 ) ˛ miedzy ˛ ) 23. Obliczyć pole trójkata ˛ o wierzchołkach A = (3, 4, −3) , B = (6, 2, 3) , C = (0, −1, 5). ( 49 2 → → 24. Znaleźć √ wektor jednostkowy prostopadły do wektorów − u = [2, −1, 1] i − v = [1, 2 − 1] . − → 35 ( m = ± 35 [−1, 3, 5]) → → → 25. Sprawdzić, czy wektory − p = [3, −2, 1] , − q = [2, 1, 2] , − r = [3, −1, −2] sa˛ komplanarne. 26. Dany jest caworościan o wierzchołkach w punktach A = (3, 1, 1) , B = (1, 4, 1) , C = (1, 1, 7)√, D = (3, 4, 9) . Obliczyć objetość oraz wysokość poprowadzona˛ z wierzchołka D. ˛ (hD = 14, V = 14) 27. Objetość czworościanu ABCD o wierzchołkach A = (2, 0, −1) , B = (3, −1, 1) , C = (2, −2, 3) jest równa 5. Znaleźć współrzedne wierzchołka D wiedzac, ˛ ˛ że leży on na osi OY . (D = (0, −8, 0) lub D = (0, 7, 0) ) 28. Wykazać, że punkty A = (1, 2 − 1) , B = (0, 1, 5) , C = (−1, 2, 1) i D = (2, 1, 5) nie leża˛ w jednej płaszczyźnie. −→ 29. Wyznaczyć współrzedne punktu B wiedzac, ˛ ˛ że A(3, −2, 1), AB = 14 i cosinusy kierunk−→ owe wektora AB wynosza:˛ 27 , −3 , −6 . 7 7 2
