Wielomiany nierozkładalne i liczby pierwsze

Wielomiany nierozkładalne i liczby pierwsze
Andrzej Nowicki i Adela Świątek
Toruń UMK, 30 września 1997 r.
W tym artykule zajmować się będziemy wielomianami jednej zmiennej x o współczynnikach całkowitych. Zbiór wszystkich takich wielomianów oznaczać będziemy przez Z[x].
Niech f (x) będzie wielomianem dodatniego stopnia należącym do Z[x]. Mówimy, że wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x] (lub krótko, że jest nierozkładalny), jeśli nie jest
iloczynem dwóch wielomianów dodatniego stopnia należących do Z[x].
Każdy wielomian postaci ax + b, gdzie 0 6= a i b są liczbami całkowitymi, jest oczywiście
nierozkładalny. Łatwo sprawdzić, że nierozkładalnymi są wielomiany:
x2 + 1, x2 + x + 1, x3 + 5, x3 + x2 + 2, x4 + 5x2 + 15.
Natomiast wielomiany x3 + 1, x4 + 4, x5 + x4 + 1 nie są nierozkładalne gdyż:
x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1),
x4 + 4 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2),
5
x + x4 + 1 = (x2 + x + 1)(x3 − x + 1).
Istnieją twierdzenia, pozwalające szybko stwierdzić, że dany wielomian (ze zbioru Z[x])
jest nierozkładalny. Do takich twierdzeń należy następujące kryterium Eisensteina (patrz np.
[1]). Jeśli wielomian f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ma współczynniki całkowite
oraz istnieje taka liczba pierwsza p, że: p | a0 , p | a1 , . . . , p | an−1 , p - an , p2 - a0 , to wielomian
f (x) jest nierozkładalny. Korzystając z tego kryterium bez trudu stwierdzamy, że wielomiany
x4 + 5x + 15,
2x5 + 3x4 − 6x − 3,
x12 + 7x4 − 7x + 14
są nierozkładalne. Wielomianów tego rodzaju możemy wypisywać bardzo dużo.
Istnieje jeszcze inny (mniej znany) sposób wypisywania wielomianów nierozkładalnych.
Wystarczy znać liczby pierwsze. Z cyfr dowolnej liczby pierwszej można skonstruować wielomian nierozkładalny. Spójrzmy na przkłady. Liczby 113, 127, 251, 857 są pierwsze. Z liczb
tych powstają wielomiany nierozkładalne
1x2 + 1x + 3,
1x2 + 2x + 7,
2x2 + 5x + 1,
8x2 + 5x + 7.
Podobnie, liczby 1997 oraz 1999 są pierwsze i mamy wielomiany nierozkładalne 1x3 + 9x2 +
9x+7 oraz 1x3 +9x2 +9x+9. Wielomian np. 2x5 +9x4 +9x3 +9x2 +7x+7 jest nierozkładalny,
gdyż liczba 299977 jest pierwsza..
Tak można postąpić z każdą liczbą pierwszą. Celem niniejszego artykułu jest podanie dowodu tego faktu. Dowód, który przedstawiamy, można znaleźć w [2] lub [3]. Udowodnimy dwa
twierdzenia. Twierdzenie 1 dotyczyć będzie systemu dziesiętnego. Natomiast w Twierdzeniu
2 wykażemy, że taką samą własność posiadają cyfry liczb pierwszych zapisanych w dowolnym
układzie numeracji o podstawie q > 2. W dowodach wykorzystamy lematy o zespolonych
pierwiastakach wielomianów ze zbioru Z[x].
Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (gdzie an > 1) będzie ustalonym wielomianem o współczynnikach całkowitych.
1
Lemat 1. Załóżmy, że an−1 > 0 oraz |ai | 6 c dla i = 0, 1, . . . , n − 2, gdzie c > 1
jest pewną liczbą naturalną.
Wtedy każdy zespolony pierwiastek z wielomianu f (x) spełnia
√
1+ 4c+1
nierówność Re (z) <
.
2
Dowód. Przypuśćmy, że istnieje zespolony pierwiastek z taki, że Re (z) >
dy |z| > Re (z) >
√
1+ 4c+1
2
√
1+ 4c+1
.
2
Wte-
> 1 i stąd Re (1/z) > 0 oraz |z|2 − |z| − c > 0. Ponadto:
0 = |f (z)| = |(an z n + an−1 z n−1 ) + (an−2 z n−2 + · · · + a1 z + a0 )|
> |an z n + an−1 z n−1 | − |an−2 z n−2 + · · · + a1 z + a0 |
> |an z n + an−1 z n−1 | − (|an−2 ||z|n−2 + · · · + |a1 ||z| + |a0 |)
n−1
> |an z n + an−1 z n−1 | − c(|z|n−2 + · · · + |z| + 1) = |an z n + an−1 z n−1 | − c |z||z|−1−1
n−1
n−1
|z|
n
> |an z n + an−1 z n−1 | − c |z|
|z|−1 > |z| |an + an−1 /z| − c |z|−1
n−1
n−1
|z|
n
> |z|n Re (an + an−1 /z) − c |z|
|z|−1 = |z| (an + an−1 Re (1/z)) − c |z|−1
n−1
n−1
2
|z|
n
n−1 |z| −|z|−c > 0.
> |z|n an − c |z|
|z|−1 > |z| − c |z|−1 = |z|
|z|−1
Otrzymaliśmy sprzeczność: 0 = |f (z)| > 0. Lemat 2. Niech k będzie liczbą całkowitą. Jeśli każdy zespolony pierwiastek z wielomianu
f (x) spełnia nierówność Re (z) < k − 12 , to |f (k − 1)| < |f (k)|.
Dowód. Wielomian f (x) jest (z dokładnością do stałego czynnika) iloczynem wielomianów postaci
g(x) = x − r
i
h(x) = (x − (a + bi))(x − (a − bi)) = (x − a)2 + b2 ,
gdzie r, a, b są liczbami rzeczywistymi przy czym r < k − 12 oraz a < k − 12 . Wystarczy
pokazać, że |g(k − 1)| < |g(k)| oraz |h(k − 1)| < |h(k)|. Pierwsza nierówność jest oczywista.
Sprawdzamy drugą:
|h(k)|2 − |h(k − 1)|2 = (k − a)2 + b2 − (k − 1 − a)2 − b2 = 2 k −
1
2
− 2a > 2a − 2a = 0.
Zatem |h(k − 1)| < |h(k)|. Lemat 3. Jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że:
(1) każdy zespolony pierwiastek z wielomianu f (x) spełnia nierówność Re (z) < k − 12 ,
(2) f (k − 1) 6= 0,
(3) f (k) jest liczbą pierwszą,
to f (x) jest wielomianem nierozkładalnym w Z[x].
Dowód. Przypuśćmy, że f (x) = g(x) · h(x), gdzie g(x) i h(x) pewnymi wielomianami
o współczynnikach całkowitych stopni > 1. Wielomiany g(x) i h(x) spełniają oczywiście
założenia Lematu 2. Zatem: |g(k)| > |g(k − 1)| > 1 oraz |h(k)| > |h(k − 1)| > 1. Stąd
wynika, że f (k) = |f (k)| = |g(k)| · |h(k)| wbrew temu, że f (k) jest liczbą pierwszą. Lemat 4. Załóżmy, że an−1 > 0 oraz |ai | 6 c dla i = 0, 1, . . . , n−2,
√ gdzie c > 1 jest pewną
liczbą naturalną. Jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że k > 1 + 21 4c + 1, f (k − 1) 6= 0
oraz f (k) jest liczbą pierwszą, to wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x].
1
2 (1
Dowód.
Niech z będzie zespolonym pierwiastkiem wielomianu f (x). Wtedy Re (z) <
√
+ 4c + 1) (na mocy Lematu 1) i mamy:
√
√
Re (z) < 12 + 12 4c + 1 = 1 + 12 4c + 1 − 12 6 k − 12 .
2
Teza wynika zatem z Lematu 3. Twierdzenie 1 ([2] str. 118). Niech f (x) będzie wielomianem dodatniego stopnia o współczynnikach całkowitych należących do zbioru {0, 1, . . . , 9}. Jeśli f (10) jest liczbą pierwszą, to
wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x].
Dowód. Przyjmujemy k = 10, c = 9 i stosujemy Lemat 4. Twierdzenie 2. Niech q > 2 będzie liczbą naturalną i niech f (x) będzie wielomianem
dodatniego stopnia o współczynnikach całkowitych należących do zbioru {0, 1, . . . , q − 1}. Jeśli
f (q) jest liczbą pierwszą, to wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x].
√
Dowód. Niech k = q, c = q − 1. Łatwo sprawdzić, że wówczas k > 1 + 21 4c + 1 (korzysta
się z tego, że q > 2). Teza wynika więc z Lematu 4. Na zakończenie zanotujmy pytanie:
Czy Twierdzenie 2 jest prawdziwe również dla q = 2 ?
Autorzy nie znają odpowiedzi na to pytanie. Przetestowano (komputerowo) wielką liczbę
wielomianów spełniających dane założenia. Nie znaleziono żadnego kontrprzykładu.
Literatura
[1] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, Warszawa 1975.
[2] G. M. Szapiro, Algebra Wyższa (po rosyjsku), Moskwa, 1938.
[3] J. Wieczyńska, Rozkładalność wielomianów nad ciałem liczb wymiernych, Praca magisterska, Toruń, UMK, 1997.
3