5. Granica ciągu

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”
realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna
Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik
5. Granica ciągu
Ćw. 5.1 Zbadaj monotoniczność ciągu (an ). Które z podanych ciągów są ograniczone?
Które są zbieżne?
2n + 1
,
n+1
n
= n,
2
n2 + 2n + 1
=
,
n2 − 3
2n
= ,
n!
= (−1)n ,
1. an =
2. an
3. an
4. an
5. an
6. an = n(−1) ,
(n + 1)! + n!
7. an =
,
(n + 1)! − n!
1+2+···+n n−1
−
,
8. an =
n2
n
2n+1
1
9. an = −
.
2
n
Ćw. 5.2 Na podstawie definicji pokaż, że
2n + 1
= 2,
n→∞ n + 1
n
1
= 0,
lim −
n→∞
5
n1
3
= 1,
lim
n→∞ 2
3n + 2
lim
6= 1,
n→∞ n + 1
(−1)2n
lim
6= −2,
n→∞
2n
lim 2n − 7 = ∞,
1. lim
2.
3.
4.
5.
6.
n→∞
1
7. lim −n + 100 = −∞,
n→∞
8. lim log n = ∞,
n→∞
9. lim − ln(ln n) = −∞,
n→∞
10. lim 2n = ∞.
n→∞
Ćw. 5.3 Oblicz granicę ciągu (an ).
4n − 3
,
6 − 5n
(n − 1)(n + 3)
2. an =
,
3n2 + 5
3
3
5n − 2
3. an =
,
1 − 3n3
1. an =
2−5n+10n2
4. an = 3 3n+15 ,
3n32 +5
1 2n +7
5. an =
,
2
√
√
1 + 2n2 − 1 + 4n2
,
6. an =
n
(n + 2)! + (n + 1)!
7. an =
,
(n + 2)! − (n + 1)!
n+2
8. an =
n
n2
,
1 + 12 + 41 + · · · +
9. an =
1 + 13 + 91 + · · · +
1
2n
1
3n
.
Ćw. 5.4 Oblicz granicę ciągu (an ).
4n−1 − 5
,
22n − 7
3 · 22n+2 − 10
2. an =
,
5 · 4n−1 + 3
2n+1 − 3n+2
,
3. an =
3n+2
−8n−1
4. an = n+1 .
7
1. an =
Ćw. 5.5 Oblicz granicę ciągu (an ).
√
√
1. an = n + 2 − n,
2
2. an = n −
√
n2 + 5n,
√
3. an = 3n − 10n6 + 6n − 15,
√
4. an = 5n2 + 2n6 − 3.
Ćw. 5.6 Oblicz granicę ciągu (an ).
3n
cos(n3 )
−
,
2n
6n + 1
n sin(n!)
,
= 2
n +1
a cos(nπ)
=
,
2n
2n
n
n+1
n(−1)n
= 2
,−
cos
· 2
,
2n − 1
2n − 1
1 − 2n n + 1
1+2+···+n
=
cos(n!),
n3 + 1
2
7 n
.
= 2+
3n
1. an =
2. an
3. an
4. an
5. an
6. an
Ćw. 5.7 Oblicz granicę ciągu (an ).
n
2
1. an = 1 +
,
n
−n+3
4
2. an = 1 −
,
n
2
n2
n +6
3. an =
,
n2
n2
2
n +2
,
4. an =
n2 + 1
5. an = n (ln(n + 1) − ln n),
ln 1 + n3
.
6.
1
n
Ćw. 5.8 Oblicz granicę ciągu (an ).
√
1. an = n 3n + 2n ,
√
2. an = n 10n + 9n + 8n ,
s n
n
3
2
n
3. an =
+
,
3
4
3
4. an =
√
n
2 · 3n + 4 · 7n .
Ćw. 5.9 Oblicz granicę ciągu (an ).
1
1. an
2. an
3. an
4. an
(2n) n (5n + 1)
=
,
n+3
√
= n 3n + sin n,
r
n
n (−1)
=
+ 2n,
n
n
1
= 1+ 2 .
n
Ćw. 5.10 Oblicz granicę ciągu (an ).
n2
,
3n
2n
2. an = ,
n!
2n · 32n
.
3. an =
n!
1. an =
ŹRODŁO:
• W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1.
• Banaś J., Wędrychowicz S.: Zbiór zadań z analziy matematycznej.
4