Kolokwium II z matematyki, zestaw A 13 stycznia 2016 Imię - E-SGH

Kolokwium II z matematyki, zestaw A
13 stycznia 2016
Imię i nazwisko
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA, każde zadanie jest za 7,5 punktu
1. Oblicz
ˆ
sin(ln x)
dx,
x
´
b) całkę ex (x + 1)dx,
c) pole obszaru ograniczonego liniami x = 0, x = 1, y = 0, y = ex (x + 1).
(wskazówka - nie ma potrzeby rysowania wykresu y = ex (x + 1))
a) całkę
2. Dane jest równanie macierzowe A(I+X)T − B = A.
a) Wyznacz macierz X z równania.




0 3 1
1 1 0



b) Podaj elementy macierzy X w przypadku gdy A = 
 −1 1 0  , B =  1 0 1  .
1 3 1
0 1 1
c) Oblicz det 3X−1 XT .
3. Dany jest układ równań




x1 + 2x2
=
2
ax1
− x3 = −1



ax1 + ax2 + x3 = a + 1.
a) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru a ∈ R.
b) Rozwiąż układ dla a = 0.
c) Dla układu z podpunktu b) wyznacz dwa rozwiązania bazowe v, w i sprawdź,
czy 3v − 2w jest rozwiązaniem szczególnym tego układu.
4. Dana jest funkcja f (x, y) =
q
x2 + y 2 − 3.
a) Zaznacz na płaszczyźnie dziedzinę funkcji f oraz jej warstwice Wc odpowiadające wartościom c = −1, c = 0, c = 1, o ile istnieją.
b) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(0, 0), (−1, 0), (0, −3).






0
2
2

 
 

5. a) Zbadaj liniową niezależność wektorów 2  ,  3  ,  −1  .
1
2
0


2 m
0 2


b) Wyznacz rząd macierzy  2 3 −1 m  w zależności od wartości parametru
1 2
0 1
m ∈ R.
Kolokwium II z matematyki, zestaw B
13 stycznia 2016
Imię i nazwisko
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA, każde zadanie jest za 7,5 punktu
1. Oblicz
ˆ
cos(ln x)
dx,
x
´
b) całkę ex (x + 2)dx,
c) pole obszaru ograniczonego liniami x = 0, x = 1, y = 0, y = ex (x + 2)
(wskazówka - nie ma potrzeby rysowania wykresu y = ex (x + 2)).
a) całkę
2. Dane jest równanie macierzowe (X+I)T A − B = A.
a) Wyznacz macierz X z równania.




−1 1 0
1 0 1



b) Podaj elementy macierzy X w przypadku gdy A = 
 1 3 1 , B =  1 1 0 
0 3 1
0 1 1
c) Oblicz det 4XT X−1 .
3. Dany jest układ równań




bx1 + bx2 + x3 = b + 1
2x1 + x2
=
2



+ bx2 − x3 = −1.
a) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru b ∈ R.
b) Rozwiąż układ dla b = 0.
c) Dla układu z podpunktu b) wyznacz dwa rozwiązania bazowe v, w i sprawdź,
czy 4v − 3w jest rozwiązaniem szczególnym tego układu.
4. Dana jest funkcja f (x, y) =
q
x2 + y 2 − 2.
a) Zaznacz na płaszczyźnie dziedzinę funkcji f oraz jej warstwice Wc odpowiadające wartościom c = −2, c = 0, c = 1, o ile istnieją.
b) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(−1, 0), (0, −3), (0, 0).






2
3
−1

 
 

5. a) Zbadaj liniową niezależność wektorów 0  ,  2  ,  2  .
1
2
0


2 3 −1 m

2 m 
b) Wyznacz rząd macierzy  0 2
 w zależności od wartości parametru
1 2
0 1
m ∈ R.
Kolokwium II z matematyki, zestaw C
13 stycznia 2016
Imię i nazwisko
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA, każde zadanie jest za 7,5 punktu
1. Oblicz
ˆ
sin(ln x)
dx,
x
´
b) całkę ex (x + 1)dx,
c) pole obszaru ograniczonego liniami x = 0, x = 1, y = 0, y = ex (x + 1).
(wskazówka - nie ma potrzeby rysowania wykresu y = ex (x + 1))
a) całkę
2. Dane jest równanie macierzowe A(I+X)T − B = A.
a) Wyznacz macierz X z równania.




0 3 1
1 1 0



b) Podaj elementy macierzy X w przypadku gdy A = 
 −1 1 0  , B =  1 0 1  .
1 3 1
0 1 1
c) Oblicz det 3X−1 XT .
3. Dany jest układ równań




x1 + 2x2
=
2
cx1
− x3 = −1



cx1 + cx2 + x3 = c + 1.
a) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru c ∈ R.
b) Rozwiąż układ dla c = 0.
c) Dla układu z podpunktu b) wyznacz dwa rozwiązania bazowe v, w i sprawdź,
czy 3v − 2w jest rozwiązaniem szczególnym tego układu.
4. Dana jest funkcja f (x, y) =
q
x2 + y 2 − 3.
a) Zaznacz na płaszczyźnie dziedzinę funkcji f oraz jej warstwice Wc odpowiadające wartościom c = −1, c = 0, c = 1, o ile istnieją.
b) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(0, 0), (−1, 0), (0, −3).






0
2
2

 
 

5. a) Zbadaj liniową niezależność wektorów 2  ,  3  ,  −1  .
1
2
0


2 m
0 2


b) Wyznacz rząd macierzy  2 3 −1 m  w zależności od wartości parametru
1 2
0 1
m ∈ R.
Kolokwium II z matematyki, zestaw D
13 stycznia 2016
Imię i nazwisko
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA, każde zadanie jest za 7,5 punktu
1. Oblicz
ˆ
cos(ln x)
dx,
x
´
b) całkę ex (x + 2)dx,
c) pole obszaru ograniczonego liniami x = 0, x = 1, y = 0, y = ex (x + 2)
(wskazówka - nie ma potrzeby rysowania wykresu y = ex (x + 2)).
a) całkę
2. Dane jest równanie macierzowe (X+I)T A − B = A.
a) Wyznacz macierz X z równania.




−1 1 0
1 0 1



b) Podaj elementy macierzy X w przypadku gdy A = 
 1 3 1 , B =  1 1 0 
0 3 1
0 1 1
c) Oblicz det 4XT X−1 .
3. Dany jest układ równań




dx1 + dx2 + x3 = d + 1
2x1 + x2
=
2



+ dx2 − x3 = −1.
a) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru d ∈ R.
b) Rozwiąż układ dla d = 0.
c) Dla układu z podpunktu b) wyznacz dwa rozwiązania bazowe v, w i sprawdź,
czy 4v − 3w jest rozwiązaniem szczególnym tego układu.
4. Dana jest funkcja f (x, y) =
q
x2 + y 2 − 2.
a) Zaznacz na płaszczyźnie dziedzinę funkcji f oraz jej warstwice Wc odpowiadające wartościom c = −2, c = 0, c = 1, o ile istnieją.
b) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(−1, 0), (0, −3), (0, 0).






2
3
−1

 
 

5. a) Zbadaj liniową niezależność wektorów 0  ,  2  ,  2  .
1
2
0


2 3 −1 m

2 m 
b) Wyznacz rząd macierzy  0 2
 w zależności od wartości parametru
1 2
0 1
m ∈ R.