plik

Spis treści
1 Elementy logiki
1
2 Elementy teorii mnogości
5
3 Liczby zespolone
13
4 Macierze i wyznaczniki
16
5 Elementy teorii grup
23
6 Zbiór liczb rzeczywistych
27
7 Ciągi liczbowe
35
8 Szeregi liczbowe
38
9 Elementy teorii przestrzeni metrycznych
42
10 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
45
11 Funkcje wielu zmiennych
54
12 Całki nieoznaczone
62
13 Całki oznaczone
68
14 Szeregi funkcyjne
73
15 Szeregi Fouriera
75
16 Całki wielokrotne
77
17 Równania różniczkowe zwyczajne
80
1
Elementy logiki
Zadanie 1.1. Niech p, q, r będą zmiennymi zdaniowymi takimi, że:
p: Pada deszcz.
q: Świeci słońce.
r: Na niebie są chmury.
A. Zapisz schematy zdań:
a) Pada deszcz i świeci słońce.
b) Jeśli pada deszcz, to na niebie są chmury.
c) Świeci słońce lub na niebie są chmury wtedy i tylko wtedy, gdy nie pada deszcz.
B. Odczytaj schematy zdań:
a) (p ∧ q) ⇒ r
b) (p ⇒ r) ⇒ q
c) ¬ q ⇔ (p ∨ r)
1
Zadanie 1.2. Sprawdź metodą zero-jedynkową, czy formuły są tautologiami rachunku zdań:
a) [p ⇒ (¬ p ∧ q)] ⇒ q
b) [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∨ q) ⇒ r]
c) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r)
d) {¬ [(p ∨ q) ∧ r] ⇒ ¬ q} ⇔ [¬ p ∧ (r ⇒ q)]
Zadanie 1.3. Uprość formuły korzystając z praw rachunku zdań:
a) [¬ (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (p ⇒ q)] ∧ p
b) p ⇒ [q ∧ (¬ p ⇔ q)]
c) p ∧ [q ∨ (¬ p ∧ r)]
d) p ⇔ [q ⇒ (q ⇒ p)]
Zadanie 1.4. Pokaż, że formuły A i B są równoważne tzn. A ∼ B, jeżeli:
a) A = (p ∧ q) ⇒ r, B = (p ∧ ¬ r) ⇒ ¬ q
b) A = (p ∧ r) ⇒ (q ∧ r), B = (p ∧ r) ⇒ q
c) A = p ∨ (p ∧ q), B = p
d) A = (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r), B = p ⇒ (q ∧ r)
Zadanie 1.5. Sprawdź, czy prawdziwe są zdania:
a) Jeżeli nie jest prawdą, że albo prosta l jest równoległa do prostej m albo prosta p nie jest
równoległa do prostej m, to albo prosta l nie jest równoległa do prostej m, albo prosta p
jest równoległa do prostej m.
b) Jeżeli Iksiński nie zna rachunku zdań, to, jeżeli Iksiński zna rachunek zdań, to Iksiński żyje
na Marsie.
h
i
3 √
−1
c) [(2 + 2 = 5) ∧ (7 | 324)] ⇔ 50,5 + 125 = (0, 002) 2
d) ¬ (0 6= 1) ⇒
x3 + 3x2 − 4x ¬ 0 dla x ∈ (−∞; −4i ∪ h0; 1i ∨ 2x3 + 2x2 − 5x − 4 ÷ 2x2 − 3 = x + 1
Zadanie 1.6. Zbuduj prawdziwą implikację ze zdań:
t: Liczba naturalna n jest podzielna przez 2.
r: Liczba naturalna n jest podzielna przez 4.
Określ, które ze zdań jest warunkiem koniecznym, które wystarczającym.
Zadanie 1.7. Odczytaj zdania:
a) ∀l1 ,l2 ,l3 ∈π {[(l1 k l3 ) ∧ (l2 k l3 )] ⇒ (l1 k l2 )}
b) ∀l1 ,l2 ,l3 ∈π {[(l1 ⊥ l2 ) ∧ (l2 ⊥ l3 )] ⇒ (l1 k l3 )}
c) ∀x∈R ∀>0 ∃δ>0 ∀y∈R (|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < )
d) ∀n∈N+ an < 0
Zadanie 1.8. Zapisz przy pomocy kwantyfikatorów zdania:
2
a) Twierdzenie Lagrange‘a: Każda liczba naturalna jest sumą kwadratów czterech liczb naturalnych.
b) Między dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi znajduje się trzecia liczba rzeczywista.
c) Suma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych jest nieujemna.
d) Warunek Lipschitza: Istnieje liczba L > 0 taka, że dla każdych liczb x1 , x2 należących do
przedziału I spełniona jest nierówność |f (x1 ) − f (x2 )| ¬ L |x1 − x2 |.
Zadanie 1.9. Sprawdź, czy prawdziwe są zdania:
a) ∀t∈R t2 + 2t − 3 = 0
b) ∃n∈N 2n2 − n − 10 = 0
c) ∀α (tgα · ctgα = 1)
d) ∀α sin2 α + cos2 α = 1
e) ∃n∈N [(n + 7 ­ 5) ∧ (n < 4 − n)]
f ) ∃n∈N (n − 5 > 12) ∧ n4 + n < n4 + 8
g) ∀x∈R ∀y∈R y = x2
h) ∀y∈R ∃x∈R x2 = y
Zadanie 1.10. Znajdź zaprzeczenia formuł:
a) ∀x [f (x) ⇒ ∃y g (y)]
b) ∀x [f (x) ⇒ g (x)] ∧ ∃x [h (x) ∧ ¬ k (x)]
3
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 1.1.
A. a) p ∧ q
b) p ⇒ r
c) q ∨ r ⇔ ¬p
B. a) Jeśli pada deszcz i świeci słońce, to na niebie są chmury.
B. b) Jeśli z tego, że pada deszcz wynika, że na niebie są chmury, to świeci słońce.
B. c) Słońce nie świeci wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz lub na niebie są chmury.
Odp 1.2.
a,d) Formuła nie jest tautologią rachunku zdań.
b,c) Formuła jest tautologią rachunku zdań.
Odp 1.3. Podane formuły można uprościć do postaci:
a) p
b) ¬p
c) p ∧ q
d) q ∨ p
Odp 1.4. Sposoby postępowania: Należy przekształcić za pomocą praw rachunku zdań jedną
formułę do postaci drugiej formuły albo pokazać, że dla każdego wartościowania p, q, r obydwie
formuły przyjmują te same wartości logiczne.
Odp 1.5. a, b, d) zdania prawdziwe, natomiast c) fałszywe.
Odp 1.6. Implikacja: r ⇒ t, gdzie zdanie r jest warunkiem wystarczającym dla zdania t, a
zdanie t warunkiem koniecznym dla zdania r.
Odp 1.7.
a) Dla dowolnych trzech prostych na płaszczyźnie, jeśli pierwsza jest równoległa do trzeciej i
druga jest równoległa do trzeciej, to pierwsza jest równoległa do drugiej.
b) Dla dowolnych trzech prostych na płaszczyżnie, jeśli pierwsza jest prostopadła do drugiej i
druga jest prostopadła do trzeciej, to pierwsza jest równoległa do trzeciej.
c) Dla dowolnej liczby rzeczywistej xi dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje dodatnia
liczba rzeczywista δ, że dla każdej liczby rzeczywistej y zachodzi warunek, że jeśli |x − y| < δ,
to |f (x) − f (y)| < .
d) Wszystkie wyrazy ciągu liczbowego są ujemne.
Odp 1.8.
a) ∀n∈N ∃a,b,c,d∈N n = a2 + b2 + c2 + d2
b) ∀x∈R ∀y∈R ∃z∈R (x < y ⇒ x < z < y)
c) ∀a,b∈R a2 + b2 ­ 0
d) ∃L>0 ∀x1 ,x2 ∈I (|f (x1 ) − f (x2 )| ¬ L |x1 − x2 |)
Odp 1.9. d, e) zdania prawdziwe, natomiast a, b, c, f, g, h) fałaszywe.
Odp 1.10.
a) ∃x [f (x) ∧ ∀y ¬g (y)]
b) ∃x [f (x) ∧ ¬g (x)] ∨ ∀x [¬h (x) ∨ k (x)]
4
2
Elementy teorii mnogości
Zadanie 2.1. Naszkicuj na osi liczbowej lub w układzie współrzędnych zbiory A ∪ B, A ∩ B,
A \ B, B \ A, A M B, jeżeli:
a) A = x ∈ R : x2 > 4 , B = {x ∈ R : x < 1}
b) A = {x ∈ R : |x| < 4} , B = {x ∈ R : x ­ 4}
c) A = {x ∈ R : |x| > 3} , B = {x ∈ R : |x| ¬ 1}
d) A = (x, y) ∈ R2 : y = |x| , B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4
e) A = (x, y) ∈ R2 : y − x ¬ 0 , B = (x, y) ∈ R2 : x + y < 3
f ) A = (x, y) ∈ R2 : y = |2x + 1| − 1 , B = (x, y) ∈ R2 : y ¬ −x2 + 1
Zadanie 2.2. Korzystając z definicji działań na zbiorach wykaż, że dla dowolnych zbiorów
A, B, C zachodzą następujące równości:
a) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)
c) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)
d) [(A ∪ B) \ C] ∪ (A ∩ C) = A ∪ (B \ C)
Zadanie 2.3. Udowodnij za pomocą praw rachunku zbiorów, że dla dowolnych zbiorów A, B, C
zachodzą następujące równości:
a) A M B = B M A
b) A ∩ (B M C) = (A ∩ B) M (A ∩ C)
c) A \ (A M B) = A ∩ B
d) (A ∪ B) M (A ∩ B) = A M B
Zadanie 2.4. Sprawdź, czy prawdą jest, że:
a) A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B
b) (A \ B) ∪ (C \ D) ⊂ (A ∪ C) \ (B ∪ D)
c) A ⊂ B ⇔ A ∪ (B \ A) = B
d) A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
Zadanie 2.5. Znajdź zbiór P(A), gdzie:
a) A = ∅
b) A = {4}
Zadanie 2.6. Znajdź
S∞
n=1
c) A = {1, 2}
An oraz
T∞
n=1
1
n
<x¬3+
An , jeżeli:
b) An = x ∈ R : 0 ¬ x ¬
a) An = {x ∈ R : x < n}
c) An = x ∈ R : 1 +
d) A = {a, b, c}
1
n
1
n
d) An = x ∈ R : − 21 n ¬ x ¬ 14 n
5
S
T
Zadanie 2.7. Znajdź t∈R At oraz t∈R At , jeżeli:
a) At = x ∈ R : |x − 2| ¬ t2
b) At = x ∈ R : |x − 2| > t2
c) At = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ t2
d) At = (x, y) ∈ R2 : x + t = y
Zadanie 2.8. Podaj interpretację graficzną A × B oraz B × A, jeżeli:
a) A = {3, 4, 5} , B = {2, 3}
b) A = {a ∈ Z : |a| ¬ 5} , B = {b ∈ R : 1 < b ¬ 2}
c) A = {a ∈ R : −1 < a ¬ 7} , B = {b ∈ R : 0 ¬ b < 5}
d) A = {a ∈ R : 0 < a < 1 ∨ 2 < a ¬ 3} , B = {b ∈ R : 1 < b ¬ 2 ∨ 3 < b ¬ 4}
e) A = {a ∈ R : −4 ¬ a < −2 ∨ 2 < a ¬ 4} , B = {b ∈ Z : −4 < b ¬ 3}
f ) A = {a ∈ R : −1 < a < 0 ∨ 0 < a < 1} , B = {b ∈ Z : |b| ¬ 2}
Zadanie 2.9. Korzystając z definicji iloczynu kartezjańskiego zbiorów wykaż, że dla dowolnych
zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości:
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
b) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)
c) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)
d) (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C)
Zadanie 2.10. Znajdź Dl (R) oraz Dp (R):
a) R = {(1, 2) , (1, 4) , (2, 2) , (3, 4) , (3, 5)}
b) R = {(−1, 1) , (0, 1) , (1, 1)}
c) X = {−1, 0, 1} , Y = {−2, −1, 0, 1, 2} ,
d) X = Y = N,
xRy ⇔ x < y
xRy ⇔ x < y
e) X = {4, 5} , Y = N,
f ) X = N, Y = {12, 18} ,
xRy ⇔ x | y
xRy ⇔ x | y
g) X = Y = R,
xRy ⇔ y = |x| + 1
h) X = Y = R,
xRy ⇔ y = −x2 − 5
Zadanie 2.11. Niech X = {a, b, c, d}. Sprawdź, jakie z własności: zwrotności, symetryczności,
antysymetryczności, przechodniości, spójności mają następujące relacje Ri ⊂ X × X:
a) R1 = {(a, a) , (b, b) , (a, b)}
b) R2 = {(a, a) , (b, b) , (c, c) , (d, d) , (a, b) , (b, a)}
c) R3 = {(a, b) , (b, a) , (c, a) , (a, c) , (c, d) , (a, d)}
6
Zadanie 2.12. Określ, które z następujących relacji są: zwrotne, symetryczne, antysymetryczne,
przechodnie, spójne. Jeśli któraś z relacji jest równoważnością, to wyznacz klasy abstrakcji.
a) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ xy = 0
b) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ x + y = 2
c) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ |x| = |y|
d) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ x2 = y 2
e) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ x ¬ y
f ) R ⊂ Z × Z,
xRy ⇔ 3 | x − y
g) R ⊂ Z × Z,
xRy ⇔ 5 | x + 2y
h) R ⊂ N × N,
xRy ⇔ (x = 1 ∧ y = 1)
i) R ⊂ X × X, X = {1, 2, 3, 4, . . . , 16} ,
xRy ⇔ 4 | x2 − y 2
Zadanie 2.13. Sprawdź, czy następujące relacje są funkcjami. Jeśli tak, określ dziedzinę, przeciwdziedzinę oraz zbiór wartości funkcji.
a) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ 2x + y = 4
b) R ⊂ Z × N,
xRy ⇔ x = y
c) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ x2 = y 2
d) R ⊂ N × N,
xRy ⇔ x ¬ y
e) R ⊂ Z × Z,
xRy ⇔ x = −1
f ) R ⊂ N × N,
xRy ⇔ 5 | x + y
g) R ⊂ N × N,
xRy ⇔ x3 = y 3
h) R ⊂ R × R,
xRy ⇔ y = |−x + 2| − 4
Zadanie 2.14. Czy dla funkcji f istnieje funkcja odwrotna f −1 ? Uzasadnij odpowiedź. Jeśli tak,
wyznacz ją.
a) f : R → R,
f (x) = −4x + 5
b) f : R → h0, ∞) ,
c) f : R → R,
d) f : R → R,
e) f : R → R,
f (x) = x2
f (x) = 3x + 4
x
, x 6= 1
x−1
f (x) =
1
,x = 1

,x < 0
 −x2
x
, x ∈ h0, 1)
f (x) =

2x − 1 , x ­ 1
f ) f : R2 → R2 ,
f (x, y) = (x + 2y, −3x + 6)
g) f : R2 → R × h0, ∞) , f (x, y) = x, y 2
h) f : R2 → R2 ,
f (x, y) = (|x| , x + y)
Zadanie 2.15. Dla danych funkcji f, g znajdź f ◦ g oraz g ◦ f :
a) f (x) = 2x + 5, dla x ∈ R
g (x) = −x2 + 3x − 1, dla x ∈ R
b) f (x, y) = xy + x2 , dla x, y ∈ R
g (x) = (x, sin x), dla x ∈ R
2
c) f (x) = −x3 + 4x2 − 6, dla x ∈ R
g (x) = x (x − 1) , dla x ∈ R
d) f (x, y) = (y − 2, −x + 3), dla x, y ∈ R
g (x, y) = xy, x2 − y 2 , dla x, y ∈ R
7
Zadanie 2.16. Dla danej funkcji f oraz zbiorów A, B znajdź f~ (A) oraz f~−1 (B) :
a) f : R → R,
f (x) = x2 − 4x + 3, gdzie A = (2, 4i , B = h3, 5)
b) f : R \ {1} → R,
f (x) =
1
x−1 ,
gdzie A = (−∞, 0i , B = {−1, 1}
c) f : R → R,
f (x) = 2x − 4, gdzie A = h−1, 1i , B = (0, ∞)
d) f : R+ → R,
f (x) = log2 x, gdzie A = (0, 1) , B = {2, 8}
f (x) = sin x + 1, gdzie A = π6 , 5π
4 , B = {0}
f (x) = −x2 − x + 2 − 1, gdzie A = R, B = (−1, 0i
e) f : R → R,
f ) f : R → R,
Zadanie 2.17. Oblicz moc zbioru A, jeżeli:
a) A = ∅
b) A = {n ∈ {1, 2, . . . , 16} : 2 | n}
c) A = x ∈ R : x2 + 3x − 4 = 0
d) A = {(x, y) ∈ Z × N : x ∈ h−2, 3i ∧ y ¬ 4}
e) A = B ∩ C, gdzie B = (x, y) ∈ R2 : y = x3 , C = (x, y) ∈ R2 : y = x
f ) A = P ({1, 2, 3})
Zadanie 2.18. Pokaż, że następujące zbiory A i B są równoliczne:
a) A = x ∈ R : x2 − 2x + 1 = 0 , B = {∅}
b) A = {x ∈ R : |x + 2| − 3 = 0}, B = {n ∈ {1, 2, 3, . . . , 18} : 7 | n}
√
c) A = {0, 1, 2}, B =
2, e, π
d) A = N, B = {2n : n ∈ N}
e) A = N, B = {2n + 1 : n ∈ N}
f ) A = N, B = N \ {0}
g) A = N, B = N \ {138}
h) A = N, B = N \ {13, 25}
i) A = N, B = N \ {4, 9, 15, 23}
j) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 , B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 4
k) A = (x, y) ∈ R2 : y = x2 , B = (x, y) ∈ R2 : y = x2 + 1
l) A = (x, y) ∈ R2 : x ∈ h−1, 1i ∧ y ∈ h−1, 1i , B = (x, y) ∈ R2 : x ∈ h−3, 3i ∧ y ∈ h−3, 3i
Zadanie 2.19. Oblicz moc następujących zbiorów:
a) P = {2n : n ∈ N}
b) Z
c) Q
d) dowolny odcinek (a, b), gdzie a < b
8
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 2.1.
a) A ∪ B = (−∞; 1) ∪ (2; +∞) A ∩ B = (−∞; −2)
A \ B = (2; +∞) B \ A = h−2; 1) A M B = h−2; 1) ∪ (2; +∞)
b) A∪B = (−4; +∞)
A∩B = ∅
A\B = (−4; 4)
B\A = h4; +∞)
A M B = (−4; +∞)
c) A ∪ B = (−∞; −3) ∪ h−1; 1i ∪ (3; +∞) A ∩ B = ∅
A \ B = (−∞; −3) ∪ (3; +∞) B \ A = h−1; 1i A M B = (−∞; −3) ∪ h−1; 1i ∪ (3; +∞)
d) A - półproste y = −x oraz y = x o początku w P (0, 0) (górne ramiona)
B - koło K ((0, 0) ; 2) bez brzegu
e) A - prawa półpłaszczyzna z krawędzią wyznaczona przez prostą y = x
B - lewa półpłaszczyzna bez krawędzi wyznaczona przez prostą y = −x + 3
f ) A - półproste y = −2x − 2 oraz y = 2x o początku w P − 21 , −1 (górne ramiona)
B - dolna część płaszczyzny z brzegiem wyznaczona przez parabolę y = −x2 + 1
Odp 2.2. Korzystając z definicji działań na zbiorach oraz praw rachunku zdań należy przekształcić jedną ze stron równości do postaci drugiej strony.
Odp 2.3. Należy doprowadzić jedną ze stron równości do postaci drugiej za pomocą praw rachunku zbiorów.
Odp 2.4. a, c, d) są zdaniami prawdziwymi, natomiast b) jest fałszywe.
Odp 2.5.
a) P(A) = {∅}
b) P(A) = {∅, {4}}
c) P(A) = {∅, {1} , {2} , {1, 2}}
d) P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}
Odp 2.6.
S∞
a) n=1 An
S∞
b) n=1 An
S∞
c) n=1 An
S∞
d) n=1 An
Odp 2.7.
S
a) t∈R At
S
b) t∈R At
S
c) t∈R At
S
d) t∈R At
T∞
An = (−∞; 1)
T∞
= h0; 1i
n=1 An = {0}
T∞
= (1; 4i
n=1 An = (2; 3i
1 1
T∞
=R
n=1 An = − 2 , 4
=R
=R
n=1
T
t∈R
At = {2}
T
t∈R At = ∅
= R \ {2}
T
= R2
t∈R At = {(0, 0)}
T
= R2
t∈R At = ∅
9
Odp 2.8. Przed wykreśleniem iloczynu kartezjańskiego zbiorów w układzie współrzędnych zaleca
się naszkicowanie na osiach liczbowych zbiorów A oraz B, co znacznie ułatwi zadanie.
Odp 2.9. Korzystając z definicji iloczynu kartezjańskiego zbiorów, działań na zbiorach oraz praw
rachunku zdań należy przekształcić jedną ze stron równości do postaci drugiej strony.
Odp 2.10.
a) Dl (R) = {1, 2, 3}
Dp (R) = {2, 4, 5}
b) Dl (R) = {−1, 0, 1}
Dp (R) = {1}
c) Dl (R) = {−1, 0, 1}
Dp (R) = {0, 1, 2}
d) Dl (R) = N
Dp (R) = N \ {0}
e) Dl (R) = {4, 5}
Dp (R) = {y : y = 4n ∨ y = 5n, n ∈ N}
f ) Dl (R) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}
Dp (R) = {12, 18}
g) Dl (R) = R
Dp (R) = h1, +∞i
h) Dl (R) = R
Dp (R) = (−∞, −5i
Odp 2.11.
a) R1 jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia; nie jest symetryczna, spójna.
b) R2 jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna.
c) R3 nie jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna.
Odp 2.12.
a) R jest symetryczna; nie jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Nie jest relacją
równoważności.
b) R jest symetryczna; nie jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Nie jest relacją
równoważności.
c) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją
równoważności. Klasy abstrakcji: [0]R = {0}, [a]R = {−a, a} dla a ∈ R \ {0}
d) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją
równoważności. Klasy abstrakcji: [0]R = {0}, [a]R = {−a, a} dla a ∈ R \ {0}
e) R jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna, nie jest symetryczna. Nie jest relacją
równoważności.
f ) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją
równoważności. Klasy abstrakcji: [0]R = {3k : k ∈ Z}, [1]R = {3k + 1 : k ∈ Z},
[2]R = {3k + 2 : k ∈ Z}
g) R nie jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Nie jest relacją
równoważności.
h) R jest symetryczna, przechodnia; nie jest zwrotna, antysymetryczna, spójna. Nie jest relacją
równoważności.
10
i) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją
równoważności. Klasy abstrakcji: [0]R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, [1]R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
Odp 2.13.
a) R jest funkcją. Dl (R) = X = R
Y =R
Dp (R) = R.
g) R jest funkcją. Dl (R) = X = N
Y =N
Dp (R) = N.
h) R jest funkcją. Dl (R) = X = R
Y =R
Dp (R) = h−4; +∞).
R nie jest funkcją w b, c, d, e, f ).
Odp 2.14.
a) f jest bijekcją, stąd istnieje f −1 : R → R określona wzorem f −1 (x) = − 41 x + 54 .
b) Nie istnieje f −1 bo f nie jest injekcją.
c) Nie istnieje f −1 bo f nie jest surjekcją.
x
x−1
, x 6= 1
.
1
,x = 1
 √
 − −x , x < 0
x
, x ∈ h0, 1) .
e) f jest bijekcją, stąd istnieje f −1 : R → R określona wzorem f −1 (x) =
 1
1
x
+
,
x­1
2
2
f ) f jest bijekcją, stąd istnieje f −1 : R2 → R2 określona wzorem f −1 (x, y) = − 31 y + 2, 12 x 16 y − 1 .
d) f jest bijekcją, stąd istnieje f
−1
: R → R określona wzorem f
−1
(x) =
g) Nie istnieje f −1 bo f nie jest injekcją.
h) Nie istnieje f −1 bo f nie jest surjekcją ani injekcją.
Odp 2.15.
2
a) (f ◦ g) (x) = 2 −x2 + 3x − 1 + 5
2
(g ◦ f ) (x) = − (2x + 5) + 3 (2x + 5) − 1
b) (f ◦ g) (x) = x sin x + x2 (g ◦ f ) (x, y) = xy + x2 , sin xy + x2
h
i3 h
i2
2
2
2
c) (f ◦ g) (x) = − x (x − 1) +4 x (x − 1) −6 (g ◦ f ) (x) = −x3 + 4x2 − 6 −x3 + 4x2 − 7
d) (f ◦ g) (x, y) = x2 − y 2 − 2, −xy + 3
2
2
(g ◦ f ) (x, y) = (y − 2) (−x + 3) , (y − 2) − (−x + 3)
Odp 2.16.
a) f~ (A) = (−1, 3i
f~−1 (B) = 2 −
√
√ 6; 0 ∪ 4; 2 + 6
b) f~ (A) = h−1; 0) f~−1 (B) = {0, 2}
c) f~ (A) = −3 21 ; −2
f~−1 (B) = (2; +∞)
d) f~ (A) = (−∞; 0) f~−1 (B) = {4, 256}
D √
E
e) f~ (A) = − 22 + 1; 2
f~−1 (B) = 32 π + 2kπ, k ∈ Z
11
f ) f~ (A) = h−1;
D +∞) √
−1
~
f (B) = − 12 − 213 ; −2 ∪ −2; − 12 −
Odp 2.17.
a) |A| = 0
b) |A| = 8
c) |A| = 2
√
5
2
E
D
∪ − 21 +
d) |A| = 30
√
5
2 ;1
∪ 1; − 12 +
e) |A| = 3
√
13
2
E
f ) |A| = 8
Odp 2.18.
a) A = {1}
B {∅}, czyli |A| = |B| = 1
b) A = {−5, 1}
B {7, 14}, czyli |A| = |B| = 2
c) |A| = |B| = 3
d) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (n) = 2n
e) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (n) = 2n + 1
f ) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (n) = n + 1
n
g) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (n) =
n+1

 n
n+1
h) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (n) =

n+2

n




 n+1
n + 27
i) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (n) =


n+3



n+4
, n ¬ 137
, n ­ 138
, n ¬ 12
, 13 ¬ n ¬ 23
, n ­ 24
,n ¬ 3
,4 ¬ n ¬ 7
, 8 ¬ n ¬ 12
, 13 ¬ n ¬ 19
, n ­ 20
j |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (x, y) = (2x, 2y)
k |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (x, y) = (x, y + 1)
l) |A| = |B| bo istnieje bijekcja f : A → B określona wzorem f (x, y) = (3x, 3y)
Odp 2.19.
a) |P | = |N| = ℵ0 - patrz Zadanie 2.18 d).
b) |Z| = |N| = ℵ0 bo istnieje bijekcja f : N → Z określona wzorem f (n) =
− n2
n+1
2
, n parzyste
, n nieparzyste
c) |Q| = |N| = ℵ0 bo elementy zbioru Q dają się ustawić w ciąg różnowartościowy. Najpierw
należy wpisać w odpowiedni sposób elementy zbioru Q+ w tablicę, co doprowadzi do powstania ciągu. Nastepnie wstawić na początek ciągu 0, a za każdą liczbą - liczbę do niej
przeciwną.
d) Przedział (a, b) można potraktować jako odcinek i wówczas znajduje
się bijekcję pomiędzy
danym a dowolnym odcinkiem. Z kolei istnieje bijekcja f : − π2 ; π2 → R określona wzorem
f (x) = tg x, następnie korzystając z przechodniości równoliczności |(a, b)| = |R| = c
12
3
Liczby zespolone
Zadanie 3.1. Dla danej liczby zespolonej z znajdź jej część rzeczywistą i urojoną, oraz z̄, |z|.
Poszukaj z oraz z̄ w układzie współrzędnych.
a) z = 8 + 6i
b) z = −3 − 4i
c) z = i
d) z = 2
e) z =
1
2
− 12 i
f ) z = −5i
Zadanie 3.2. Dla danych liczb zespolonych z1 i z2 oblicz z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 ,
a) z1 = 3 − 4i, z2 = 2 + i
b) z1 = 5 + 2i, z2 = −2 − i
c) z1 = i, z2 = 1 − i
d) z1 = 1 + i, z2 = 3i
z1
z2 :
Zadanie 3.3. Jaki zbiór na płaszczyźnie określa następujący warunek?
2
a) |z − i| ¬ 2
b) Re (z − i) ­ 0
c) z 2 = 2Re (iz)
4+3i d) z−2i
­5
e) Im z + 1 ­ 2
f ) |z − 2i + 3| > 2
g) 4 < Re2 (z − 1) + Im2 (z + i) ¬ 9
h) |z| > 1 ∧
π
6
< Arg z ¬
π
3
Zadanie 3.4. Znajdź takie liczby x, y ∈ R, aby zachodziła równość:
a) (1 + i) x + (−2 + 5i) y = −4 + 17i
c)
2x
1−i
b) (2 + 3i) x + (4 − 5i) y = 6 − 2i
+y =2
d)
x
2−3i
+
y
3+2i
=1
Zadanie 3.5. Rozwiąż równanie:
a) 2z + (1 + i) z̄ = 1 − 3i
b) z 2 = 3 − 4i
c) 2iz 2 + 2 (1 − i) z − 1 − 2i = 0
d) iz 2 + (2 − 4i) z − 4 + 2i = 0
Zadanie 3.6. Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej nie używając wzoru na n-ty
pierwiastek z liczby zespolonej:
a) − 43 − i
d) −3 + 4i
c) i
b) 8 + 6i
Zadanie 3.7. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną:
√
√
a) −1 + i
b) i
c) 1 − i
d) −1 + i 3
e) 23 − 12 i
f ) − 12 + i
Zadanie 3.8. Korzystając ze wzoru de Moivre‘a oblicz:
√
49
√ 15
√ 17
a) −1 + i 3
b) 23 − 12 i
c) − 21 + i 23
Zadanie 3.9. Oblicz:
√
√
a) 4 −i
b) 3 −1
c)
√
6
i
d)
13
√
3
−1 + i
d) i23
e)
√
4
1
√
3
2
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 3.1.
a) Re z = 8
Im z = 6
b) Re z = −3
z̄ = 8 − 6i
Im z = −4
z̄ = −3 + 4i
c) Re z = 0
Im z = 1
z̄ = −i
d) Re z = 2
Im z = 0
z̄ = 2
e) Re z =
1
2
Im z =
1
2
Im z = −5
f ) Re z = 0
|z| = 10
z̄ =
|z| = 5
|z| = 1
|z| = 2
1
2
√
+ 12 i
z̄ = 5i
2
2
|z| =
|z| = 5
Odp 3.2.
a) z1 + z2 = 5 − 3i
b) z1 + z2 = 3 + i
z1 − z2 = 1 − 5i
z1 − z2 = 7 + 3i
z1 − z2 = −1
c) z1 + z2 = 1
z1 · z2 = −8 − 9i
z1 · z2 = 1 + i
z1 − z2 = 1 − 2i
d) z1 + z2 = 1 + 4i
z1
z2
z1 · z2 = 10 − 5i
z1
z2
z1
z2
=
2
5
−
11
5 i
1
= − 12
5 + 5i
= − 12 + 21 i
z1 · z2 = −3 + 3i
z1
z2
=
1
3
− 13 i
Odp 3.3.
a) K ((0, 1) ; 2)
b) Lewa i prawa ćwiartka płaszczyzny wraz z brzegiem wyznaczone przez proste y = −x + 1
oraz y = x + 1
c) Punkty (0, 0) i (0, 1)
d) K ((0, 2) ; 1) \ {(0, 2)}
e) Górna półpłaszczyzna z brzegiem wyznaczona przez prostą y = 1
f ) R2 \ K ((−3, 2) ; 2)
g) K ((1, −1) ; 3) \ K ((1, −1) ; 2)
h) Część wspólna zbioru R2 \ K ((0, 0) ; 1) oraz wycinka płaszczyzny ograniczonego przez półproste nachylone do osi OX pod kątami π6 (bez brzegu) i π3 (z brzegiem)
Odp 3.4.
a) x = 2, y = 3
b) x =
19
11 , y
7
11
=
c) x = 0, y = 2
d) x = 2, y = 3
Odp 3.5.
a) z = 2 − 5i
Odp 3.6.
q
a) − 34 − i = ±
c)
√
i=±
c) z = − 32 − 12 i ∨ z =
b) z = ± (2 − i)
√
2
2
+
1
2
−i
b)
√
d)
2
2 i
√
8 + 6i = ± (1 + 3i)
√
−3 + 4i = ± (1 + 2i)
14
1
2
− 21 i
d) z = − 12 i ∨ z = 2 − 12 i
Odp 3.7.
a) −1 + i =
c) 1 − i =
√
e)
3
2
√
√
2 cos 34 π + i sin 34 π
2 cos 54 π + i sin 54 π
b) i = cos π2 + i sin π2
√
d) −1 + i 3 = 2 cos 23 π + i sin 23 π
11
− 21 i = cos 11
6 π + i sin 6 π
f ) − 12 + i
√
3
2
= cos 32 π + i sin 23 π
Odp 3.8.
√ a) z 17 = 217 − 12 − i 23
b) z 49 =
Odp 3.9.
√
9
9
a) 4 −i = 25 + 10
i, − 10
+ 25 i, − 25 −
n
√
√ o
√
b) 3 −1 = 12 + i 23 , −1, 12 − i 23
c)
d)
e)
√
6
√
3
√
4
i=
n
9
10
+
−1 + i =
3
3
10 i, 10
+
√
2
9
10 i, − 2
√
9
9
10 i, 10
3
2
− 21 i
d) z 23 = −1
− 25 i
√
+i
c) z 15 = 1
2
9
2 , − 10
n√ √
√ √
6
9
2 22 + i 22 , 6 2 − 10
+
3
3
10 i, − 10
−
√
, 62
3
10 i
1 = {1, i, −1, −i}
15
−
3
10
√
2
9
10 i, 2
−
o
9
10 i
√
−i
2
2
o
4
Macierze i wyznaczniki
Zadanie 4.1. Oblicz, jeśli


1 2
A =  0 3 ,
−1 1

1
B= 2
3
a) A + B
b) 2 (A − B)
e) 2AT − B T
f ) 3 (2A + B)
T
j) 2 C + DT
i) C − 3DT
Zadanie 4.2. Oblicz, jeśli
a) A + 2B
A=
C=
−1
2
1
0
,
D=
2
−4
1
0
c) 2A − B
d) 2 (A − 3B)
T
g) C + DT
h) 2C T + D
−i 1 + i
3 2 − 5i
,
B=
c) AT + B
b) 2A − B
Zadanie 4.3. Dane są

4
 0
A=
 2
1

−1
0 ,
4
macierze

0
3 
, B = 3
7 
5
5
4
6
2
1
−4i
−3
:
d) 2 A − B T
T
2+i
1 − 2i
, przy czym przyjęto oznaczenia:
aik - ilość gram k-tej substancji, którą potrzebuje i-ty chemik,
bkj - cena za 1 gram dawki k-tej substancji pochodzącej od j-tego producenta.
Oblicz iloczyn AB i odczytaj:
a) kwotę, jaką zapłaciłby trzeci chemik u drugiego producenta
b) kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy chemicy u pierwszego producenta
c) numer producenta, u którego pierwszy chemik zapłaciłby najmniej
d) numer producenta, u którego czwarty chemik zapłaciłby najwięcej
e) numer producenta, który zarobi najwięcej
f ) czy istnieją chemicy, którzy zapłacą taką samą końcową kwotę?
Zadanie 4.4. Wyznacz możliwe iloczyny macierzy wśród A, B, C, D z Zadania 4.1.
Zadanie 4.5. Dla macierzy z Zadania 4.2 oblicz:
a) A2
b) BA
c) AB T
d) BAT
Zadanie 4.6. Rozwiąż równanie dla macierzy:
1 2
0
A=
,
0 3 −1
B=
−1
1
3
2
1
0
a) 3 (A + X) = A + 2B
b) 2 X + B T = B T − AT
T
c) 2 (A + B) + X = 3 X + AT
d) 2 AB T + 3X = 5X − 2AAT
16
:
Zadanie 4.7. Oblicz wyznaczniki:
−2
1 −7 b) a) 5
4
8
2i
c) 4+i
2
e) 0
−2
−1
2
5
3i
h) 2
1−i
0 1+i
4
−i
3i
1
k) −3 0 0 0 0 5 0 0 0
0
0
2
0
1
0
0
3
2
m) 3
−1
o) 1
1
1
1
1+i
5i
d) −4 3 − 2i
4 − i i 3
1
3
1 −2
2
−1
1
4
1
3
5
2 −2 −3
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
4
3 7 1
f ) −2
5
2
0
1
i
i) 0
2i
1
−2
0
l) 1
g) −1
1
3
1
3
1−i
4 + 3i
5
0 1 0 1 1 1 −1 1 0 3 1 2 2
1
n) 0
−1
0
p) 4
1
2
0
1
6
11
13
15
0
3
4
2
1
2
7
12
14
16
0 0
2 0
−2 3
i
j) 0
0
1 − 4i
1+i
0
ł) 2
0
0
3
0
7
1
0
0
0
3
4
8 + 6i
3i
1−i
1
−3
0
5
−1
0
2 0 −3
1 3
0 −1 0 −2
0 5
1 −4 3 4
8 9
0 0
0 0
0 0
5
10
0
0
0
Zadanie 4.8. Wyznacz, jeśli to możliwe, macierz odwrotną do danej macierzy:
2 5
4 2
a) A =
b) A =
1 3
2 1

1
c) A =  4
7

1
f ) A =  −2
−1
2
5
8

3
6 
9

1
1
0

1
1 
1

2
0
0
2
1
2
1
1
1
d) A =  0
1

3
2
−5 −7 
−2 −4
0
 1
g) A = 
 0
2
17

1
1 

0 
1

2
e) A =  0
0

−3
 1
h) A = 
 0
2
0
1
3

1
0 
3

−4 −2 −2
−3 −1
1 

3
1
0 
2
1
1
Zadanie 4.9. Wykorzystując operację odwracania macierzy rozwiąż równanie:
2 5
4 −6
a)
·X =
1 3
2
1
1 2
1 0
b) X ·
=
1 1
2 1


1
0 1
1 2 = 1 1 4
c) X ·  −1
2 −1 1
2 1
1 3
5 3
d)
·X ·
=
1 1
−1 1
2 2
Zadanie 4.10. Znajdź rząd podanych macierzy:


2
5
4 2
0
2


4 10
a)
b)
c)
2 1 −1
5
1
3

2
d)  1
4

1
g)  −1
2

4
2 
8
1
2
2
0
1
0

2
e)  0
0
0
1
3

1
0 
3

2 −2
1 4
−1
0 −1 1 
1 −3
2 0

1
f)  1
0

−4
−10
2
0
1
0 0
h)  1 0
2 3
1
1
0
8 −6
20
0

1
−1 
0

−1
0
1 −1
1
−1 −1 −1
0
4 
3
1
0
0 −2
Zadanie 4.11. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiąż układy

y −
 x −
x + 5y =
2
3x + 4y −
a)
b)
−3x + 6y = 15

3x − 2y −


 x − 2y +
 x − 2z = 3
2x −
y +
−y + 3z = 1
d)
c)


3x − 4y +
2x + 5z = 0


y +
3z = 7
y +
 2x −
 x +
3x + 2y −
5z = 4
2x + 2y −
e)
f)


4x + 5y − 13z = 2
3x + 8y −


x − y −


y +
3z = 7
 2x −

5x − 3y −
3x + 2y −
5z = 4
g)
h)
2x + y −



4x + 5y − 13z = 1

3x − 2y +


y − z = 0
 2x +
 x + 4y +
x − 2y + z = 0
2x + 5y +
i)
j)


3x + 3y + 2z = 0
3x + 6y +


z = 0
 3x + 2y −
 3x − y +
x + 3y − 4z = 0
4x + 2y −
k)
l)


x − 4y + 7z = 0
2x − 7y +
18
równań:
z
2z
2z
=
1
= −1
=
1
3z
5z
8z
= 1
= 1
= 3
z
3z
2z
= 1
= 7
= 8
2z
z
z
2z
+ 2u
+ u
+ u
− 2u
7z
8z
9z
= 0
= 0
= 0
2z
5z
11z
= 0
= 0
= 0
= −2
=
3
=
1
= −4
Zadanie 4.12.

 x +
3x +
a)

2x +

 x +
2x +
c)

3x +

 x +
3x +
e)

4x +
Rozwiąż układy równań metodą eliminacji

2y + 3z = 14
 x
y + 2z = 11
x
b)

3y +
z = 11
2x

y +
z = 1
 3x
7y − 3z = 7
7x
d)

8y − 2z = 8
5x

y +
z + u = 0
 3x
4y − 2z + u = 0
5x
f)

5y −
z + 2u = 0
4x
Gaussa - Jordana:
+
y
+ 2y
+ 3y
+ z
+ z
+ 2z
= 1
= 4
= 4
− 5y
− 4y
+ 7y
+ 2z
+
z
− 4z
+ 4u = 2
+ 3u = 5
− 6u = 3
+ 12y
−
3y
− 17y
+ 5z
− 10z
+ 2z
=
20
= −8
= −11
Zadanie 4.13. W laboratorium czterech chemików A, B, C, D otrzymało mieszaniny o wagach
60 g, 60 g, 90 g, 70 g. Oblicz, ile gram ważyła pojedyncza dawka substancji a, b, c, jeśli:
• chemik A użył 1 dawkę substancji a, 2 dawki substancji b, 2 dawki substancji c
• chemik B użył 2 dawki substancji a, 1 dawkę substancji b, 1 dawkę substancji c
• chemik C użył 1 dawkę substancji a, 2 dawki substancji b, 4 dawki substancji c
• chemik D użył 1 dawkę substancji a, 1 dawki substancji b, 3 dawki substancji c
19
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 4.1.


2 1
a)  2 3 
2 5
e)
i)

−2 −5
6 −2
1
5
−5
−3
11
2
c)
f)
j)
Odp 4.3.

12
 15

AB = 
41
28
1
AC =  0
−1

3
6 
3
2
C =
1
0
−3
4
Odp 4.5.
2 + 3i
a)
6 − 18i
c)
5 − 6i
−14 − 5i
Odp 4.6.

a) X = 
6
18
g)
2 + 6i
7 − 10i
−4 − 4i
6i
6 + 8i
10 − 10i
b) 96
c) 1-szy

−6
1
0 
AD =  −12
−6 −1
CD =
8 − 4i
−18 − 17i
−5 − 4i
−3 + 9i
6
−8
d)
1
0
2
3
2
3

2
3
− 23
2
3

h)
4
−6
1
4
d) 2-gi

1
BC =  2
3
2
D =
0
−8
1 − 14i
−11 − i
−19 − 5i
−3 + 14i
5 − 6i
−5 − 4i
−14 − 5i
−3 + 9i

− 34

−4
10
6 
d)  −12
−20 −22
b)


−5
2
3
1
−2 − 3i
5 + 2i
d)

5
6 
−2
1
c)  −2
−5
b)

3
18
6 2
−10 4

8
3 
, to a) 50
11 
7
16
18
50
34
Odp 4.4.

9
9
1 − 7i
−4 − 5i
3 − 4i
−1 − 5i
2
2−i
Odp 4.2.
4+i
a)
−15 − 4i

6
6 
−6
0
b)  −4
−8
0
 5

b) X =  − 2
 1
−2
− 12


− 25 


1
2
20
e) 2-gi

−3
−2 
5
2
−4
f ) 1-szy i 2-gi


6 1
4 2 
BD = 
−10 3
DC =
2
−4
0
4


2
1 
1
−3
c) X =  4
2
−20 −22
−28 −32
d) X =
Odp 4.7.
a) 36
b) −29
c) −19
d) 5 + 21i
e) −16
f ) 15
g) 6
h) −14 + 9i
i) −2 + 2i
j) 2i
k) −30
l) 0
ł) −123
m) −26
n) −18
o) 6
p) 0
Odp 4.8.
a) det A = 1
A
−1
=
3
−1
−5
2
b) A−1 nie istnieje bo det A = 0
c) A−1 nie istnieje bo det A = 0

A−1
e) det A = 6
A−1
g) det A = 4
Odp 4.9.
2
a) X =
0
−23
8
1
2
1
2


= 0

0
−1
a)

x
y
x

0
0
1
2



=



1
4
− 12
1
2
1
4
0
0
1
1
2
1
−2
−2
−1
−1
2
3
b) X =
=

−3
1
5
3




0 


1
A−1
c) X =
−1


  1

 
b)  y  =  − 3

  5
z
−3









 


 

c)  y  =  −3 

  2 
z
−3
h) det A = 1

1
0
0
2
 1
1
2
1 

=
 −3 −3 −5 −3 
−1
1
1 −2

e, f, g, h) 3
x

8 −11
−2
3 
−1
1
A−1
3

6
=  −1
−1
f ) det A = 1
− 21
A−1

−1
0
0 −1 
1
1
1
= 1
−1


0 


1
1

− 16

Odp 4.10. a, b, c, d) 2
Odp 4.11.
d) det A = 2


 

x
5
d)  y  =  −1 
z
−2
21
2
1
0
d) X =
1
0
−2
1

 

x
2
f)  y  =  0 
z
−1
e) brak rozwiązania

x


18
7
  13

 

g)  y  =  − 7
 

z
0

− 17
 
 
+
 
19
7

1



 z;

z∈R
h) brak rozwiązania

  
x
0
i)  y  =  0 
z
0

− 75
 

 

k)  y  = 
 

z
11
7

x

1

 

x
1
j)  y  =  −2  z;
z
1




 z;

 

x
0
l)  y  =  0 
z
0
z∈R
Odp 4.12.
 


1
x
a)  y  =  2 
3
z
 
 

x
0
−2
c)  y  =  1  +  1  z;
z
0
1
b) brak rozwiązania

z∈R



 
−3
−6
x
 2 
 y   5 



 
e) 
 z  =  1  z +  0  u;
1
0
u
d) brak rozwiązania


 
1
x
f)  y  =  1 
1
z

z, u ∈ R
 

a
20
Odp 4.13.  b  =  5 
15
c

22
z∈R
5
Elementy teorii grup
Zadanie 5.1. Czy następujące działania są działaniami wewnętrznymi? Uzasadnij odpowiedź.
a) dodawanie w zbiorze {0, 1}
b) mnożenie w zbiorze {i, −i, 1, −1}
c) dodawanie wektorów na płaszczyźnie
d) iloczyn skalarny wektorów
Zadanie 5.2. Czy działania są wewnętrznymi w podanych zbiorach?
W przypadku odpowiedzi negatywnej podaj kontrprzykład.
N
Z
Q
R\Q
R
C
N \ {0}
Z \ {0}
Q \ {0}
R \ {0}
C \ {0}
+
−
·
÷
Zadanie 5.3. Które z podanych zbiorów z działaniami są grupami? Uzasadnij odpowiedź.
Czy podane działanie jest przemienne?
a) hN, +i
b) hN, ·i
c) hZ, +i
d) hR \ {0} , ·i
e) h{−1, 0, 1} , +i
f ) h{−1, 1, i, −i} , ·i
g) h{1, 2} , ·i
k
h)
5 : k ∈ Z ,·
a b
i)
: a ∈ R \ {0} , b ∈ R , ·
0 1
Zadanie 5.4. Czy podany zbiór z określonym w nim działaniem jest grupą? Uzasadnij odpowiedź.
W każdym przykładzie sprawdź, czy działanie jest przemienne.
a) hR \ {−1} , ⊕i, gdzie
a ⊕ b = a + b + ab
a+b
2
b) hQ, i, gdzie
ab=
c) hR, i, gdzie
ab=a+b+1
d) h(1, ∞) , ∗i, gdzie
a ∗ b = ab − a − b + 2
e) h{(a, b) : a ∈ R \ {0} , b ∈ R} , ⊗i, gdzie
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac, ad + b)
23
Zadanie 5.5. Wykaż budując tabelkę działań, że podany zbiór z określonym w nim działaniem
jest grupą. Czy jest to grupa abelowa?
a) hZ4 , +4 i
b) hZ9 , +9 i
c) h{f1 , f2 , f3 , f4 } : x ∈ R \ {0} , ◦i, gdzie
f1 (x) = x, f2 (x) = −x, f3 (x) = x1 ,
f4 (x) = − x1
d) zbiór obrotów kwadratu względem jego środka o kąty 0, π2 , π, 32 π ze składaniem przekształceń
e) zbiór wszystkich izometrii własnych trójkąta równobocznego (tj. obroty względem jego środka
o kąty 0, 23 π, 34 π oraz symetrie osiowe) ze składaniem przekształceń
Zadanie 5.6. Czy podane odwzorowania są homomorfizmami?
Które spośród nich są monomorfizmami, epimorfizmami, izomorfizmami?
a) f : hZ, +i → hZ, +i, gdzie
f (x) = −x
b) g : hR \ {0} , ·i → hR, +i, gdzie
c) h : hZ, +i → hZ, +i, gdzie
g (x) = 2x
h (x) = x2
d) φ : hZ, +i → h{i, −i, 1, −1} , ·i, gdzie
φ (x) = i x
e) ϕ : hM (2, R) , +i → hR, +i, gdzie
ϕ (A) = tr A
f ) ψ : hM (2, R) , +i → hR, +i, gdzie
ψ (A) = det A
24
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 5.1.
a) nie, bo 2 ∈
/ {0, 1}
b) tak, bo mnożąc jakiegolwiek dwa elementy otrzymujemy element z podanego zbioru
c) tak, bo suma wektorów jest wektorem
d) nie, bo iloczyn skalarny jest liczbą
Odp 5.2.
N
+
t
−
n
·
t
÷n n
Z
t
t
t
n
Q
t
t
t
n
R\Q
n
n
n
n
R
t
t
t
n
C
t
t
t
n
N \ {0}
t
n
t
n
Z \ {0}
n
n
t
n
Q \ {0}
n
n
t
t
R \ {0}
n
n
t
t
C \ {0}
n
n
t
t
Odp 5.3.
a) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, nie istnieje element odwrotny dla
każdego elementu - nie jest grupą
b) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 1, nie istnieje element odwrotny dla
każdego elementu - nie jest grupą
0
c) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, a = −a a ∈ Z - jest grupą
0
d) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 1, a =
1
a
a ∈ R \ {0} - jest grupą
e) działanie jest łączne i przemienne, ale nie jest wewnętrzne, e = 0, elementy odwrotne
0
0
0
−1 = 1, 0 = 0, 1 = −1 - nie jest grupą
0
f ) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 1, elementy odwrotne −1 = −1,
0
0
0
1 = 1, −i = i, i = −i - jest grupą
g) działanie jest łączne i przemienne, ale nie jest wewnętrzne, e = 1, nie istnieje element
odwrotny dla każdego elementu - nie jest grupą
0
h) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 50 = 1, a = 5−k k ∈ Z - jest grupą
i) działanie
jest wewnętrzne, łączne, ale
nie jest przemienne,
1
b
0
1 0
−
a
a ∈ R \ {0} , b ∈ R - jest grupą
e=
= I2 , A = a
0 1
0
1
Odp 5.4.
0
a
a) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, a = − a+1
a ∈ R \ {−1} - jest grupą
b) działanie jest wewnętrzne i przemienne, ale nie jest łaczne, nie istnieje element neutralny
ani odwrotny - nie jest grupą
0
c) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = −1, a = −a − 2 a ∈ R - jest grupą
0
d) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 2, a =
25
a
a−1
a ∈ (1; +∞) - jest grupą
e) działanie jest wewnętrzne,
0 0 łączne, ale nie jest przemienne,
(e1 , e2 ) = (1, 0), a , b = a1 , − ab a ∈ R \ {0} , b ∈ R - jest grupą
Odp 5.5.
0
0
0
0
a) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, elementy odwrotne 0 = 0, 1 = 3,
0
0
2 = 2, 3 = 1 - grupa abelowa
b) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, elementy odwrotne 0 = 0, 1 = 8,
0
0
0
0
0
0
0
2 = 7, 3 = 6, 4 = 5, 5 = 4, 6 = 3, 7 = 2, 8 = 1 - grupa abelowa
c) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = f1 , elementy odwrotne f1−1 = f1 ,
f2−1 = f2 , f3−1 = f3 , f4−1 = f4 - grupa abelowa
d) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = O0 , elementy odwrotne O0−1 = O0 ,
= O 23 π , Oπ−1 = Oπ , O−1
= O π2 - grupa abelowa
O−1
π
3
π
2
2
e) działanie jest wewnętrzne, łączne, ale nie jest przemienne, e = O0 , elementy odwrotne
−1
−1
O0−1 = O0 , O−1
= O 43 π , O−1
= O 32 π , SA
= SA , SB
= SB , SC−1 = SC - nie jest grupą
2
4
3π
3π
abelową
Odp 5.6.
a) homomorfizm, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
b) nie jest homomorfizmem
c) nie jest homomorfizmem
d) homomorfizm, epimorfizm
e) homomorfizm, epimorfizm
f ) nie jest homomorfizmem
26
6
Zbiór liczb rzeczywistych
Zadanie 6.1. Wykreśl wykresy funkcji:
a) wartość bezwzględna f : R → h0, ∞)
f (x) = |x| =
x x­0
−x x < 0
b) signum f : R → {−1, 0, 1}

 −1
0
f (x) = sgn (x) =

1
c) część całkowita f : R → Z
f (x) = [x] = max {k ∈ Z : k ¬ x}
d) część ułamkowa f : R → h0, 1)
x<0
x=0
x>0
f (x) = x − [x]
Zadanie 6.2. Dla danej funkcji f : D → R:
1. określ dziedzinę D i wykreśl wykres
2. podaj punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX oraz OY (jeśli istnieją)
3. podaj przedziały monotoniczności funkcji
4. czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta?
5. czy funkcja jest surjekcją, injekcją, bijekcją?
6. wyznacz funkcję odwrotną (jeśli istnieje) i wykreśl jej wykres
b) f (x) = 2x − 4
c) f (x) = x2 − 3x + 2
e) f (x) = x−3
f ) f (x) = x−2
h) f (x) = x4
i) f (x) = x 2
j) f (x) = x− 2
k) f (x) = 2x
l) f (x) =
ł) f (x) = log2 x
m) f (x) = log 12 x
n) f (x) = sin x
o) f (x) = cos x
p) f (x) = tg x
r) f (x) = ctg x
a) f (x) = 3
d) f (x) =
1
x
g) f (x) = x3
1
1
1 x
2
Zadanie 6.3. Wykonaj złożenia funkcji f ◦g oraz g◦f oraz wykreśl wykresy otrzymanych funkcji:
1
x
a) f (x) = x2 − 4
g (x) = −x
b) f (x) =
c) f (x) = x2 + 1
g (x) = 2 |x|
d) f (x) = x − 2
e) f (x) = −x
g (x) = [x]
g) f (x) = sgn (x)
g (x) = sin x
g (x) = x2
f ) f (x) = sgn (x)
h) f (x) = log2 x
27
g (x) = |x| + 1
g (x) = [x]
g (x) = |x|
Zadanie 6.4. Czy podane zbiory są ograniczone z dołu, z góry, czy są ograniczone? Znajdź kresy
dolne i górne podanych zbiorów. Czy istnieje minimum oraz maksimum zbioru?
a) A = N
b) A = R \ R+
c) A = x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0
d) A = {x ∈ R : |2x − 5| − 1 = 0}
e) A = (0, 3) ∪ {5}
f ) A = {−1} ∪ (0, 1i
g) A = (−∞, 3)
h) A = h5, ∞)
i) A =
1
k) A =
n
ł) A =
1
n) A =
1−
1
n
p) A =
1 n
2
− 2: n ∈ N
n
: n ∈ N+
n2 +1
2n+3
n
:n∈N
o
+ k : k ∈ {0, 1, 2} ∧ n ∈ N+
n
(−1) : n ∈ N+
4
n2
j) A =
l) A =
1
n
: n ∈ N+
+ n : n ∈ N+
m) A = {2z : z ∈ Z}
n
o) A = {(−1) n : n ∈ N}
n
r) A = 1 +
(−1)n
n
: n ∈ N+
o
Zadanie 6.5. Wykreśl wykresy podanych funkcji i zbadaj czy są ograniczone z dołu, z góry, czy
są ograniczone. Znajdź kres dolny i górny funkcji.
a) f (x) = −x + 4
c) f (x) = (x + 1)
e) f (x) = x3
dla x ∈ h1, 3)
−3
b) f (x) =
1
x−1
d) f (x) = x−2 + 2
f ) f (x) = x4
dla x ∈ (−2, 2i
1
dla x ∈ (−∞, 1)
g) f (x) = (x − 1) 2 − 2
h) f (x) = −2 (x + 1)
i) f (x) = 3x+1
j) f (x) = −
dla x ∈ (0, 9i
k) f (x) = log3 x
dla x ∈ − π4 , π4
1 x
4
l) f (x) = log 13 x
dla x ∈ (0, 9)
m) f (x) = |cos 2x|
ł) f (x) = sin x + 2
n) f (x) = tg x
− 21
o) f (x) = |ctg x|
28
dla x ∈ (0, π)
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 6.1. Patrz Ćwiczenia.
Odp 6.2.
1a) D = R
2a) OX - brak przecięcia; OY - P (0, 3)
3a) stała dla x ∈ R
4a) parzysta
5a) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
6a) nie istnieje funkcja odwrotna
1b) D = R
2b) OX - P (2, 0) ; OY - P (0, −4)
3b) rosnąca dla x ∈ R
4b) ani parzysta ani nieparzysta
5b) surjekcja, injekcja, bijekcja
6b) f −1 : R → R, gdzie f −1 (x) = 12 x + 2
1c) D = R
2c) OX - P (2, 0) ; OY - P (0, 2)
3c) malejąca dla x ∈ −∞; 32 ; rosnąca dla x ∈
3
2 ; +∞
4c) ani parzysta ani nieparzysta
5a) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
6a) nie istnieje funkcja odwrotna
1d,e) D = R \ {0}
2d,e) OX, OY - brak przecięcia
3d,e) malejąca dla x ∈ R \ {0}
4d,e) nieparzysta
5d,e) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją
6d,e) nie istnieje funkcja odwrotna
1f ) D = R \ {0}
2f ) OX, OY - brak przecięcia
29
3f ) malejąca dla x ∈ R+ ; rosnąca dla x ∈ R−
4f ) parzysta
5f ) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
6f ) nie istnieje funkcja odwrotna
1g) D = R
2g) OX, OY - P (0, 0)
3g) rosnąca dla x ∈ R
4g) nieparzysta
5g) surjekcja, injekcja, bijekcja
1
6g) f −1 : R → R, gdzie f −1 (x) = x 3
1h) D = R
2h) OX, OY - P (0, 0)
3h) malejąca dla x ∈ R− ; rosnąca dla x ∈ R+
4h) parzysta
5h) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
6h) nie istnieje funkcja odwrotna
1i) D = h0; +∞)
2i) OX, OY - P (0, 0)
3i) rosnąca dla x ∈ R+
4i) ani parzysta ani nieparzysta
5i) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją
6i) nie istnieje funkcja odwrotna
1j) D = R+
2j) OX, OY - brak przecięcia
3j) malejąca dla x ∈ R+
4j) ani parzysta ani nieparzysta
5j) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją
6j) nie istnieje funkcja odwrotna
30
1k) D = R
2k) OX - brak przecięcia; OY - P (0, 1)
3k) rosnąca dla x ∈ R
4k) ani parzysta ani nieparzysta
5k) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją
6k) nie istnieje funkcja odwrotna
1l) D = R
2l) OX - brak przecięcia; OY - P (0, 1)
3l) malejąca dla x ∈ R
4l) ani parzysta ani nieparzysta
5l) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją
6l) nie istnieje funkcja odwrotna
1ł) D = R+
2ł) OX - P (1, 0); OY - brak przecięcia
3ł) rosnąca dla x ∈ R+
4ł) ani parzysta ani nieparzysta
5ł) surjekcja, injekcja, bijekcja
6ł) f −1 : R → R+ , gdzie f −1 (x) = 2x
1m) D = R+
2m) OX - P (1, 0); OY - brak przecięcia
3m) malejąca dla x ∈ R+
4m) ani parzysta ani nieparzysta
5m) surjekcja, injekcja, bijekcja
6m) f −1 : R → R+ , gdzie f −1 (x) =
1x
2
1n) D = R
2n) OX - P (kπ, 0) k ∈ Z; OY - P (0, 0)
3n) malejąca dla x ∈
π
2
+ 2kπ; 32 π + 2kπ ; rosnąca dla x ∈ − π2 + 2kπ; π2 + 2kπ
4n) nieparzysta
5n) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
31
6n) nie istnieje funkcja odwrotna
1o) D = R
2o) OX - P
π
2
+ 2kπ, 0 k ∈ Z; OY - P (0, 1)
3o) malejąca dla x ∈ (2kπ; π + 2kπ) ; rosnąca dla x ∈ (π + 2kπ; 2π + 2kπ)
4o) parzysta
5o) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
6o) nie istnieje funkcja odwrotna
1p) D = R \
π
2
+ kπ
k∈Z
2p) OX - P (kπ, 0); OY - P (0, 0)
3p) rosnąca dla x ∈ − π2 + kπ; π2 + kπ
4p) nieparzysta
5p) surjekcja, nie jest injekcją, nie jest bijekcją
6p) nie istnieje funkcja odwrotna
1r) D = R \ {kπ} k ∈ Z
2r) OX - P π2 + kπ, 0 ; OY - brak przecięcia
3r) malejąca dla x ∈ (kπ; π + kπ)
4r) nieparzysta
5r) surjekcja, nie jest injekcją, nie jest bijekcją
6r) nie istnieje funkcja odwrotna
Odp 6.3.
a) (f ◦ g) (x) = x2 − 4 x ∈ R
b) (f ◦ g) (x) =
1
x2
x ∈ R \ {0}
(g ◦ f ) (x) = −x2 + 4 x ∈ R
(g ◦ f ) (x) =
1
x2
x ∈ R \ {0}
c) (f ◦ g) (x) = 4x2 + 1 x ∈ R
(g ◦ f ) (x) = 2 x2 + 1 x ∈ R
d) (f ◦ g) (x) = |x| − 1 x ∈ R
(g ◦ f ) (x) = |x − 2| + 1 x ∈ R
e) (f ◦ g) (x) = − [x] x ∈ R
(g ◦ f ) (x) = [−x] x ∈ R
f ) (f ◦ g) (x) = sgn [x] x ∈ R
(g ◦ f ) (x) = [sgn (x)] x ∈ R
g) (f ◦ g) (x) = sgn (sin x) x ∈ R
(g ◦ f ) (x) = sin (sgn (x)) x ∈ R
h) (f ◦ g) (x) = log2 |x| x ∈ R \ {0}
(g ◦ f ) (x) = |log2 x| x ∈ R+
32
Odp 6.4.
a) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony
inf A = 0, sup A = +∞, min A = 0, max A nie istnieje
b) nieograniczony z dołu, ograniczony z góry, nieograniczony
inf A = −∞, sup A = 0, min A nie istnieje, max A = 0
c) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = 1, sup A = 2, min A = 1, max A = 2
d) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = 2, sup A = 3, min A = 2, max A = 3
e) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = 0, sup A = 5, min A nie istnieje, max A = 5
f ) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = −1, sup A = 1, min A = −1, max A = 1
g) nieograniczony z dołu, ograniczony z góry, nieograniczony
inf A = −∞, sup A = 3, min A i max A nie istnieje
h) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony
inf A = 5, sup A = +∞, min A = 5, max A nie istnieje
i) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = 0, sup A = 1, min A nie istnieje, max A = 1
j) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = 0, sup A = 4, min A nie istnieje, max A = 4
k) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony
inf A = 31 , sup A = +∞, min A = 13 , max A nie istnieje
l) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony
inf A = 2, sup A = +∞, min A = 2, max A nie istnieje
ł) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = 0, sup A = 3, min A nie istnieje, max A = 3
m) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony
inf A = 0, sup A = +∞, min A i max A nie istnieje
n) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = −1, sup A = 1, min A i max A nie istnieje
o) nieograniczony z dołu i z góry, nieograniczony
inf A = −∞, sup A = +∞, min A i max A nie istnieje
p) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony
inf A = −2, sup A = −1, min A nie istnieje, max A = −1
r) ograniczony z dołu i góry, ograniczony
inf A = 0, sup A = 32 , min A = 0, max A =
33
3
2
Odp 6.5.
a) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f (x) = 3, sup f (x) = 3
b) nieograniczona z dołu i z góry, nieograniczona, inf f (x) = −∞, sup f (x) = +∞
c) nieograniczona z dołu i z góry, nieograniczona, inf f (x) = −∞, sup f (x) = +∞
d) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = 2, sup f (x) = +∞
e) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f (x) = −8, sup f (x) = 8
f ) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = 0, sup f (x) = +∞
g) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = −2, sup f (x) = +∞
h) nieograniczona z dołu, ograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = −∞, sup f (x) = 0
i) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = 0, sup f (x) = +∞
j) nieograniczona z dołu, ograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = −∞, sup f (x) = 0
k) nieograniczona z dołu, ograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = −∞, sup f (x) = 2
l) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = −2, sup f (x) = +∞
ł) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f (x) = 1, sup f (x) = 3
m) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f (x) = 0, sup f (x) = 1
n) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f (x) = −1, sup f (x) = 1
o) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f (x) = 0, sup f (x) = +∞
34
7
Ciągi liczbowe
Zadanie 7.1. Korzystając z definicji wykaż, że:
a) limn→∞
5n−1
7n+2
c) limn→∞
√
√ n
3 n+1
5
7
=
=
1
3
e) limn→∞ n2 + 4 = +∞
g) limn→∞
7−2ni
6n
= − 13 i
i) limn→∞
1+10n2 i
2n2 +i
= 5i
b) limn→∞
8−9n
3n
= −3
d) limn→∞
2n
n3 +1
=0
f ) limn→∞
−n4 +1
n2 +1
= −∞
h) limn→∞
3n3 +2i
n4 +ni
=0
j) limn→∞
2n+4ni+6i
n−3i
= 2 + 4i
Zadanie 7.2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) an = 5 − 3n − 12 n2 + 4n3
c) an =
e) an =
g) an =
2
2−5n−10n
√
3n+5 n
√
3
√
(− 32 )
d) an =
n3 + 4n2 − n
2n2 + 3 −
b) an = −3n4 + 2n2 + n − 8
√
2n2 + n + 4
n
+1
n
12+2·(− 23 )
√
f ) an =
n+1−
h) an =
3n+1 −4n+2
2·4n+2
√
i) an =
49n−1 +5
2·72n+1 −2
j) an =
27log3 n
16log2 n
k) an =
9log3 n
4log2 n
l) an =
1+2+3+...+n
n2
ł) an =
1+2−3+4+5−6+7+8−9+...−3n
n2 +n+1
m) an =
n) an =
n
−6
2n5 −3n2 −4
o) an =
p) an =
7n2 −n·sin 5n−1
n2
r) an =
s) an =
(4n)n
n!
t) an =
√
n
u) an =
n3
n3 +2
x) an =
4n−1
4n+1
4n3
n+2
√
n
√
n
3n8 − 5n5 + n4 + 2n + 3
3n + sin n
5n+2
9·n!
w) an =
n4 +3
n4
n+1
n−2
n4
2n−1
y) an = n · ln 1 +
z) an = n · (ln (n + 1) − ln n)
35
n
5
7n
α) an =
4n+n5 i
5n5 −2i
β) an =
3n+i
5n−4n2 i
γ) an =
6n−7ni+8i
n+4−2ni
δ) an =
4+2n2 +5ni
1−4n+n2 −n2 i
) an =
e3n −ien
e3n +4ie2n
ζ) an =
n2 cos
3
1
π
n +2n i sin 2n
n2 −i
Zadanie 7.3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
√
a) an = n 9n + 8n + 5n + 6n
q n
n
n
b) an = n 23 + 14 + 35
c) an =
√ 1
n2 +1
d) an =
1
n2 +1
e) an =
1
n2
f ) an =
2n4
3n5 +1
+
+
√ 1
n2 +2
1
n2 +2
+ ... +
+ ... +
√ 1
n2 +n
1
n2 +n
· cos 2n
· arc tg n
Zadanie 7.4. Po zamknięciu obwodu elektrycznego, zawierającego oporność
czynną oraz induk
cyjność, natężenie prądu zmienia się według równania i = 15 1 − e−2t . Oblicz natężenie prądu
w chwili t = 0 oraz graniczną wartość natężenia przy t → ∞.
3t
e
Zadanie 7.5. Liczba jednostek populacji N (t) w chwili t dana jest wzorem N (t) = N0 3 +e
3t ,
2
gdzie N0 jest stanem równowagi. Wyznacz limt→∞ N (t) i spróbuj zinterpretować wynik.
Zadanie 7.6. Pewna reakcja chemiczna przebiega w ten sposób, że przyrost ilościowy substancji
Q w każdym przedziale czasu τ jest proporcjonalny do długości przedziału i do początkowej ilości
materii znajdującej się w początku tego przedziału. Zakładając, że w chwili rozpoczęcia reakcji
(n)
ilość substancji wynosiła Q0 , określ jej ilość Qt po upływie czasu t, jeżeli τ = nt .
(n)
Znajdź Qt = limn→∞ Qt .
36
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 7.1. Przykładowe odpowiedzi:
17
a) N () = 49
− 27 + 1
1
c) N () =
3
e) N (K) =
b) N () =
8
−2 +1
d) N () =
hq i
K −4 +1 K ­4
f ) N (K) =
√
g) N () =
7
i) N () =
√ 3 + 1
+1
6
3
+1
2
√
h) N () =
3
j) N () =
h
+1
K +1 +1
+1
√ i
12 2
+1
Odp 7.2.
1
12
b) −∞
c) −∞
d)
j) 0
k) 1
l)
p) 2
r) 0
s) +∞
t) e3
z) 1
α)
β) 0
γ)
a) +∞
i)
1
2·73
i
5
1
2
6−7i
1−2i
√
2
4
e)
4
3
f) 0
g) −
ł)
3
2
m) 1
n) 0
u) e−8
w) e6
x) e− 2
) 1
ζ) 1 + πi
δ)
2
1−i
h) − 21
o) 1
1
y)
5
7
Odp 7.3.
a) 9
b)
2
3
c) 1
Odp 7.4. i (0) = 0
d) 0
e) 0
f) 0
limt→∞ 15 1 − e−2t = 15
Odp 7.5. limt→∞ N (t) = N0 , czyli pomimo upływu bardzo długiego okresu czasu liczba jednostek
w populacji dąży do stanu równowagi.
n
(n)
Odp 7.6. Qt = Q0 1 + k nt
Qt = Q0 ekt
37
8
Szeregi liczbowe
Zadanie 8.1. Zbadaj zbieżność szeregu obliczając jego sumę:
a)
P∞
c)
P∞
e)
P∞
g)
n
n=1 (−1)
1
n=1 n(n+1)
2 n
n=1 5
P∞ 3n +2n
n=1 6n
b)
P∞
d)
P∞
f)
P∞
n=1
1
√
n−
n2 −1
√
n=1
n(n+1)
h) 1
1
n=1 9n+2
+ 21 + 13 + 61
+ 19 +
1
18
1
27
+
+ ...
Zadanie 8.2. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu:
a)
P∞
c)
P∞
e)
P∞
n=1
n sin √1n
n+1 n
n=1
P∞
√
n2 + 1 −
P
π
d) ∞
n=1 cos sin n
P
2 2n
f) ∞
n=1 3
b)
n
(n−1)(n+1)
n=1
n3 +1
n
n=1
√
n2 − 1
Zadanie 8.3. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium porównawczego zbieżności szeregów:
P∞
π
n=1 sin 2n
P∞
1
n=1 ln(n+1)
b)
e)
P∞
f)
g)
P∞
a)
c)
n=1
n=1
d)
√ 3
n2 +2n
1 − cos πn
h)
P∞
n+1
n=1 n2 +1
P∞
1
n=1 n2 −4n+5
P∞ √
8
√ n+1
n=1 4 n5 +2
P∞
n=1
√1
n
1+
1 n
n
sin
1
2+ n
n
Zadanie 8.4. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium ilorazowego d’Alemberta:
a)
P∞
c)
P∞
e)
g)
n n
4
1
n=1 n!
π
n=1 n sin 2n+1
P∞ n!5n
n=1 nn
P∞ 1
√
n=1 2 n
b)
P∞
d)
P∞
f)
h)
n2 n!
n=1 (n+4)!
n=1
P∞
n=1
P∞
n=1
n2
3n
n!en
nn
n!
2n +1
Zadanie 8.5. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium pierwiastkowego Cauchy’ego:
a)
P∞
2
n+1 n +n −n
e
n
c)
P∞
[2 + (−1)n ]
e)
P∞
g)
P∞
n=1
1
n=1 n
n
1
n=1 ln (n+1)
n
n5
n=1 4n
n
[2 + (−1)n ]
2
n−1 2n −n
n+2
2n+1
n
3n−1
b)
P∞
d)
P∞
f)
P∞
2
n+1 n
n
h)
P∞
n2
n
n−1
n=1
n=1
1
n=1 3n
1
n=1 2n
38
Zadanie 8.6. Zbadaj zbieżność szeregu naprzemiennego:
(−1)n
n=1 n!+1
a)
P∞
c)
P∞
e)
P∞
g)
P∞
n=1
n=1
n=1
(−1)n
1
n
n+1
(−1)
(−1)n+1
1
(3n−2)3
2n+1 n
3n−1
b)
P∞
(−1)n tg n1
d)
P∞
(−1)
f)
P∞
(−1)
h)
P∞
(−1)n
n=1
n=1
n=1
n=1
n(n−1)
2
n(n−1)
2
√
n
n
2n−1
ln
P∞
c)
P∞
e)
P∞
n=1
n=1
n=1
1+i n
2
√1
n+i
2
2−i n
3
b)
P∞
d)
P∞
f)
P∞
(4 + 3i)n
n
n
n=1 2n
n=1
n=1
n(2−i)+1
n(3−2i)−3i
cos n+i sin n
n2
39
n2 +1
n
2
n2 +3n+4
Zadanie 8.7. Zbadaj zbieżność szeregu o wyrazach zespolonych:
a)
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 8.1.
a) rozbieżny, bo S nie istnieje
b) rozbieżny, bo S = +∞
c) zbieżny, bo S = 1
d) zbieżny, bo S = 1
e) zbieżny, bo S =
2
3
f ) zbieżny, bo S =
1
648
g) zbieżny, bo S =
3
2
h) zbieżny, bo S =
9
4
Odp 8.2.
a) rozbieżny, bo limn→∞ an = +∞
b) rozbieżny, bo limn→∞ an = 1
c) rozbieżny, bo limn→∞ an = e
d) rozbieżny, bo limn→∞ an = 1
e) przypadek wątpliwy, bo limn→∞ an = 0
f ) przypadek wątpliwy, bo limn→∞ an = 0
Odp 8.3.
a) zbieżny, wsk: sin x ¬ x
c) rozbieżny, wsk: ln x ¬ x − 1 dla x > 0
b, e) rozbieżny
d, f ) zbieżny
g) zbieżny, wsk: 1 − cos 2x = 2 sin2 x
h) zbieżny, wsk: sin x ¬ x
Odp 8.4.
a) zbieżny, bo limn→∞ aan+1
=
n
e
4
b) przypadek wątpliwy, bo limn→∞ aan+1
=1
n
c) zbieżny, bo limn→∞ aan+1
=
n
1
2
d) zbieżny, bo limn→∞ aan+1
=
n
e) rozbieżny, bo limn→∞ aan+1
=
n
1
3
f ) przypadek wątpliwy, bo limn→∞ aan+1
=1
n
5
e
g) przypadek wątpliwy, bo limn→∞ aan+1
=1
n
h) rozbieżny, bo limn→∞ aan+1
= +∞
n
Odp 8.5.
a) przypadek wątpliwy, bo limn→∞
c) rozbieżny, bo limn→∞
p
n
|an | = 1
p
n
|an | = 3
e) zbieżny, bo limn→∞
p
n
|an | = 0
g) zbieżny, bo limn→∞
p
n
|an | =
3
4
b) zbieżny, bo limn→∞
p
n
d) zbieżny, bo limn→∞
p
n
|an | =
1
9
f ) zbieżny, bo limn→∞
p
n
e
3
h) rozbieżny, bo limn→∞
40
|an | = e−6
|an | =
p
n
|an | =
e
2
Odp 8.6.
a) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium porównawcze i d’Alemberta
b) warunkowo zbieżny, wsk: sin x >
2
π x,
kryterium porównawcze i Leibniza
c) warunkowo zbieżny, wsk: kryterium porównawcze i Leibniza
d) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium Cauchy’ego
e) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium porównawcze
f ) rozbieżny, wsk: warunek konieczny
g) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium Cauchy’ego
h) warunkowo zbieżny, wsk: kryterium porównawcze i Leibniza
Odp 8.7.
√
p
n
|an | =
d) bezwzględnie zbieżny z kryterium Cauchy’ego limn→∞
p
n
|an | =
e) bezwzględnie zbieżny z kryterium Cauchy’ego limn→∞
p
n
|an | = 0
a) bezwzględnie zbieżny z kryterium Cauchy’ego limn→∞
p
b) rozbieżny z kryterium Cauchy’ego limn→∞ n |an | = 25
2
2
c) rozbieżny z kryterium porównawczego
f ) bezwzględnie zbieżny z kryterium porównawczego
41
q
5
13
9
Elementy teorii przestrzeni metrycznych
Zadanie 9.1. Oblicz granice:
x−1
x2 +2
a) limx→−2
cos x−1
2x
b) limx→ π4
c) limx→2
3x2 −5x−2
5x2 −20
d) limx→4
x2 −2x−8
x2 −9x+20
e) limx→0
√
√ x+1−1
x+16−4
f ) limx→7
√
2− x−3
x2 −49
g) limx→1
√
√
3
3
2x−1−
3x−2
√
4x−3−1
h) limx→∞
√
x2 − 5x + 6 − x
i) limx→0
4x
3 sin 2x
j) limx→0
10x
tg 3x
k) limx→0
x+sin 2x
2x+sin 3x
l) limx→π
1+cos x
sin2 x
ł) limx→ π4
cos 2x
sin x−cos x
m) limx→ π4
n) limx→∞ −2x3 − 10x2 + 15x − 18
u) limx→1
y) limx→0
x+2
x−3
x−1
x2 −1
1
x
ln
r) limx→−∞
x−1
t) limx→∞
x+1
q
1+x
1−x
c) limx→0
x+2
|x+2|
z) limx→1
d) limx→2
√4+2x
−2x−2
f ) limx→0
[x]−x
x
√
1−cos x
sin x
1
1
g) limx→1 e 1−x2
|x+3|
x+3
b) limx→−3
x3 −4x2 +5x
(|x|+1)x
e) limx→−2
h) limx→0
2 x +3
1
3 x +2
Zadanie 9.3. Oblicz granicę:
a) limx→0 f (x), gdy f (x) =
x3 +4x−1
2x4 −7x3 +3
3x−1
3x+1
2x−5
w) limx→∞ x (ln (x + 1) − ln x)
Zadanie 9.2. Sprawdź, czy istnieją granice:
a) limx→−2
sin x−cos x
1−tg x
o) limx→−∞ −3x4 + 5x2 − x + 15
x2 −2x+1
3x2 +2x−1
p) limx→∞
s) limx→∞
x−5
2x + 5
x<0
x­0

2
 (x − 1) − 1
b) limx→1 f (x), gdy f (x) =
0

x+1
42
x<1
x=1
x>1
4x −4
x2 +x−2
Zadanie 9.4. Zbadaj ciągłość funkcji:
 2
x
x < −1


 −1
x = −1
2
a) f (x) =
x
+
1
−1
<x¬2


 3
2
(x
−
4)
x
>
2
4
x
|x| ¬ 1
b) f (x) =
x3
2
+
|x| > 1
3
3
 2
x¬1
 x
x2 [x]
1<x¬2
c) f (x) =

2
(x − 4) x > 2
Zadanie 9.5. Znajdź a, b ∈ R tak, aby dana funkcja była ciągła na R:
x
|x| ¬ 1
a) f (x) =
x2 + ax + b |x| > 1

1
x¬0
 x +2 2
x −9
+ ax + b 0 < x < 3
b) f (x) =
2
 x −x−62
(x − 3)
x­3

1
 3 + ex x < 0
c) f (x) =
b−5
x=0
 sin ax
x>0
x
43
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 9.1.
√
a) − 12
b)
i)
2
3
j)
p)
1
3
r) 0
10
3
2−2
π
c)
7
20
d) −6
k)
3
5
l)
s) e5
1
2
4
t) e− 3
e) 4
1
f ) − 56
√
ł) − 2
m) −
u)
1
4
g) − 16
h) − 25
n) −∞
o) −∞
y) 1
z) − 43 ln 4
√
2
2
w) 1
√
Odp 9.2. a, b, d, g, h) nie istnieje natomiast
c) 5
e) −4
f)
2
2
Odp 9.3. a, b) nie istnieje
Odp 9.4.
a) ciągła dla x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞); nieciągła dla x = −1; nieciągła dla x = 2 ale
ciągła prawostronnie
b) ciągła dla x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞); nieciągła dla x = −1 ale ciągła prawostronnie
c) ciągła dla x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; +∞); nieciągła dla x = 2 ale ciągła lewostronnie
Odp 9.5. a) a = 1, b = −1
1
, b = −1
b) a = − 15
44
c) a = 3, b = 8
10
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Zadanie 10.1. Wyznacz z definicji pochodną funkcji:
a) f (x) = 3x2 − 4x w x0 = −1
b) f (x) = x2 + x + 1 w x0 = 1
√
c) f (x) = 2 x − 1 w x0 = 4
d) f (x) =
e) f (x) = sin 3x w x0 =
π
3
√
4x + 1 w x0 = 2
f ) f (x) = cos 5x w x0 = π
Zadanie 10.2. Oblicz pochodne jednostronne funkcji w danym punkcie x0 . Czy istnieje f 0 (x0 )?
W przypadku negatywnym określ, czy x0 jest punktem kątowym, punktem przegięcia, czy ostrzem.
a) f (x) = |x| − 1 w x0 = 0
c) f (x) =
e) f (x) =
√
3
√
5
b) f (x) = 1 −
√
3
1
x
w x0 = 1
x2 w x0 = 0
d) f (x) =
x + 6 w x0 = −6
f ) f (x) = (x − 2) 3 w x0 = 2
x w x0 = 0
2
g) f (x) = x |x − 3| w x0 = 3
h) f (x) =
2x2 + 4
−3x + 4
x¬0
w x0 = 0
x>0
Zadanie 10.3. Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = 5x3 − 6x2 + 3x + 1
b) f (x) = x7 − 4x5 + 13x4 − x + 19
√
c) f (x) = 4x3 x − 11
d) f (x) =
5x4 −1
x3
f ) f (x) =
√
3 2
3x2 −4x
√ x
2 x
h) f (x) =
4x6 +3x5 −2x4 +7x−2
3x4 +1
e) f (x) =
7
2x2
g) f (x) =
x2 −3x
2x4 +1
+
√
x+
5
√
3 x
−
1
x2
+
i) f (x) = 7 ln x − 3 tg x
j) f (x) = x2 sin x + 5x3 − 1
k) f (x) = 4x2 − 3 cos x + 7ex + 5
l) f (x) =
ł) f (x) = 2x log3 x +
n) f (x) = 4 log2 x +
p) f (x) =
√
√5
x
o) f (x) = 2 + 3x − 4x2
3x2 − 7x + 12
r) f (x) =
s) f (x) = cos2 3x + 5 sin x2
u) f (x) = 5 sin2 x + sin (x + 1)
x) f (x) = 3x
2
+1
− e−x
2
3 ctg x+5
2 sin x
m) f (x) = ex x3 − x + 1
3ex
x3
√
3
5
2 + x4 + 5x5
t) f (x) = cos (2x − 1) + tg
2
3
x3
√
x
w) f (x) = ln x2 + 3 + 25x−1
y) f (x) = ecos 2x +
45
√
x
3
2
x
z) f (x) = ln 1−x
2
α) f (x) = ln (sin (4x + 3))
2x
β) f (x) = − cos
+ ln tg
sin2 x
x
2
γ) f (x) = ecos
3
(7x+4)
Zadanie
10.4.
√
√ Zależność drogi s od czasu t w pewnym ruchu prostoliniowym dana jest wzorem
3
s = 3t2 − 3t. Wyznacz wartości prędkości i przyspieszenia w momencie t = 3.
Zadanie 10.5. Prąd przepływa przez pewne urządzenie.
Ilość przepływającej elektryczności, li1
czonej od chwili t = 0, określa wzór Q = 3e−2t 1 + t+1
. Oblicz natężenie prądu dQ
dt w chwili
początkowej t = 0.
Zadanie 10.6. Gaz znajdujący się w objętości V pod ciśnieniem p rozpręża się adiabatycznie
według prawa pV 1,4 = const (zwanego równaniem przemian adiabatycznych). Oblicz prędkość zmiany ciśnienia gazu wiedząc, że przy ciśnieniu p = 10 atm i V = 3 m3 prędkość zmian
objętości wynosi 0, 3 m3 /s.
Zadanie 10.7. Dla danej funkcji:
A. Zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema
B. Zbadaj wypukłość i znajdź punkty przegięcia
a) f (x) = x3 − 3x2 + 1
b) f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 2
c) f (x) = x4 e−x
d) f (x) =
4x
x2 +4
e) f (x) =
x2
2
+
8
x2
Zadanie 10.8. Szybkość reakcji chemicznej w czasie od t = 0 do t = 10 sekund jest dana
zależnością s = 2t3 −3t2 +1. Kiedy szybkość reakcji maleje, a kiedy rośnie? Kiedy jest najmniejsza,
a kiedy największa?
Zadanie 10.9. Załóżmy, że dana jest mieszanina Np cząstek prawoskrętnego kwasu winowego
i Nl cząstek lewoskrętnego kwasu winowego (kwasy te mają te same właściwości chemiczne, natomiast różnica polega na asymetrycznej zdolności doskręcania płaszczyzny
polaryzacji światła).
N
Entropia takiej mieszaniny wyraża się wzorem S = k Np ln NNp + Nl ln N
, gdzie k oznacza stal
łą Boltzmanna, natomiast N = Np + Nl . Przy założeniu, że liczba N jest ustalona, oblicz, w
jakiej proporcji należy utworzyć mieszaninę tych kwasów, aby miała ona maksymalną entropię.
Zadanie 10.10. Lekarstwo jest wstrzykiwane do krwi człowieka, co powoduje wzrost temperatury
2
x
, gdzie
T jego ciała po jednej godzinie. Jeżeli wstrzyknięto x mg lekarstwa, to T = x8 1 − 16
0 ¬ x ¬ 16.
a) Szybkość zmian temperatury T względem dawkowania x jest nazywana wrażliwością ciała
na dawkowanie. Wyznacz tę wrażliwość.
b) Znajdź wielkość dawkowania, przy której wrażliwość jest największa.
46
Zadanie 10.11. Oblicz granicę funkcji korzystając z reguły de L’Hospitala:
a) limx→0
ex −1
x3
√
3 tg x−1
2 sin2 x−1
c) limx→ π4
√
e) limx→0
√
1+x− 1−x
x
1
1
x
p) limx→0+
1
x
−
1
x
1
sin x
−
√
x ln x
1
x2 sin x
2x−1
l) limx→1+
m) limx→∞ (ln (x + e) − ln x)
ex −1
x
x−1
1
ln x
−
x
ln x
1
arc tg x
1
x−1
o) limx→∞ ln (ex + x) − 21 x
r) limx→0+ (cos x) x
tg 2x
2
π
(x−2)2
3 cos π
4x
1
−
t) limx→0+ ln x1
s) limx→ π4 (tg x)
u) limx→∞
ln(x−1)
ctg(x−1)
j) limx→∞
ł) limx→0+ ctg x −
n) limx→1+
d) limx→1+
h) limx→0+
i) limx→0+ 3xe x
k) limx→0+
ln(cos x)
ln(cos 3x)
f ) limx→2
x5
e7x
g) limx→∞
b) limx→0+
x
x
w) limx→ 1 + x −
2
ln x
1
2
3
ln(2x−1)
z) limx→0+ xsin x
y) limx→1− (1 − x)
Zadanie 10.12. Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
a) f (x) =
1
1+x2
c) f (x) = x −
e) f (x) =
4
x2
x2 −3
x−2
d) f (x) =
x3
x2 −1
f ) f (x) = xe−x
x
ln x
g) f (x) = x −
b) f (x) =
√
3
x
2
√
h) f (x) = x x + 1
Zadanie 10.13. Oblicz wartość przybliżoną z wykorzystaniem różniczki odpowiedniej funkcji:
√
√
a) 9, 01
b) 4 17
c) ln (0, 9)
d) ln (1, 12)
e) sin 29o
f ) tg 47o
47
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 10.1.
0
0
a) f (−1) = −10
0
d) f (2) =
0
b) f (3) = 3
2
3
e) f
0
π
3
c) f (4) =
1
2
0
= −3
f ) f (π) = 0
Odp 10.2.
0
0
0
a) f− (0) = −1, f+ (0) = 1, f (0) nie istnieje, x0 = 0 punkt kątowy
0
0
0
b) f− (1) = 1, f+ (1) = 1, f (1) = 1
0
0
0
0
0
0
c) f− (0) = −∞, f+ (0) = +∞, f (0) nie istnieje, x0 = 0 ostrze
d) f− (0) = +∞, f+ (0) = +∞, f (0) nie istnieje, x0 = 0 punkt przegięcia
0
0
0
e) f− (−6) = +∞, f+ (−6) = +∞, f (−6) nie istnieje, x0 = −6 punkt przegięcia
0
0
0
f ) f− (2) = −∞, f+ (2) = +∞, f (2) nie istnieje, x0 = 0 ostrze
0
0
0
g) f− (3) = −3, f+ (3) = +3, f (3) nie istnieje, x0 = 3 punkt kątowy
0
0
0
h) f− (0) = 0, f+ (0) = −3, f (0) nie istnieje, x0 = 0 punkt kątowy
Odp 10.3.
0
a) f (x) = 15x2 − 12x + 3
0
b) f (x) = 7x6 − 20x4 + 52x3 − 1
0
5
c) f (x) = 14x 2
0
1
4
d) f (x) = 21 x− 2 − 53 x− 3 + 2x−3 − 9x−4
0
e) f (x) = −7x−3 + 5 + 3x−4
0
1
1
f ) f (x) = 94 x 2 − 73 x 6
0
−12x5 +18x4 +2x−3
(2x4 +1)2
0
(24x5 +15x4 −8x3 +7)(3x4 +1)−(4x6 +3x5 −2x4 +7x−2)·12x3
g) f (x) =
h) f (x) =
0
i) f (x) =
(3x4 +1)2
7
x
−
3
cos2 x
0
j) f (x) = 2x sin x + x2 cos x + 15x2
0
k) f (x) = 8x + 3 sin x + 7ex
0
l) f (x) =
0
− sin32 x ·2 sin x+(3 ctg x+5)·2 cos x
4 sin2 x
ł) f (x) = 2x ln 2 · log3 x + 2x ·
0
m) f (x) = ex x3 + 3x2 − x
1
x ln 3
3
− 25 x− 2
48
0
4
x ln 2
0
1
2
3x2 − 7x + 12
0
1
3
2 + x4 + 5x5
+ 3ex x−3 − 3x−4
4
0
o) f (x) = 5 2 + 3x − 4x2 (3 − 8x)
n) f (x) =
p) f (x) =
r) f (x) =
− 12
− 23
(6x − 7)
4x3 + 25x4
0
s) f (x) = 2 cos 3x (− sin 3x) · 3 + 5 cos x2 · 2x
0
t) f (x) = − sin (2x − 1) · 2 +
1√
cos2 x
0
1
· 21 x− 2
2
u) f (x) = 10 sin x cos x + cos (x + 1) · 2 (x + 1)
0
1
x2 +3
0
2
w) f (x) =
x) f (x) = 3x
· 2x + 25x−1 ln 2 · 5
+1
2
ln 3 · 2x − e−x (−2x)
0
1
y) f (x) = ecos 2x (− sin 2x) · 2 + 3 x ln 3 −x−2
2x(1−x2 )−x2 (−2x)
(1−x2 )2
0
1−x2
x2
0
1
sin(4x+3)
z) f (x) =
α) f (x) =
·
cos (4x + 3) · 4
0
β) f (x) = − − sin @x·2 sin
0
γ) f (x) = ecos
3
(7x+4)
Odp 10.4. v (3) =
Odp 10.5.
dQ
dt
1
6
2
x−cos 2x·2 sin x cos x
sin4 x
+
1
tg x
2
·
1
cos2
x
2
·
1
2
3 cos2 (7x + 4) (− sin (7x + 4)) · 7
a (3) =
1
108
(0) = −15
0
Odp 10.6. Ciśnienie gazu zmniejsza się z prędkością 1, 4 atm/s ponieważ p = −1, 4 atm/s.
Odp 10.7.
a) f.malejąca dla x ∈ (0; 2), f.rosnąca dla x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞), Pmin (2, −3), Pmax (0, 1)
f.wklęsła dla x ∈ (−∞; 1), f.wypukła dla x ∈ (1; +∞), Ppp (1, −3)
b) f.malejąca dla x ∈ (−3; 1), f.rosnąca dla x ∈ (−∞; −3)∪(1; +∞), Pmin (1, −7), Pmax (−3, 25)
f.wklęsła dla x ∈ (−∞; −1), f.wypukła dla x ∈ (−1; +∞), Ppp (−1, 9)
c) f.malejąca dla x ∈ (−∞; 0)∪(4; +∞), f.rosnąca dla x ∈ (0; 4), Pmin (0, 0), Pmax 4, 256e−4
f.wklęsła dla x ∈ (2; 6), f.wypukła dla x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (6; +∞), Ppp1 2, 16e−2 ,
Ppp2 6, 1296e−6
d) f.malejąca dla x ∈ (−∞; 2) ∪√(2;+∞), f.rosnąca
dla x ∈ (−2; 2), Pmin√
(−2, −1), P√
max (2, 1)
√ f.wklęsła
dla
x
∈
−∞;
−2
3
∪
0;
2
3
,
f.wypukła
dla
x
∈
−2
3;
0
∪
2
3; +∞ ,
√
√ √ √ Ppp1 −2 3, − 23 , Ppp2 2 3, 23
e) f.malejąca dla x ∈ (−2; 0) ∪ (0; 2), f.rosnąca dla x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞), Pmin (2, 4),
Pmin (−2, 4)
f.wklęsła dla x ∈ ∅, f.wypukła dla x ∈ R \ {0}, brak punktów przegięcia
49
Odp 10.8. Szybkość reakcji maleje dla t ∈ (0; 1), a rośnie dla t ∈ (1; 10). Najmniejsza szybkość
wynosi 0 dla t = 1, największa 1701 dla t = 10.
Odp 10.9. Aby entropia była największa należy użyć
cząstek prawoskrętnego.
0
Odp 10.10. a) T =
x
4
−
3x2
128
b) x =
1
2N
cząstek kwasu lewoskrętnego i
32
3
Odp 10.11.
a) +∞
b)
1
9
c)
1
3
d) 0
e) 1
f) 0
g) 0
h) 0
i) +∞
j)
1
2
k)
1
2
l) −∞
ł) 0
m) 0
n) 1
o) 1
p) 0
r) 1
t) 1
u) 0
w) e3
y) e−1
z) 1
s) e−1
Odp 10.12.
a) Dziedzina funkcji: D (f ) = R
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→−∞ f (x) = 0, limx→+∞ f (x) = 0, y = 0 asymptota pozioma obustronna
Asymptota ukośna: y = 0
Punkty przecięcia z osiami: OX - brak; OY - P (0, 1)
Funkcja parzysta
0
0
−2x
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = (1+x
D
f =R
2
2)
Tabelka:
√ √ √
√
√ √
3
3
;
+∞
x
−∞; − 33
− 33
− 33 ; 0
0
0; 33
−
3
3
0
f
00
f
f
+
+
^%
+
0
+
−
_%
3
4
0
−
1
−
−
_&
−
0
3
4
−
+
^&
b) Dziedzina funkcji: D (f ) = R \ {2}
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→−∞ f (x) = −∞, limx→+∞ f (x) = +∞
limx→2− f (x) = −∞, limx→2+ f (x) = +∞, x = 2 asymptota pionowa obustronna
Asymptota ukośna: y = x + 2
√ √ Punkty przecięcia z osiami: OX - P1 − 3, 0 , P2
3, 0 ; OY - P 0, 32
Funkcja ani parzysta ani nieparzysta
0
2
0
−4x+3
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = x(x−2)
D f = R \ {2}
2
Tabelka:
x
0
f
00
f
f
(−∞; 1)
1
(1; 2)
2
(2; 3)
3
(3; +∞)
+
−
_%
0
−
2
−
−
_&
×
×
×
−
+
^&
0
+
6
+
+
^%
c) Dziedzina funkcji: D (f ) = R \ {0}
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
50
1
2N
limx→−∞ f (x) = −∞, limx→+∞ f (x) = +∞
limx→0− f (x) = −∞, limx→0+ f (x) = −∞, x = 0 asymptota pionowa obustronna
Asymptota ukośna: y = x
√ Punkty przecięcia z osiami: OX - P 3 4, 0 ; OY - brak
Funkcja ani parzysta ani nieparzysta
0
0
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = 1 + x83 D f = R \ {0}
Tabelka:
x
(−∞; −2)
−2
(−2; 0)
0
(0; +∞)
+
−
_%
0
−
−3
−
−
_&
×
×
×
+
−
_%
0
f
00
f
f
d) Dziedzina funkcji: D (f ) = R \ {−1; 1}
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→−∞ f (x) = −∞, limx→+∞ f (x) = +∞
limx→−1− f (x) = −∞, limx→−1+ f (x) = +∞, x = −1 asymptota pionowa obustronna
limx→1− f (x) = −∞, limx→1+ f (x) = +∞, x = 1 asymptota pionowa obustronna
Asymptota ukośna: y = x
Punkty przecięcia z osiami: OX - P (0, 0); OY - P (0, 0)
Funkcja nieparzysta
0
0
x2 (x2 −3)
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = (x2 −1)2 D f = R \ {−1; 1}
Tabelka:
√ √
√
−∞; − 3
− 3; −1
x
− 3
−1 (−1; 0)
0
f
00
f
f
+
−
_%
0
−√
−323
−
−
_&
×
×
×
−
+
^&
cd.
x
0
f
00
f
f
√ 3
0
(0; 1)
1
1;
0
0
0
−
−
_&
×
×
×
−
+
^&
√
3
0
+
√
3 3
2
√
3; +∞
+
+
^%
e) Dziedzina funkcji: D (f ) = (0; 1) ∪ (1; +∞)
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→0+ f (x) = 0, limx→+∞ f (x) = +∞
limx→1− f (x) = −∞, limx→1+ f (x) = +∞, x = 1 asymptota pionowa obustronna
Asymptota ukośna: brak
Punkty przecięcia z osiami: OX - brak; OY - brak
Funkcja ani parzysta ani nieparzysta
0
0
D f = (0; 1) ∪ (1; +∞)
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = lnlnx−1
2x
Tabelka:
51
x
0
f
00
f
f
(0; 1)
1
(1; e)
e
e; e2
−
−
_&
×
×
×
−
+
^&
0
+
e
+
+
^%
e2
e2 ; +∞
+
0
1 2
2e
+
−
_%
f ) Dziedzina funkcji: D (f ) = R
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→−∞ f (x) = 0, limx→+∞ f (x) = 0, y = 0 asymptota pozioma obustronna
Asymptota ukośna: y = 0
Punkty przecięcia z osiami: OX - P (0, 0); OY - P (0, 0)
Funkcja nieparzysta
0
0
2
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = e−x 1 − 2x2
D f =R
Tabelka:
√
√ √ √ √
√
−∞; − 26
− 26 ; − 22
− 22 ; 0
x
− 26
− 22
0
−
−
_&
f
00
f
f
−
0
√
6 − 32
− 2 e
−
+
^&
0
+
√
1
− 22 e− 2
+
+
^%
cd.
x
0
f
00
f
f
0
+
0
0
√
0;
2
2
+
−
_%
√
2
2
0
−
√
2 − 12
2 e
√
√ 2
6
2 ; 2
√
6
2
−
−
_&
−
0
√
6 − 23
2 e
√
6
2 ; +∞
−
+
^&
g) Dziedzina funkcji: D (f ) = R
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→−∞ f (x) = −∞, limx→+∞ f (x) = +∞
Asymptota ukośna: brak
Punkty przecięcia z osiami: OX - P1 (−1, 0), P2 (0, 0), P3 (1, 0); OY - P (0, 0)
Funkcja nieparzysta
0
0
1
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = 1 − √
D
f = R \ {0}
3
3 x2
Tabelka:
√ √ √
√ √
√
3
3
x
−∞; − 93
− 93
− 93 ; 0
0
0; 93
;
+∞
9
9
0
f
00
f
f
+
−
_%
0
−
√
2 3
9
−
−
_&
×
×
0
−
+
^&
0
+√
−293
h) Dziedzina funkcji: D (f ) = h−1; +∞)
Granice funkcji na końcach przedziałów określoności:
limx→−1+ f (x) = 0, limx→+∞ f (x) = +∞
Asymptota ukośna: brak
Punkty przecięcia z osiami: OX - P1 (−1, 0), P2 (0, 0); OY - P (0, 0)
Funkcja ani parzysta ani nieparzysta
52
+
+
^%
0
D f = (−1; +∞)
0
√
Pochodna funkcji i jej dziedzina: f (x) = 23x+2
x+1
Tabelka:
x −1
− 23
−1; − 23
− 23 ; +∞
0
f
00
f
f
×
×
0
−
+
^&
0
+√
−293
+
+
^%
Odp 10.13.
1
a) 3 600
1
b) 2 32
c) −0, 1
d) 0, 12
e)
53
1
2
√
−
3π
360
π
f ) 1 45
11
Funkcje wielu zmiennych
Zadanie 11.1. Jaką powierzchnię opisuje funkcja z (x, y)?
q
2
2
a) z = 3 − 2x + y
b) z = ± 1 − x9 − y9
p
c) z = ±4 1 − x2 − y 2
e) z = ±
g) z =
q
x2
2
x2 +
y2
3
d) z = ±3
q
x2
2
+ y2 + 1
q
2
f ) z = ±2 x4 +
−1
+ y2
h) z = x2 −
y2
9
y2
4
Zadanie 11.2. Znajdź i wykreśl dziedzinę funkcji:
a) f (x, y) =
3
(x−1)2 +y 2
c) f (x, y) = √
e) f (x, y) =
1
5−x2 −2x−y 2 −y
q
g) f (x, y, z) =
b) f (x, y) =
4 − x2 +
x2 + y 2 − 9
d) f (x, y) = ln xy
x2 +x+y 2
x2 −2x+y 2 −y+1
√
p
f ) f (x, y, z) =
p
√
1 − y2 + 9 − z2
√
x+
√
y
)
x +y 2
c) lim(x,y)→(2,2)
x2 −y 2
x2 +2x−xy−2y
e) lim(x,y)→(∞,−3) 1 +
1
x
x2
x+y
b) lim(x,y)→(0,1)
1−xy
x2 +y 2
d) lim(x,y)→(0,5)
sin xy
x
√
f ) lim(x,y)→(0,0)
g) lim(x,y)→(0,0)
x2 y
x2 +y 2
h) lim(x,y)→(0,0)
i) lim(x,y)→(0,0)
xy 2
x2 +y 4
j) lim(x,y)→(∞,∞)
x2 y 2 +1−1
x2 +y 2
x2 −y 2
x2 +y 2
x
x+y
Zadanie 11.4. Wyznacz granicę funkcji oraz odpowiednie granice iterowane:
a) lim(x,y)→(0,0) x sin y1
c) lim(x,y)→(0,0)
x−y+x2 +y 2
x+y
√
z
h) f (x, y, z) = ln (z − 1 + 2x + 3y)
Zadanie 11.3. Oblicz granicę funkcji:
√ 2
a) lim(x,y)→(1,0) ln(x+e
y+
b) lim(x,y)→(0,0)
2x3 +3y 2
x2 +y 2
d) lim(x,y)→(0,0)
√ xy
y+1−1
54
Zadanie 11.5. Zbadaj ciągłość funkcji:
5 − x − y (x, y) ∈ R2 \ {(1, 2)}
a) f (x, y) =
1
(x, y) = (1, 2)
(
xy 2
x2 + y 4 > 0
x2 +y 4
b) f (x, y) =
0
(x, y) = (0, 0)
4xy
x2 + y 2 > 0
x2 +y 2
c) f (x, y) =
0
(x, y) = (0, 0)
Zadanie 11.6. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji:
a) rzędu I, jeśli z = x3 + 5xy 2 − y 3
c) rzędu I, jeśli z =
√
x
b) rzędu I, jeśli u =
+
y
z
−
e) rzędu I i II, jeśli z = x3 − 2x2 y + 3y 2
f ) rzędu I i II, jeśli u = exyz
x2
2y−3
h) rzędu I i II, jeśli z = ex ln y + sin y ln x
Zadanie 11.7. Wyznacz różniczkę zupełną funkcji:
a) z = 3x2 y 5
b) u = 2xyz
c) z = y ln 2x
d) z = sin2 x cos2 y
e) u =
xy
z
z
x
p
d) rzędu I, jeśli z = ln x + x2 + y 2
ey
g) rzędu I i II, jeśli z =
x
y
f ) z = arc tg
y
x
+ arc tg
x
y
Zadanie 11.8. Oblicz przybliżoną wartość z wykorzystaniem różniczki zupełnej:
a) 1, 083,96
b) 1, 942 e0,12
c) sin 1, 59 · tg 3, 09
d)
sin 1,49·arc tg 0,07
22,95
Zadanie 11.9. Wyznacz różniczkę zupełną II rzędu funkcji:
a) z = ex+y
b) z = xy
c) z = x2 − y 2
d) z =
x
y
Zadanie 11.10. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji złożonej:
a) y = u2 ev , jeżeli u = sin x oraz v = cos x
b) z = e3x+2y , jeżeli x = cos t oraz y = t2
t
c) u = xy , jeżeli x = ln (t − z) oraz y = e z
d) z = x2 ln y, jeżeli x = wt oraz y = 3w − 2t
√
e) z = e2xy , jeżeli y = x
√
f ) u = x sin y cos z, jeżeli y = ln x2 − 1 oraz z = − 1 − x2
55
Zadanie 11.11. Znajdź ekstrema funkcji:
a) f (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2
b) f (x, y) = ex−y x2 − 2y 2
c) f (x, y) = 3 ln x6 + 2 ln y + ln (12 − x − y)
d) f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z
e) f (x, y, z) = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln (22 − x − y − z)
f ) f (x, y, z) = 4x −
2x2
y
−
y2
z
− 2z 2 , x, y, z > 0
Zadanie 11.12. Znajdź ekstrema warunkowe funkcji:
a) f (x, y) = xy, jeżeli x2 + y 2 = 8
b) f (x, y) =
1
x
+ y1 , jeżeli
1
x2
+
1
y2
=
1
2
c) f (x, y, z) = x − 2y + 2z, jeżeli x2 + y 2 + z 2 = 1
d) f (x, y, z) = xyz, jeżeli x + y + z = 1, −x − y + 2z = 5
Zadanie 11.13. Wykreśl określone poziomice pola skalarnego oraz znajdź i wykreśl gradient w
punktach A i B:
a) u = x2 + 2y
dla
u = −2, −1, 0, 1, 2
b) u = x2 + y 2
dla
u = 1, 49 , 4, 25
4 ,9
A (1, −1) oraz B (−2, −2)
A (1, 1) oraz B 0, − 23
A (1, 1) oraz B (−3, −1)
p
Zadanie 11.14. Oblicz pochodną funkcji u = x2 + y 2 w punkcie P (3, 4) w kierunku:
c) u = xy
dla
u = −3, −2, −1, 1, 2, 3
a) wektora ~v = [4, −3]
b) dwusiecznej kąta 45o
c) promienia wodzącego punktu P
Zadanie 11.15. Oblicz pochodną funkcji u w punkcie P w kierunku wektora ~v :
a) u = xy + yz + 1
b) u = xyz
dla P (0, −2, −1) oraz ~v = [12, −3, −4]
dla P (1, −2, 2) oraz ~v - promień wodzący punktu P
c) u = f ◦ g,
f (x, y) = xy
g (x, y) = (x + 2y, −3x + 6)
dla P (1, 1) oraz ~v = [1, −2]
Zadanie 11.16. Oblicz dywergencję pola wektorowego:
~ = [y − z, z − x, x − y]
a) A
~ = x~i + y~j + z~k
b) A
~ = √~i+~j+~k
c) A
3
~ = exy y~j − x~i + xy~k
d) A
(x+y+z)
2
~ = xy 2 , x2 y, z 3 w punkcie P (1, −1, 3)
e) A
f ) gradientu funkcji u = xy 2 z 3
56
Zadanie 11.17. Oblicz rotację pola wektorowego:
~ = xy 2 , x2 y, z 3
~ = x~i − z 2~j + y 2~k
a) A
b) A
~ = yz~i + xz~j + xy~k
c) A
~ = x2 y 3 , 1, z w punkcie P (1, 2, 3)
d) A
~ jest:
Zadanie 11.18. Sprawdź, czy pole wektorowe A
~ = yz 4x~i − y~j − z~k
a) polem selenoidalnym, jeśli A
~ = x2 − 2y, 3x2 y − 5z, 5z 2 − 3xy + y 2 − 1
b) polem potencjalnym, jeśli A
√
~ jest gradientem funkcji u = √x √
3 y 4 z
c) polem potencjalnym, jeśli A
~ = √ x~i+y~j+z~k
d) polem harmonicznym, jeśli A
2
2
2
(x +y +z )3
Zadanie 11.19. Wykaż, że tzw. pole newtonowskie, tj. pole wektorowe, w którym siła F~ w
dowolnym punkcie P jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu jego długości od pewnego stałego
punktu O, w którym umieszczona jest masa m, i skierowana jest wzdłuż promienia wodzącego od
punktu P do O, jest polem potencjalnym. Ponadto oblicz natężenie siły w punkcie P .
57
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 11.1.
a) płaszczyzna
b) elipsoida (soczewka)
c) elipsoida (cygaro)
d) hiperboloida dwupowłokowa
e) hiperboloida jednopowłokowa
f ) stożek
g) paraboloida eliptyczna
h) paraboloida hiperboliczna
Odp 11.2.
a) D (f ) = R2 \ {(1, 0)}
b) D (f ) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ­ 9
n
2
2
c) D (f ) = (x, y) ∈ R2 : (x + 1) + y + 12 <
d) D (f ) = (x, y) ∈ R2 : xy > 0
n
2
e) D (f ) = (x, y) ∈ R2 : x + 12 + y 2 ­
1
4
25
4
o
2
∧ (x − 1) + y −
1 2
2
>
1
4
o
f ) D (f ) = (x, y, z) ∈ R3 : x ­ 0 ∧ y ­ 0 ∧ z ­ 0
g) D (f ) = (x, y, z) ∈ R3 : x ∈ h−2; 2i ∧ y ∈ h−1; 1i ∧ z ∈ h−3; 3i
n
o
h) D (f ) = (x, y, z) ∈ R3 : x1 + y1 + z1 > 1
2
3
Odp 11.3.
a) ln 2
b) 1
c) 1
d) 5
e) e
f) 0
g) 0
h) nie istnieje
i) nie istnieje
j) nie istnieje
Odp 11.4.
a) lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0, limx→0 [limy→0 f (x, y)] nie istnieje, limy→0 [limx→0 f (x, y)] = 0
b) lim(x,y)→(0,0) f (x, y) nie istnieje, limx→0 [limy→0 f (x, y)] = 0, limy→0 [limx→0 f (x, y)] = 3
c) lim(x,y)→(0,0) f (x, y) nie istnieje, limx→0 [limy→0 f (x, y)] = 1, limy→0 [limx→0 f (x, y)] = −1
d) lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0, limx→0 [limy→0 f (x, y)] = 0, limy→0 [limx→0 f (x, y)] = 0
Odp 11.5.
a) nieciągła dla (x, y) = (1, 2)
b) nieciągła dla (x, y) = (0, 0)
c) nieciągła dla (x, y) = (0, 0)
58
Odp 11.6.
a)
∂z
∂x
= 3x2 + 5y 2 ,
∂z
∂y
= 10xy − 3y 2
b)
∂u
∂x
=
+ zx−2 ,
∂u
∂y
= −xy −2 + z1 ,
c)
∂z
∂x
d)
∂z
∂x
∂z
y
y
= e x −yx−2 , ∂y
= e x · x1
− 1
= √1 2 2 1 + 12 x2 + y 2 2 · 2x ,
e)
∂z
∂x
= 3x2 − 4xy,
f)
∂u
∂x
= exyz yz,
x+
∂2u
∂x2
g)
= −yz −2 −
∂u
∂z
x +y
∂u
∂y
∂z
∂y
= −2x2 + 6y,
= exyz xz,
= exyz yz · yz,
∂2u
∂y 2
∂u
∂z
∂2z
∂x2
∂z
∂y
1
x
√1 2
=
x+
x +y 2
∂2z
∂y 2
= 6x − 4y,
= 6,
·
1
2
x2 + y 2
∂2z
∂x∂y
− 21
= −4x,
· 2y
∂2z
∂y∂x
= −4x
= exyz xy,
= exyz xz · xz,
∂2u
∂z 2
= exyz xy · xy,
∂2u
∂x∂y
= exyz xz · yz + exyz z,
∂2u
∂x∂z
= exyz xy · yz + exyz y,
∂2u
∂y∂x
= exyz yz · xz + exyz z,
∂2u
∂y∂z
= exyz xy · xz + exyz x,
∂2u
∂z∂x
= exyz yz · xy + exyz y,
∂2u
∂z∂y
= exyz xz · xy + exyz x
∂z
∂x
2x
∂z
2y−3 , ∂y
=
∂2z
∂x∂y
h)
1
y
= −x2 (2y − 3)
= −4x (2y − 3)
−2
,
∂2z
∂y∂x
−2
· 2,
∂2z
∂x2
=
2
∂2z
2y−3 , ∂y 2
= −2x (2y − 3)
−2
= 4x2 (2y − 3)
−3
· 2,
·2
∂z
∂2z
x
−2
= ex ln y + sin y · x1 , ∂y
= ex · y1 + cos y ln x, ∂x
,
2 = e ln y + sin y · −x
∂2z
∂2z
∂2z
x
−y −2 − sin y ln x, ∂x∂y
= ex · y1 + cos y · x1 , ∂y∂x
= ex · y1 + cos y · x1
∂y 2 = e
∂z
∂x
Odp 11.7.
a) dz = 6xy 5 dx + 15x2 y 4 dy
b) du = 2yzxyz−1 dx + 2zxyz ln x dy + 2yxyz ln x dz
c) dz =
y
x
dx + ln 2x dy
d) dz = sin x cos x cos2 y dx − 2 sin2 x sin y cos y dy
e) du =
y
z
dx +
x
z
dy − xyz −2 dz
f ) dz = 0 dx + 0 dy
Odp 11.8.
a) 1, 083,96 ≈ 1, 32, (x0 , y0 ) = (1, 4)
c) sin 1, 59 · tg 3, 09 ≈ −0, 05, (x0 , y0 ) =
b) 1, 942 e0,12 ≈ 4, 24, (x0 , y0 ) = (2, 0)
π
2,π
d)
sin 1,49·arc tg 0,07
22,95
≈
7
800 ,
Odp 11.9.
a) d2 z = ex+y dx2 + 2 dx dy + dy 2
c) d2 z = 2 dx2 − dy 2
b) d2 z = 2 dx dy
d) d2 z = −2y −2 dx dy + 2xy −3 dy 2
59
(x0 , y0 , z0 ) =
π
2 , 0, 3
Odp 11.10.
a)
∂y
∂x
=
∂y
∂u
·
∂u
∂x
+
∂y
∂v
·
∂v
∂x
= 2uev · cos x + u2 ev · (− sin x)
b)
∂z
∂t
=
∂z
∂x
·
∂x
∂t
+
∂z
∂y
·
∂y
∂t
= 3e3x+2y · (− sin t) + 2e3x+2y · 2t
c)
∂u
∂t
∂u
∂z
=
∂u
∂x
∂u
∂x
·
∂x
∂t
∂x
∂z
+
∂u
∂y
∂u
∂y
·
∂y
∂t
∂y
∂z
1
+ xy ln x · e z z1 ,
t−z
t
1
+ xy ln x · e z −tz −2
= yxy−1 · − t−z
∂z
∂w
∂z
∂t
=
=
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x · ∂w + ∂y · ∂w = 2x ln y
∂z ∂x
∂z ∂y
∂x · ∂t + ∂y · ∂t = 2x ln y ·
e)
∂z
∂x
=
∂z
∂x
·
∂x
∂x
+
∂z
∂y
·
∂y
∂x
= 2ye2xy + 2xe2xy · 12 x− 2
f)
∂u
∂x
=
∂u
∂x
·
∂x
∂x
+
∂u
∂y
·
∂y
∂x
+
d)
=
·
+
·
t
= yxy−1 ·
·
1
t
+
x2
y ·
−2
−wt
3,
+
x2
y
· (−2)
1
∂u
∂z
= sin y cos z + x cos y cos z ·
∂z
∂x
2x
x2 −1
·
=
− 1
+ (−x sin y sin z) · − 12 1 − x2 2 (−2x)
Odp 11.11.
a) fmin (−1, −1) = −2, fmin (1, 1) = −2, P (0, 0) - brak ekstremum
b) fmax (−4, −2) = 8e−6 , P (0, 0) - brak ekstremum
c) fmax (6, 4) = 5 ln 2
d) fmin (24, −144, −1) = −6913, P (0, 0, −1) - brak ekstremum
e) fmax (6, 4, 10) = 13 ln 2 + 3 ln 3 + 5 ln 5
f ) fmax 14 , 14 , 14 = 18
Odp 11.12.
a) λ = − 12 : P1 (−2, −2), P2 (2, 2) - brak ekstremum;
λ = 12 : fmin (−2, 2) = −4, fmin (2, −2) = −4
b) λ = −1: fmax (2, 2) = 1
λ = 1: fmin (−2, −2) = −1
c) λ = − 32 : fmax 13 , − 23 , 23 = 3
λ = 32 : fmin − 31 , 23 , − 23 = −3
d) λ =
7
12 ,
5
µ = − 12
: P − 12 , − 12 , 2 - brak ekstremum
Odp 11.13.
a) y = − 12 x2 + 12 u, grad u = [2x, 2], grad u|A = [2, 2], grad u|B = [2, 2]
b) x2 + y 2 = u, grad u = [2x, 2y], grad u|A = [2, 2], grad u|B = [0, −3]
c) y = ux , grad u = [y, x], grad u|A = [1, 1], grad u|B = [−1, −3]
Odp 11.14. a) 0
b)
√
7 2
10
c) 1
60
Odp 11.15. a) 13
√
c) − 185
b) − 43
5
Odp 11.16.
5
~=0
a) div A
~=3
b) div A
~ = −2 (x + y + z)− 3
c) div A
~=0
d) div A
~ |P = 29
e) div A
f ) div grad u = 2xz 3 + 6xy 2 z
~ = ~0
Odp 11.17. a) rot A
~ = [2 (y + z) , 0, 0]
b) rot A
~ = ~0
c) rot A
~ |P = [0, 0, −12]
d) rot A
Odp 11.18.
~ = 0 czyli A
~ jest selenoidalne
a) div A
~ = [−3x + 2y − 5, 3y, 6xy + 2] czyli A
~ nie jest potencjalne
b) rot A
~ = ~0 czyli A
~ jest potencjalne
c) rot A
~ = 0 i rot A
~ = ~0 czyli A
~ jest harmoniczne
d) div A
p
~ , gdzie P~O = x2 + y 2 + z 2 .
oraz F~ = −F · OP
− 3
Natężenie siły F~ w punkcie P (x0 , y0 , z0 ) wynosi: div F~|P = 3 x20 + y02 + z02 2 |1 − m|.
Odp 11.19. Wsk: F =
m
2
|P~O|
61
12
Całki nieoznaczone
Zadanie 12.1. Oblicz całki korzystając z podstawowych wzorów rachunku całkowego:
R
R
R
a) (2x + π − 8e) dx
b)
6x2 + 8x + 3 dx
c) x (x − 1) (x − 2) dx
e)
R
√ 3
(7 + 2 4 x) dx
53x +2
5x dx
h)
R
R
x2
x2 +1 dx
k)
R
R
1+cos2 x
1+cos 2x dx
m)
d)
R
1 + 2x3
g)
R
j)
ł)
2
dx
f)
R
61+x dx
3 (1 + ex ) dx
i)
R
2x2 −2
1−x4 dx
√
3
x−2√ x2 +1
dx
4 x
l)
R
x
2
√
R
R
i)
R
ł)
R
2x ·3x
9x +4x dx
2
f)
R
xex dx
g)
R
esin x cos xdx
j)
R
dx
x ln x
k)
R
dx
sin2 (2x+1)
m)
n)
R
R
x+
x2
√
5
x
dx
cos 2x
cos x−sin x dx
Zadanie 12.2. Oblicz całki przez podstawienie:
R
R √
R
9
a) (2x − 3) dx
b) x 6 − x2 dx
c)
e)
√
3
√ sin x
dx
1+2 cos x
x
√
dx
3 2
x +5
d)
R
2x
x4 +1 dx
ex
3+4ex dx
h)
R
√
l)
R
o)
R
√
1+ln x
dx
x
sin3 x cos5 xdx
Zadanie 12.3. Oblicz całki przez części:
R
R
R
a) arc sin xdx
b) log10 x12 dx
c) ln 1 + x2 dx
ex
6 +x
ex +3x2
dx
dx
x ln x ln(ln x)
√
dx
1−x2 (arc sin x)3
d)
R
cos (ln x)dx
e)
R
x cos xdx
f)
R
x arc tg xdx
g)
R
x2 e3x dx
h)
R
3x x2 dx
i)
R
x2 ln xdx
j)
R
x2 sin xdx
k)
R
ex cos xdx
l)
R
(5x + 1) sin x cos xdx
ł)
R
ln x
x3 dx
m)
2
ln
√ x dx
x
n)
R
arc
√ sin x dx
x+1
o)
R
R
Zadanie 12.4. Oblicz całki:
R
R
a) x2dx
b)
+8
2
√x
dx
1−x2
dx
9x2 +16
c)
R
dx
x2 +4x+5
d)
R
dx
x2 −6x+13
dx
(x2 +4x+8)2
e)
R
dx
(3x2 +1)2
f)
R
dx
(x2 +9)3
g)
R
dx
(x2 −6x+10)2
h)
R
i)
R
x−3
x2 −6x+5 dx
j)
R
3x−2
x2 +6x+9 dx
k)
R
6x−3
x2 +x+5 dx
l)
R
ł)
R
5x−3
dx
(x2 +4x+5)2
m)
n)
R
dx
2x2 +9x−5
o)
R
11x−1
3x2 −5x−2 dx
p)
R
x+1
x3 −5x2 +4x−20 dx
r)
s)
R
3x3 −5x2 +8x
(x2 −2x+1)(x2 −1) dx
t)
R
x4
x2 −9 dx
R
R
5x+4
dx
(x2 −3x+4)2
x3 −3
x4 +10x2 +25 dx
62
7−8x
2x2 −3x+1 dx
2x5 +6x3 +1
x4 +3x2 dx
R
u)
w)
x4 +2x3 +5x2 +4x+2
dx
x4 +3x2 +2
R
Zadanie 12.5. Obliczyć całki z funkcji niewymiernych:
R√
R√
R
a)
9 + x2 dx
b)
2 − x2 dx
c)
dx
4−2x−x2
dx
3+2x−x2
e)
R
dx
x2 −6x+15
h)
R√
3 + 4x − x2 dx
k)
R√
6x3√
−22x2 +21x−7
dx
x2 −4x+3
m)
d)
R
√
g)
R
√
j)
R√
ł)
R
√
√
10√ x2 −3+6 5−x2
dx
(x2 −3)(5−x2 )
f)
R
x2 + 2x + 6 dx
i)
R√
3 + 2x − x2 dx
l)
R
R √
x 3 − 2x − x2 dx
n)
√
R
√
dx
x2 +6x+4
x2 − 6x + 10 dx
2
√ x +4x dx
x2 +2x+2
(3x − 2)
√
x2 − 2x dx
Zadanie 12.6. Oblicz całki z funkcji niewymiernych:
√ dx√
x+ 3 x
a)
R
e)
R q 1+x dx
x x2
√
1+ 4 x
√ dx
x+ x
b)
R
f)
Rq
3 x+1
dx
x−1 x+1
xdx√
x+1+ 3 x+1
c)
R
g)
R q x−1
√
dx
x−2 (x−1)2
√
1− √x+1
dx
1+ 3 x+1
d)
R
h)
R q x+2
dx
2x+3 (x+2)(3x+5)
Zadanie 12.7. Oblicz całki dwumienne:
a)
R
√
x dx
√ 2
(1+ 3 x)
√
3
R √
1+ 4 x
e)
√
x
4 3 2
R (4+3 √
x )
√
b)
dx
f)
4
R
x
dx
dx
5
x2 (2+x3 ) 3
c)
R
g)
R
√x
3 dx
(1−x2 )3
x4
√dx
1+x2
d)
R
h)
R
q
x 3 (1 + x3 )2 dx
5
√
x3
dx
√
3
1+
√
4
x3
Zadanie 12.8. Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych:
a)
R
dx
3 sin x−4 cos x
b)
R
1−2 cos x
dx
5−4 cos x
c)
R
2+sin x
dx
sin x(1+cos x)
d)
R
dx
sin2 x−4 sin x cos x+5 cos2 x
e)
R
sin x cos x
dx
cos2 x+1
f)
R
dx
sin2 x+tg2 x
Zadanie 12.9. Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych za pomocą odpowiednich wzorów:
R
R
R
R
a) sin4 3x dx
b) cos5 x dx
c) sindx3 x
d) cosdx2 x
3
e)
R
tg3 6x dx
i)
R
sin4
x
5
cos2
x
5
dx
x
2
f)
R
ctg4
j)
R
sin 9x sin x dx
dx
g)
R
dx
ctg2 (3x−1)
k)
R
sin x2 cos x3 dx
63
h)
R
sin3 x cos4 x dx
l)
R
cos x2 cos 4x dx
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 12.1.
a) x2 + πx − 8ex + C
b) 2x3 + 4x2 + 3x + C
d) x + x4 + 74 x7 + C
e) 343x +
g)
52x −4·5−x
2 ln 5
1
2
56 32
3 x
+
+
32 74
7 x
+C
5
k) 54 x 4 −
tg x + 12 x + C
24 17
12
17 x
6x+1
ln 6
f)
h) 3 x + 2ex + 21 e2x + C
+C
j) x − arc tg x + C
ł)
1176 54
5 x
c) 14 x4 − x3 + x2 + C
+C
i) −2 arc tg x + C
3
4
1
l) 3x 3 − 54 x− 5 + C
+ 43 x 4 + C
m) sin x − cos x + C
Odp 12.2.
a)
1
20
10
(2x − 3)
b) − 13 6 − x2
+C
23
+C
3 x
2
c)
e)
1
ln 23
h)
1
3
j) ln |ln x| + C
k)
2
3
ł) − 21 ctg (2x + 1) + C
m) − (1 + 2 cos x) 2 + C
d) arc tg x2 + C
g)
1
4
ln |3 + 4ex | + C
o) − 12 (arc sin x)
−2
arc tg
ex + 3x2
21
3
4
x2 + 5
32
+C
2
f ) 12 ex + C
+C
i) esin x + C
+C
3
l) ln |ln (ln x)| + C
(1 + ln x) 2 + C
1
n) − 61 cos6 x +
1
8
cos8 x + C
+C
Odp 12.3.
a) x arc sin x +
√
1 − x2 + C
b) x log10
1
x2
+
2
ln 10 x
+C
c) x ln 1 + x2 − 2x + 2 arc tg x + C
d) 12 x (cos (ln x) + sin (ln x)) + C
e) x sin x + cos x + C
f)
1
2
h)
1
2 x
ln 3 x 3
g) 13 x2 e3x − 29 xe3x +
2 3x
27 e
+C
x2 arc tg x − x + arc tg x + C
−
2
x3x
ln2 3
+
2
3x
ln3 3
+C
i) 31 x3 ln x − 19 x3 + C
j) −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
k) 21 ex (sin x + cos x) + C
l) − 12 (5x + 1) cos2 x + 25 x +
x
ł) − ln
2x2 −
m) 2x 2 ln2 x − 8x 2 ln x + 16x 2 + C
1
4x2
1
1
+C
1
n) 2 (x + 1) 2 arc sin x + 4 (1 − x) 2 + C
5
4
1
√
o) −x 1 − x2 + arc sin x + C
64
sin 2x + C
1
Odp 12.4.
√
a)
b)
8
8
1
12
arc tg
x
√
8
+C
arc tg 43 x + C
c) arc tg (x + 2) + C
d)
1
2
e)
x
2(3x2 +1)
f)
x
36(x2 +9)2
g)
x−3
2(x2 −6x+10)
h)
arc tg x+2
2 +C
2
1
2 ln x − 6x + 5 + C
2
11
3
2 ln x + 6x + 9 + x−3 + C
3 ln x2 + x + 5 − √1219 arc tg √219 x + 12 + C
−2 ln 2x2 − 3x + 1 + ln |x − 1| − ln x − 12 + C
i)
j)
k)
l)
arc tg
x−3
2
1
√
2 3
+
+
x+2
8(x2 +4x+8)
+C
arc tg
x
216(x2 +9)
+
+
5
ł) − x2 +4x+5
−
5
+
m) − x2 −3x+4
1
2
√
3x + C
+
1
648
arc tg
x
3
+C
arc tg (x − 3) + C
1
16
13(x+2)
2(x2 +4x+5)
−
23(x− 23 )
14(x2 −3x+4)
13
2
+
arc tg (x + 2) + C
√
23 7
49
arc tg
√2
7
x−
3
2
1
1
n) − 11
ln |x + 5| + 11
ln x − 12 + C
o) 2 ln |3x + 1| + 3 ln |x − 2| + C
6
3
1
p) 29
ln |x − 5| − 29
ln x2 + 4 − 58
arc tg x2 + C
x
√
r) 12 ln x2 + 5 + 2(x25+5) − 10(x3x
+C
2 +5) − arc tg
5
s) ln |x − 1| −
t)
1 3
3x
2
x−1
−
3
2(x−1)2
+ 2 ln |x + 1| + C
27
27
2 ln |x − 3| − 2
√
3
x
√
9 arc tg 3 + C
+ 9x +
u) x2 −
1
3x
−
2
w) x + ln x + 1 − 2 arc tg x +
ln |x + 3| + C
√4
2
arc tg
x
√
2
+C
Odp 12.5.
√
√
a) 21 x 9 + x2 + 9 ln x + 9 + x2 + C
√
b) 21 x 2 − x2 + 2 arc sin √x2 + C
q
x
2
x
x
c) 10 arc sin √5 + 6 ln √3 +
3 − 1 + C
65
+C
d) arc sin x−1
2 +C
√ +C
e) arc sin x+1
5
√
f ) ln x + 3 + x2 + 6x + 4 + C
√
g) ln x − 3 + x2 − 6x + 15 + C
√
√
+
h) 12 (x + 1) x2 + 2x + 6 + 52 ln x+1
5
√1
5
√
x2 + 2x + 6 + C
√
√
(x − 3) x2 − 6x + 10 + ln x − 3 + x2 − 6x + 10 + C
√
√ +C
j) 21 (x − 2) 3 + 4x − x2 + 72 arc sin x−2
7
i)
1
2
k)
1
2
l)
ł)
m)
n)
√
(x − 1) 3 + 2x − x2 + 2 arc sin x−1
2 +C
√
√
5
1
x2 + 2x + 2 − 72 ln x + 1 + x2 + 2x + 2 + C
2x + 2
√
√
2x2 − x + 3 x2 − 4x + 3 + 2 ln x − 2 + x2 − 4x + 3 + C
√
1 2
1
3
√ +C
3 − 2x − x2 − 2 arc sin x+1
3x + 6x − 2
7
√
√
1
3
1
2
x2 − 2x − 2 ln x − 1 + x2 − 2x + C
x − 2x − 2
Odp 12.6.
1
1
1
1
a) 2x 2 − 3x 3 + 6x 6 − 6 ln x 6 + 1 + C
1
1
1
b) 4x 4 + 2 ln x 2 + 1 − 4 arc tg x 4 + C
c) 6
h
1
9
3
(x + 1) 2 +
7
1
8
4
(x + 1) 3 +
1
7
5
1
6
(x + 1) −
1
2
1
5
5
(x + 1) 6 −
1
1
4
i
2
(x + 1) 3 + C
1
(x + 1) 6 + 32 (x + 1) 3 − 2 (x + 1) 2 − 3 (x + 1) 3 + 6 (x + 1) 6 −
1
1
+ 6 arc tg (x + 1) 6 + 3 ln (x + 1) 3 + 1 + C
d) − 76 (x + 1) 6 +
6
5
7
(x + 1) 6 −
32
e) − 32 1+x
+C
x
q
q
x+1
x+1
f ) ln x−1
+ 1 − ln x−1
− 1 + C
q
g) 2 x−2
x−1 + C
h) −2 arc tg
q
x+2
2x+3
+C
Odp 12.7.
a)
6 56
5x
b)
64 34
3 x
c)
√
1
1
1
− 23 x 2 + 3x 6 − 3 arc tg x 6 + 21
3
1
x6
1
1+x 3
+C
9
+ 4x 2 + x 4 + C
1 − x2 +
√ 1
1−x2
+C
66
d)
1
8
1 + x3
e)
12
7
83
1
1 + x4
1
5
−
37
35
+C
34
1
− 3 1 + x4
+C
f ) − 14 2x−3 + 1
g) − 31 x−2 + 1
1 + x3
13
32
−
2x−3 + 1
1
8
+ x−2 + 1
12
− 23
+C
+C
3
23
h) −2 x− 4 + 1 + C
Odp 12.8.
a) 15 ln tg
− 12 − ln tg x2 + 2 + C
b) −3 arc tg tg x2 + 13 arc tg 3 tg x2 + C
c) 12 tg2 x2 + tg x2 + ln tg x2 + C
x
2
d) arc tg (tg x − 2) + C
e) 1 ln tg2 x + 1 − ln tg2 x + 2 + C
2
√
2
4
f ) − 12 ctg x −
arc tg
tg x + C
√1
2
1
8
sin 3x cos 3x + 83 x + C
Odp 12.9.
1
a) − 12
sin3 3x cos 3x −
b)
1
5
sin x cos4 x +
x
c) − 2cos
sin2 x
d) 3 tg
e)
1
12
x
3
4
15
sin x cos2 x +
+ 12 ln tg x2 + C
8
15
sin x + C
+C
tg2 6x +
f ) − 23 ctg3
x
2
1
6
ln |cos 6x| + C
x
2
+ ctg
+x+C
g)
1
3
[tg (3x − 1) − (3x − 1)] + C
h)
1
7
cos7 x −
i)
5
6
sin5
x
5
1
5
cos5 x + C
cos x5 −
1
j) − 20
sin 10x +
5
24
1
16
sin3
x
5
cos x5 −
5
16
sin x5 cos x5 +
sin 8x + C
k) − 35 cos 56 x − 3 cos x6 + C
l)
1
9
sin 92 x +
1
7
sin 72 x + C
67
x
16
+C
13
Całki oznaczone
Zadanie 13.1. Oblicz całki oznaczone korzystając z podstawowych wzorów rachunku całkowego:
a)
R4
b)
R8
c)
(−x2 + 6x − 4) dx
0
√ √
x 3 x+ x
dx
x2
1
R1
61+x dx
−1
d)
R π2
e)
R2
π
4
cos 2x
dx
cos x−sin x
f (x) dx, jeżeli f (x) =
−1


1 x ∈ h−3, 0i
− 21 x + 1 x ∈ (0, 2)
 x−2
e
− 1 x ∈ h2, 3i
R3
f (x) dx, jeżeli f (x) =
−3
f)
x2 + 5 x ∈ h−1, 0)
−2x + 5 x ∈ h0, 2i
Zadanie 13.2. Oblicz całki oznaczone za pomocą poznanych metod całkowania:
a)
R0
d)
R1
g)
R8
j)
1−ex
dx
ln 3 1+ex
dx
0 (2x+1)3
√ dx√
1
x+ 3 x
√
3
R1 √
1+ 4 x
√
1
16
ł)
R π2
o)
R π3
s)
R1
w)
Re
z)
R1
γ)
R1
0
e)
R ln 3
h)
R 13 q 1+x dx
k)
R π2
x
1 + e 4 dx
0
ln 2
Rπ
arc sin x dx
t)
Rπ
x)
R2
α)
R0
δ)
R2
1
x+2
2
2
x −6x+13
xdx
0 x2 +3x+2
dx
Re
dx
(2+sin x)2
n)
R π2
sin 3x sin 5x dx
r)
Rπ
(x + 3) sin 3x dx
u)
Rπ
y)
R4
β)
R1
)
R1
x+3
dx
0 x2 +4
−1
√
dx
4−2x−x2
dx
dx
1 x2 +5x+4
68
1+ln x
dx
x
4 3 2
R 16 (4+3 √
x )
√
Rπ
−π
√
4
1
l)
2
0
f)
√ dx
3x+4
−1
x cos x
dx
sin3 x
0
6
R7
i)
Rπ
p)
c)
x x2
π
4
ctg4 x dx
ln2 x dx
dx
ex −e−x
1
8
m)
π
6
1
R4
cos x
dx
25+sin2 x
π
6
0
x
dx
b)
4
1
2
0
4
0
dx
dx
2+cos x
− π2
0
x
cos3 x dx
dx
cos x2 cos 3x
2
xdx
cos2 x
dx
−2 x2 +4x+5
0
1
2
√
dx
x2 +6x+4
√ 2x−3
dx
3+4x−4x2
Zadanie 13.3. Oblicz pole figury geometrycznej ograniczonej podanymi krzywymi:
a) y = x4 , y = 2 − x2
b) y = 2x , y = x + 1
√
c) y = − 9 − x2 , y = 0
d) y = e−x , y = e3x , y =
√
e
e) xy 2 = 1, xy 2 = 4, y = 1, y = 2
f ) 6x = y 3 − 16y, 24x = y 3 − 16y
g) y = arc tg x, y = arc ctg x, x = 0
h) 4y = 8x − x2 , 4y = x + 6
√
i) y = 3 cos x, y = sin x, x = − π2 , x =
j)
x2
a2
+
y2
b2
π
3
=1
Zadanie 13.4. Oblicz długość łuku krzywej:
√
√
a) y = ln x dla 3 ¬ x ¬ 2 2
b) y = ln cos x dla 0 ¬ x ¬ π3
√
c) y = 1 − x2 dla 0 ¬ x ¬ 12
d) y = arc sin (e−x ) dla 0 ¬ x ¬ 1
e) y = x2 − 6x + 9 dla 0 ¬ x ¬ 3
2
f ) (x − 2) + y 2 = 1
Zadanie 13.5. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu podanej figury F wokół wskazanej osi:
√
a) F: 0 ¬ y ¬ xe−x , 0 ¬ x ¬ 4, OX
b) F:
c) F:
d) F:
e) F:
f ) F:
0 ¬ y ¬ cos x,
2
ln x ¬ y ¬ ln x,
2
2y = x ,
2
x
a2
2
− π2 ¬ x ¬
1 ¬ x ¬ e,
2x + 2y − 3 = 0,
OX
OX
OX
2
y
b2
= 1, OY
√
x ¬ y ¬ x, 0 ¬ x ¬ 1,
+
π
2,
OY
Zadanie 13.6. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej z obrotu figury F wokół wskazanej osi:
√
a) F: 0 ¬ y ¬ x, 0 ¬ x ¬ 1, OX
√
b) F: 0 ¬ y ¬ 4 − x2 , −1 ¬ x ¬ 1, OX
0 ¬ y ¬ sin x, 0 ¬ x ¬ π, OX
√
d) F: 0 ¬ y ¬ x 1 − x3 , 1 ¬ x ¬ 3,
c) F:
e) F:
f ) F:
OX
0 ¬ y ¬ 2x − 1, 0 ¬ x ¬ 3, OY
√
0 ¬ y ¬ 2 x, 0 ¬ x ¬ 1, OY
69
Zadanie 13.7. Prędkość pociągu zmienia się i po czasie t minut od startu opisuje się zależnością
v = 100 + e−3t sin 2πt. Jaką odległość przebędzie pociąg w czasie od t = 1 do t = 3?
Zadanie 13.8. Samolot zwiadowcy S i rakieta R, która ma go zestrzelić, poruszają się po prostej.
W chwili t = 0 odległość między nimi wynosiła d = 9 km. Szybkość samolotu w chwili t, gdzie
t ­ 0, wyraża się wzorem vS (t) = 1 + 16t km/min, a szybkość rakiety vR (t) = 1 + 4t3 km/min.
Po jakim czasie rakieta trafi w samolot?
Rx
du
= kt,
Zadanie 13.9. Przebieg reakcji chemicznej można opisać równaniem: x0 (80−u)(60−u)
gdzie k = const. Zakładamy, że w reakcji biorą udział dwie substancje w ilości 80 kg i 60 kg.
Wyznacz zależność x = x (t) oznaczającą ilość kg produktu reakcji po t minutach wiedząc, że
x0 = x (0) = 0.
Zadanie 13.10. Ilość ciepła potrzebna do ogrzania
ciała o masie m i cieple właściwym c od
Rt
temperatury t1 do t2 wyraża się wzorem q = m t12 c dt. Gazy wieloatomowe wykazują zależność
ciepła właściwego od temperatury według równania c = c0 + at + bt2 . Oblicz ilość ciepła potrzebną
do ogrzania danej masy gazu m od temperatury t1 = 0 do t2 = T .
Zadanie 13.11. Oblicz całki niewłaściwe:
b)
R +∞
3
√x dx
4−x2
f)
R +∞
ln x dx
j)
R3
a)
R +∞
e)
R2
i)
R1
0
0
0
e−x dx
dx
−∞ x2 +1
1
ln x
x3
√xdx
2 4 x2 −4
dx
c)
R1
g)
R0
k)
R2
0
dx
x
−∞
70
xex dx
dx
0 (x−1)2
d)
R2
h)
R +∞
l)
R2
−1
dx
√
3
(x−1)2
dx
−∞ x2 +2x+2
xdx
−2 x2 −1
Wskazówki i odpowiedzi
√
2
3
Odp 13.1. a)
b) 5 −
2
2
35
ln 6
c)
d) 1
2
3
e)
f) e + 2
Odp 13.2.
a) ln 34
d)
b) 4e
2
9
1
2
e)
√
2
g) 10 2 − 17 + 6 ln √2+1
j) 12
h
1
7
7
1
4
· 23 −
4
· 23 −
1
7
3
2
73
1
4
+
3
2
34 i
+
s)
π
2
−1
t)
10
9
w) e − 2
x)
1
2
z)
1
4
π
6
m)
√
2 3
3
−
8
ln 13
+
7
4
−
1
6
p) 0
arc tg 2 − arc tg
3
2
γ) 2 ln 3 − 3 ln 2
δ)
1
3
√
4
2−1
3π
9
n)
4
3
r) 1
u)
ln 2 +
3π
8
α) arc sin √15
4
5
√
3π
27
8
9
f)
l)
√
o)
− arc tg
8
3
i) 3201 13
1
2
k)
1
5
1
5
1
10
h) 12 32
ł)
arc tg
ln 32
c)
ln 45
π
4
√
2
2
+ ln
y) arc tg 6
√
β) ln 4+5 11
√
) 1 −
3
2
−
Odp 13.3.
a) |P | =
R1
2 − x2 − x4 dx =
−1
44
15
b) |P | =
R1
d) |P | =
R0
R1 √
√
( e − e−x )dx + 06
e − e3x dx =
e) |P | =
R1
2−
(x + 1 − 2x )dx = 32 −
R3 √
c) |P | = −3 9 − x2 dx = 92 π
0
− 12
1
4
√1
x
dx +
R4
1
√2
x
1
ln 2
− 1 dx =
√
4−2 e
3
3
2
R4 1 3
f ) |P | = 2 0 24
y − 16y − 14 y 3 − 16y dy = 16
Rπ
Rπ
g) |P | = 04 tg ydy + π2 ctg ydy = ln 2
4
h) |P | =
R 6 1
1
4
i) |P | = −
R0
j) |P | = 4
−π
2
8x − x2 − 14 (x + 6) dx = 125
24
√
R0 √
Rπ √
sin xdx + − π 3 cos xdx + 03
3 cos x − sin x dx = 2 + 3
Ra b√
0 a
2
a2 − x2 dx = abπ
71
pi
6
Odp 13.4.
a) 1 + 12 ln 32
b) ln 2 +
√ 3
π
6
c)
d) ln e +
√
e2 − 1
√
√ e) − 41 −6 37 + ln −6 + 37
f ) 2π
Odp 13.5. a)
1 − 9e−8
π
4
Odp 13.6.
√
a) π6 5 5 − 1
b) 8π
Odp 13.7. s = 200 −
b)
π2
2
c) π (22 − 8e)
√
√
2+1
c) π 2 2 + ln √2−1
2π
4π 2 +9
e−9 − e−3
d)
d)
16
9 π
e)
16
3
91
3
e) 43 πa2 b
√
e) 9 5π
240(e20kt −1)
3e20kt −4
Odp 13.10. q = m c0 T + 12 aT 2 + 13 bT 3
Odp 13.11.
a) 1
b) π
c) +∞
d) 3
g) −1
h) π
i) −1
j)
2
3
√
3
√
4
2+1
125
k) +∞
72
f)
3
10 π
√ √
f ) 12 π 3 2 − ln 1 + 2
Odp 13.8. 3 min
Odp 13.9. x (t) =
f)
1
4
l) +∞ − ∞
14
Szeregi funkcyjne
Zadanie 14.1. Wyznacz środek, współczynniki, promień zbieżności oraz przedział zbieżności
szeregu potęgowego:
n
n
P∞
P∞
n
b) n=0 (x−3)
a) n=0 53 (x + 5)
2n
(6−3x)n
n=0 2n +3n
c)
P∞
e)
P∞
(−x)n
n!
g)
P∞
(x − 2) sin n1
n=0
n=0
n
xn
n=0 2n (n+1)
d)
P∞
f)
P∞
2n (4 − x)
h)
P∞
n(n+1) n
2n x
n=0
n=0
n
Zadanie 14.2. Wyznacz szereg Taylora w danym punkcie x0 oraz szereg Maclaurina funkcji:
a) f (x) = ex dla x0 = 1
b) f (x) = sin x dla x0 = π
c) f (x) = cos x dla x0 =
π
2
73
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 14.1.
a) x0 = −5, cn =
5 n
,
3
R = 35 , szereg zbieżny dla x ∈ −5 53 ; −4 25
b) x0 = 3, cn =
1
2n ,
c) x0 = 2, cn =
(−1)n ·3n
2n +3n ,
R = 1, szereg zbieżny dla x ∈ (1; 3)
d) x0 = 0, cn =
1
2n (n+1) ,
R = 2, szereg zbieżny dla x ∈ h−2; 2)
e) x0 = 0, cn =
(−1)n
n! ,
R = 2, szereg zbieżny dla x ∈ (1; 5)
R = +∞, szereg zbieżny dla x ∈ R
n
f ) x0 = 4, cn = (−1) · 2n , R = 12 , szereg zbieżny dla x ∈ 3 21 ; 4 12
g) x0 = 2, cn = sin n1 , R = 1, szereg zbieżny dla x ∈ h1; 3)
h) x0 = 0, cn =
n(n+1)
2n ,
R = 2, szereg zbieżny dla x ∈ (−2; 2)
Odp 14.2.
a) szereg Taylora w x0 = 1:
szereg Maclaurina:
ex =
b) szereg Taylora w x0 = π:
szereg Maclaurina:
π
2:
P∞
e
n=0 n!
(x − 1)
n
xn
n=0 n!
P∞
sin x =
sin x =
c) szereg Taylora w x0 =
szereg Maclaurina:
ex =
2n+1
(x − π)
(−1)n
2n+1
n=0 (2n+1)! x
P∞
cos x =
cos x =
(−1)n+1
n=0 (2n+1)!
P∞
(−1)n+1
n=0 (2n+1)!
P∞
(−1)n 2n
n=0 (2n)! x
P∞
74
x−
π 2n+1
2
15
Szeregi Fouriera
Zadanie 15.1. Rozwiń funkcję w szereg Fouriera w podanym przedziale:
a) f (x) = |x| dla x ∈ h−π, πi
b) f (x) = sgn (x) dla x ∈ h−π, πi
0 x ∈ h−π, 0)
c) f (x) =
x x ∈ h0, πi
Zadanie 15.2. Rozwiń funkcję w szereg Fouriera w podanym przedziale według sinusów oraz
cosinusów:
x x ∈ h0, 1)
a) f (x) =
2 − x x ∈ h1, 2i
b) f (x) = 2 −
x
2
dla x ∈ h0, 4i
75
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 15.1.
a) |x| =
π
2
4
π
−
P∞
1
n=1 (2n−1)2
b) sgn (x) = − π4
c) f (x) =
π
4
+
P∞
1
n=1 2n−1
P∞
n=1
cos (2n − 1) x
sin (2n − 1) x
2
− π(2n−1)
cos (2n − 1) x +
Odp 15.2.
a) f (x) =
8
π2
(−1)n−1
n=1 (2n−1)2
P∞
f (x) =
1
2
−
b) f (x) =
4
π
P∞
f (x) = 1 +
4
π2
P∞
1
n=1 (2n−1)2
1
n=1 n
8
π2
sin (2n−1)πx
2
cos (2n − 1) πx
sin nπx
4
P∞
1
n=1 (2n−1)2
cos (2n−1)πx
4
76
2x
π(2n−1)
sin (2n − 1) x
16
Całki wielokrotne
Zadanie 16.1. Oblicz całki iterowane:
a)
R2R3
d)
R4 Ry
g)
R 1 R x R xy
j)
R 1 R √x R 2−2x
0
0
x2 + 2xy dy dx
y3
−2 0 x2 +y 2
0
0
0
0
0
dx dy
x3 y 2 z dz dy dx
1−x
y dz dy dx
b)
R 1 R 2x
e)
R1Ry
h)
R1R3R5
k)
R1 R1 R2
0
0
0
x
0
c)
R 0 R y2
f)
R 5 R 5−x √
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz
i)
R 1 R 1−x R 1−y
(4 + z) dz dy dx
l)
R 2 R√
2
(x − y + 1) dy dx
x
e y dx dy
0
−1 x2
0
0
2
0
0
0
(x + 2y) dx dy
0
0
0
4 + x + y dy dx
0
xyz dz dy dx
R3
2y−y 2
0
xz 2 dz dx dy
Zadanie 16.2. Zamień kolejność całkowania w całkach:
R2 R4
R4R4
R 3 R 2y
a) −2 x2 f (x, y) dy dx
b) 2 y f (x, y) dx dy
c) 1 0 f (x, y) dx dy
d)
R 3 R 2y
1
0
f (x, y) dx dy
e)
R1 R4
−2 y 2
f (x, y) dx dy
f)
R0
√
√
− 3 − 4−x2
R1
f (x, y) dy dx
Zadanie 16.3. Oblicz całki podwójne, gdzie D jest obszarem całkowania:
RR
1.
(x + y) dx dy, gdzie:
D
a) D jest ograniczony przez krzywe x = 0, y = 0, x + y = 3
b) D jest ograniczony przez krzywe x = 4, y = 0, y = x
RR
2.
xy dx dy, gdzie:
D
a) D jest ograniczony przez krzywe x = 0, x = 7, y = 0, y = 5
b) D jest elipsą 4x2 + y 2 ¬ 4
c) D jest ograniczony przez krzywe: y = x − 4, y 2 = 2x
R R x dx dy
3.
, gdzie:
D x2 +y 2
a) D jest ograniczony przez krzywe x = 2, y = x, x = 2y
b) D jest ograniczony przez krzywe 2y = x2 , y = x
Zadanie 16.4. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:
a) xy = 4, x + y = 5
b) y = ex , y = e2x , x = 1
c) y = 2x , y = 2−2x , y = 4
d) x + y = 1, x + 3y = 1, y = x, 2y = x
Zadanie 16.5. Oblicz za pomocą całki podwójnej objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
a) x = 1, x = 0, y = 1, y = 0, x + y + z = 4, z = 0
b) x = ±1, y = ±2, z = 6 − x2 − y 2
c) y = x2 , y = 1, x + y + z = 4, z = 0
d) z =
77
x2
4
+ y 2 , x = ±1, y = ±1
Zadanie 16.6. Oblicz całki potrójne, gdzie D jest obszarem całkowania:
R R R dx dy dz
1.
, gdzie:
D 1−x−y
a) D jest ograniczony przez krzywe x = 0, x = 1, y = 2, y = 5, z = 2, z = 4
b) D jest ograniczony przez krzywe x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
RRR
dx dy dz
, gdzie:
2.
D (x+y+z+1)3
a) D jest ograniczony przez krzywe x + z = 3, y = 2, x = 0, y = 0, z = 0
b) D jest ograniczony przez krzywe x = 0, x = 2, y = ±1, z = ±1
Zadanie 16.7. Oblicz za pomocą całki potrójnej objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
a) x + y = 1, x + y = 2, y = 0, y = 1, z = 0, z = 3
b) y = x2 , y = 1, z = 0, z = 2
c) x2 + y 2 = 9, z = 0, z = 5
d) x + y + z = 4, x = 3, y = 2, x = 0, y = 0, z = 0
78
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 16.1.
a) 26
g)
b)
1
110
1
3
c) −11 15
h) 175
i)
d) 6π
1
120
1
12
j)
e)
1
2
k)
40
3
(e − 1)
506
15
f)
l) 30
Odp 16.2.
R2 R4
R 4 R √y
a) −2 x2 f (x, y) dy dx = 0 −√y f (x, y) dx dy
b)
R4R4
c)
R 3 R 2y
d)
R 1 R 2−x2
e)
R1 R4
f)
R0
√
√
f (x, y) dy dx =
− 3 − 4−x2
R0 R1
R −1 R 1
= −1 −√3 f (x, y) dx dy + −√3 −√4−y2
2
1
0
y
f (x, y) dx dy =
0
2
2
f (x, y) dy dx
R2R3
f (x, y) dx dy =
x
−2 y 2
R4Rx
0
f (x, y) dy dx =
f (x, y) dx dy =
1
f (x, y) dy dx +
R1Ry
0
R6R3
f (x, y) dx dy +
0
R 1 R √x
√
0 − x
x
2
2
f (x, y) dy dx
R 2 R √2−y
1
f (x, y) dy dx +
0
R4R1
1
√
− x
f (x, y) dx dy
f (x, y) dy dx
R1
Odp 16.3. 1a) 9
Odp 16.4. a)
15
2
Odp 16.5. a) 3
1b) 32
− 4 ln 4
b)
104
3
Odp 16.6. 1a) −10 ln 54
Odp 16.7. a) 6
b)
8
3
2a)
1225
4
2b) 0
b) 21 e2 − e +
c)
68
15
d)
5
3
1b)
1
2
2a)
3
2
d)
55
6
c) 45π
f (x, y) dx dy +
1
2
2c) 90
c) 12 −
ln 2 −
1
8
79
3a) 2
9
2 ln 2
2b)
R −√3 R √4−y2
√ 2 f (x, y) dx dy
−2
1
2
d)
ln 5 −
−
π
4
− arc tg
7
120
3
2
4−y
ln 3
1
2
3b) ln 2
17
Równania różniczkowe zwyczajne
Zadanie 17.1. Rozwiąż równania różniczkowe:
a)
dy
= 3x4 , y(0) = 0
dx
b)
dy
= ky, y(x0 ) = y0
dx
c)
dy
+ 3x2 y 2 = 0, y(1) =
dx
d)
dy
x2 + y 2
=
dx
xy
e)
dy
− y = 3e2x
dx
f)
dy
2
+ y = 3x3
dx x
1
2
Zadanie 17.2. Liczba jąder izotopu dN , która ulega rozpadowi w bardzo krótkim przedziale czasu
dt jest wprost proporcjonalna do pozostałej jeszcze liczby jąder i zależy od rodzaju izotopu, co charakteryzuje stała λ. Jest to prawo rozpadu: dN = −λN dt. Wyznacz zależność N (t) uwzględniając
warunek początkowy N (0) = N0 .
Zadanie 17.3. Prędkość rozpadu pierwiastka promieniotwórczego o masie m w czasie t określona
jest wzorem dm
dt = −km, gdzie k > 0 jest stałą rozpadu charakterystyczną dla danego pierwiastka
niezależną od czasu.
a) Wyznacz zależność masy pierwiastka od czasu m (t).
b) Znajdź czas połowicznego rozpadu pierwiastka o masie początkowej m0 wiedząc, że czas
połowicznego rozpadu jest okresem po upływie, którego rozpada się połowa pozostałej masy
pierwiastka.
c) Polon P o − 210 ma okres połowicznego rozpadu równy 140 dni. Znajdź jego masę po 100
dniach, jeżeli jego masa początkowa wynosiła 200 g.
d) Okres połowicznego rozpadu promieniotwórczego węgla C − 14 wynosi 5730 lat. Oblicz, jaki
procent masy wyjściowej tego pierwiastka pozostanie po 10000 latach.
Zadanie 17.4. Prędkość rozkładu cukru w roztworze wodnym pod wpływem katalicznego działania kwasu wyraża się zależnością dx
dt = k (a − x), gdzie x (t) oznacza ilość cukru, która ulega
rozkładowi w czasie t, natomiast a jest początkową ilością cukru, stała k jest współczynnikiem
proporcjonalności. Znajdź zależność ilości cukru od czasu x (t).
Zadanie 17.5. Zgodnie z prawem Newtona szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna
do różnicy temperatur ciała T w chwili t i temperatury otoczenia To , czyli dT
dt = −k (T − To ),
gdzie k > 0 jest stałą niezależną od czasu.
a) Wyznacz zależność temperatury ciała od czasu T (t).
b) Sztabkę złota rozgrzaną do 180 stopni zanurzono w cieczy o stałej temperaturze równej 60
stopni. W jednej minucie temperatura sztabki obniżyła się do 120 stopni. Po ilu minutach
temperatura spadnie do 90 stopni?
80
Zadanie 17.6. Zbiornik zawiera 500 litrów 10% wodnego roztworu soli. Do zbiornika wlewa się
20% wodny roztwór soli z prędkością 25 l/min. Z taką samą prędkością powstała mieszanina jest
wylewana ze zbiornika. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces
rozpuszczania soli w wodzie jest natychmiastowy.
81
Wskazówki i odpowiedzi
Odp 17.1. N (t) = N0 e−λt
Odp 17.2. a) m (t) = m0 e−kt
Odp 17.3. x (t) = a 1 − e
b) tp =
ln 2
k
5
c) m (100) = 200 · 2− 7 ≈ 121, 9 g
d) ≈ 29, 83%
−kt
Odp 17.4. a) T (t) = To + (T (0) − To ) e−kt
b) 2 min
Odp 17.5. Ilość soli (w litrach) w zbiorniku w chwili t opisuje się zależnością s (t) = 100 1 − 21 e−0,05t .
82