Analiza funkcjonalna i wypukła Lista zadań nr 3

5
Wydział Zastosowań Informatyki i Matematyki SGGW
Analiza funkcjonalna i wypukła
Lista zadań nr 3
Tematyka: Macierze ortogonalne, rozkład A = QT macierzy odwracalnej w iloczyn macierzy ortogonalnej trójkątnej.
1. Udowodnić, że w przestrzeni kartezjańskiej Rn równość |u − v|2 + |u + v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) jest spełniona tożsamościowo (dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn ).
2. Wykazać, że dla dowolnego τ ∈ R podane poniżej macierze są ortogonalne:
"
#
"
#
cos τ − sin τ
cos τ
sin τ
A=
;
S=
.
sin τ
cos τ
sin τ − cos τ
Podać ich geometryczną interpretację w terminach odwzorowań liniowych R2 → R2 wyznaczonych przez nie.
3. Uzupełnić trzecią kolumnę podanej macierzy, tak aby
 √
1/ 2

A= 0
√
−1/ 2
otrzymać
√
1/ 3
√
1/ 3
√
1/ 3
macierz ortogonalną

∗

∗ .
∗
4. Metodą ortogonalizacji Grama–Schmidta skonstruować bazę ortonormalną wychodząc z bazy
 
 
 
 
 
 
0
1
1
2
1
6
 
 
 
 
 
 
a) v1 = 0 , v2 = 1 , v3 = 0 ;
b) v1 = −1 , v2 = 1 , v3 = 3 .
1
1
1
2
4
9
Przyjmując, że A jest macierzą o kolumnach utworzonych przez wektory v1 , v2 , v3 wyjściowej bazy, zaś U jest
macierzą o kolumnach utworzonych przez wektory u1 , u2 , u3 tworzące skonstruowaną w ten sposób bazę ortonormalną, wyznaczyć rozkład A = U T .
5. Rozłożyć macierz

−1 5

A= 2 5
0 2

14

12  .
−11
na iloczyn P T macierzy ortogonalnej P i górnotrójkątnej T .
6. Zastosowań metodę ortogonalizacji Grama–Schmidta do układu
 
 
 
−1
1
0
 1
 1
 2
 
 
 
a1 =   , a2 =   , a3 =   .
 3
 1
 0
1
−1
2
7. Niech v ∈ Rn będzie wektorem (kolumnowym) o długości jeden. Wykazać, ze macierz Q = I − 2vv t jest macierzą
ortogonalną. Zastanowić się, jakie jest geometryczne znaczenie tej macierzy — można ograniczyć się do przypadku
n = 3.
8. Wykazać, że jeśli macierz A jest macierzą kwadratową, to z warunku AAt = I wynika również At A = I. Pokazać
na przykładzie, że ten wniosek jest nieprawdziwy bez założenia, iż A jest kwadratowa.
9. Wykazać, że macierz, która jest jednocześnie ortogonalna i trójkątna, jest macierzą diagonalną z wyrazami ±1
na diagonali.
Odpowiedzi:

0 1

4a) A = 0 1
1 1

1

0 ,
1

0

U =
0

1
1
√
2
1
√
2
0

1
√ 
2 
1 
−√ 
2
0


2 1 6


4b) A = −1 1 3 ,
2 4 9


2 −1 2
1

U = −1 2
2
3
2
2 −1
6
Wydział Zastosowań Informatyki i Matematyki SGGW
Analiza funkcjonalna i wypukła
Lista zadań nr 4
Tematyka: Iloczyny skalarne w przestrzeniach funkcji.
1. Niech P 3 [t] będzie przestrzenią rzeczywistych wielomianów stopnia ¬ 3. Sprawdzić, że każde z dwóch poniższych
wyrażeń zadaje w P 3 [t] iloczyn skalarny:
i)
ii)
(f | g) =
hf | gi =
Z
1
−1
Z 1
f (t)g(t) dt,
f, g ∈ P 3 [t];
f (t)g(t) dt,
f, g ∈ P 3 [t].
0
a) Wyznaczyć macierze Grama względem jednego i drugiego iloczynu skalarnego dla każdej z następujących baz
w P 3 [t]:
a)
(1, t, t2 , t3 ),
b)
(1, t2 , t, t3 )
Czy można było przewidzieć kształty tych macierzy?
b) Wyznaczyć dopełnienia ortogonalne w P 3 [t] względem: (i) iloczynu skalarnego (· | ·) oraz (ii) iloczynu skalarnego h· | ·i dla następujących przestrzeni wielomianów:
V = { f ∈ P 3 [t] | f (0) = 0 };
W = { f ∈ P 3 [t] | f ′ (0) = 0 };
Z = { f ∈ P 3 [t] |
1 ′′
1
f (0) + f ′′′ (0) = 0 }.
2
6
c) Wykazać, że w wyniku ortonormalizacji Grama–Schmidta zastosowanej do bazy {1, t, t2 , t3 } w przestrzeni
P 3 [t] przy użyciu pierwszego z podanych iloczynów skalarnych otrzymuje się bazę
(r
)
r
r
r
1
3
5 2
7 3
,
t,
(3t − 1),
(5t − 3t) .
2
2
8
8
Wyznaczyć bazę ortonormalną otrzymaną z tej samej bazy w P 3 [t] metodą ortonormalizacji Grama–Schmidta
przy użyciu drugiego z podanych iloczynów skalarnych.
R1
2. W przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [−1, 1] z iloczynem skalarnym (p | q) = −1 p(t)q(t) dt znaleźć najlepsze
przybliżenie funkcji f (t) = t2 za pomocą wielomianu stopnia 1. Rozwiązać to samo zagadnienie dla funkcji
f (t) = t2 − t − 1. Podać interpretację geometryczną rozwiązania.
R1
3. Niech V będzie przestrzenią funkcji ciągłych na odcinku [0, 1] z iloczynem skalarnym hp | qi = 0 p(t)q(t) dt.
Wyznaczyć wielomian pierwszego stopnia y(t) = a + bt o najmniejszym średnim odchyleniu kwadratowym od
√
funkcji f (t) = t (tj. rzut ortogonalny funkcji f na przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż 1.)
R1
4. W przestrzeni C([−1, 1]) funkcji ciągłych na odcinku [−1, 1] z iloczynem skalarnym (p | q) = −1 p(t)q(t) dt
√
znaleźć najlepsze przybliżenie funkcji f (t) = 1 − t za pomocą wielomianów stopnia 2 i stopnia 3. Rozwiązać to
samo zagadnienie dla funkcji g(t) = cos πt − 1. Podać interpretację geometryczną rozwiązania.
5. Wyznaczyć współczynniki Fouriera funkcji „schodkowej”, przyjmującej wartość 1 na odcinku [0, π] i wartość − 1
na odcinku [π, 2π]. Rozwiązać to samo zagadnienie dla funkcji, która różni się od poprzedniej tylko na odcinku
[π, 2π], gdzie przyjmuje wartość 0.
6. Jaka stała jest najlepszym przybliżeniem dla funkcji f (t) = t4 na odcinku [0, 1] w normie odpowiadającej
R1
iloczynowi skalarnemu (p | q) = 0 p(t)q(t) dt?