Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu

Prace Szkoły Symulacji Systemów
Gospodarczych - Duszniki 2002
Wyd. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej,
Wrocław 2002
pp 75-87
Jacek J. NOWAK*
STRUKTURY ELEMENTARNE SYSTEMU
PRZEDMIOTOWEGO I JEGO MODELU1
W pracy niniejszej przedstawiono elementy teoretycznych podstaw metodologii zastosowania
teorii grafów do modelowania i symulacji struktur systemów rzeczywistych. Określono, w formie pięciu aksjomatów, warunki konieczne i dostateczne struktur (grafów je reprezentujących) na to, by
przedstawiały struktury systemów rzeczywistych. Jednocześnie scharakteryzowano zarówno niedopuszczalne, jak i podstawowe własności struktur rzeczywistych. Z powyższych przesłanek wyprowadzono własności grafów struktur dopuszczalnych, tj. mogących reprezentować struktury systemów
rzeczywistych. Część własności sformułowano w postaci twierdzeń z dowodami. Zaproponowano
także pewną klasyfikację struktur.
1. WPROWADZENIE
Uwagi końcowe jednej z poprzednich naszych prac zakończyliśmy postulatem
skupiania się na poznawaniu i modelowaniu struktur rzeczywistych systemów przedmiotowych (por. [Nowak 2000]). Konsekwentnie realizując ten postulat od strony
metodologicznej rozwinęliśmy koncepcję ujmowania struktur systemów bazując na
przyjętej hipotezie roboczej H (por. [Nowak 2001]). Hipoteza ta mówi, że każdy system rzeczywisty (w szczególności gospodarczy) można jednoznacznie i wystarczająco, na odpowiednim poziomie abstrakcji, przedstawić w postaci "piątki" <X, Q, Y, λ
, δ >, tj. układu wejść, stanów i wyjść badanego systemu oraz wiążących je funkcji
przejść i wyjść.
Ponieważ tak opisywane struktury równoważnie wygodnie jest przedstawiać z pomocą grafów oraz badać wykorzystując wyniki teorii grafów, to ta teoria stała się
naturalnym narzędziem reprezentacji struktur badanych systemów.
__________
* Szkoła Wyższa im. B. Jańskiego w Warszawie [email protected]
1
Niniejsza praca stanowi zmodyfikowaną i rozszerzoną część badań sfinansowanych przez Ministerstwo Edukacji Narodowej (program badań podstawowych RPBP III.24/C.5 – por. Nowak 1987).
76
Jacek J. Nowak
Rozwijając jednak od strony teoretycznej podstawy metodologiczne zastosowania
teorii grafów do modelowania struktur systemów rzeczywistych musimy pamiętać, że
nie możemy wykorzystywać własności dowolnych grafów. Mogłoby to prowadzić do
zbędnego „teoretyzowania”, tj. tworzenia zbioru zdań pusto spełnionych w badanym
wycinku rzeczywistości.
Grafy mogące przedstawiać struktury rzeczywistych systemów nie mogą więc charakteryzować się pewnymi cechami. Mamy na myśli takie cechy grafów, które odzwierciedlają własności struktur nie występujące w strukturach systemów rzeczywistych. Własności takie będziemy roboczo nazywać niedopuszczalnymi.
Ogólnym celem niniejszej pracy jest wprowadzenie do budowania teoretycznych
podstaw zastosowania teorii grafów do opisu struktur systemów rzeczywistych,
przyjmując za prawdziwą wyżej wspomnianą hipotezę roboczą H.
Cele szczegółowe pracy niniejszej z kolei obejmują:
1) określenie niedopuszczalnych własności grafów, które mogą być brane pod uwagę
przy modelowaniu struktur rzeczywistych systemów przedmiotowych;
2) opisanie podstawowych własności klasy grafów, które mogą reprezentować
struktury elementarne systemów rzeczywistych;
3) wyróżnienie podstawowych typów rozważanych struktur elementarnych.
Dla celów niniejszej pracy przyjmujemy hipotezę roboczą H jak w pracach poprzednich (por. np. [Nowak 2001]). Zastąpimy jedynie „piątkę” <X, Q, Y, λ , δ> równoważną jej „czwórką” <X, Q, Y, φ>.
2. UWAGI TERMINOLOGICZNE
Dany jest system przedmiotowy <X,Q,Y, φ >, gdzie X oznacza zbiór wejść, Q zbiór stanów, Y - zbiór wyjść, zaś φ: R → Q×Y: (x,q) a (q',y) jest funkcją reakcji
opisywanego obiektu (gdzie R ⊆ X×Q).
Przypominając związek z podejściem przyjętym w poprzednich, cytowanych pracach autora, nasza hipoteza robocza H mówi, że każdy system rzeczywisty (w szczególności gospodarczy) można jednoznacznie i wystarczająco, na odpowiednim poziomie abstrakcji, przedstawić w postaci następującej "piątki":
<X, Q, Y, λ , δ >
(1)
gdzie:
X - zbiór wejść (zawierający wejścia danego systemu, tj. oddziaływania
otoczenia na dany system; wejścia oznaczamy symbolem "x", ewentualnie z subskryptem "i"),
Q - zbiór stanów danego systemu (stany oznaczać będziemy literą "q", z ewentualnym
subskryptem "j"),
Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu
77
Y - zbiór wyjść (obejmujący wyjścia systemu, tj. oddziaływania systemu na jego otoczenie; wyjścia oznaczamy literą "y" z ewentualnym subskryptem "k").
Uwaga. Poszczególne wejścia, stany lub wyjścia mogą być reprezentowane zarówno
przez zbiory odpowiednich wielkości, jak i poprzez zbiory relacji (między tymi wielkościami lub innymi obiektami). Ich określenie zależy zarówno od celów i zakresu
badania, jak i od rzeczywistej „natury” modelowanego systemu przedmiotowego.
Równoważność z powyższą „piątką” (1) „czwórki” przyjętej dla celów niniejszej
pracy w postaci
<X, Q, Y, ϕ >
(2)
zapewnia fakt, że X, Q i Y mają to samo znaczenie, co w „piątce” (1), zaś funkcja
reakcji φ określona jest następująco:
ϕ: R → Q×Y: (x,q) a (q',y)
(3)
gdzie q'= δ(x,q), y= λ(x,q), zaś R, δ i λ mają to samo znaczenie jak dla „piątki” (1),
tzn:
λ: R → Q: (x,q) a q' - funkcja przejścia2, wyznaczająca stan następny systemu, q',
gdy dany jest stan q oraz wejście x działające na system w tym stanie q, przy czym
R ⊆ X×Q,
δ: R → Y: (x,q) a y - funkcja wyjścia, wyznaczająca wyjście systemu, y, jako wynik
oddziałania wejścia x na system będący w stanie q;
Wiedząc, że strukturę systemu można przedstawiać w postaci grafu (multigrafu),
łuki takiego grafu struktury będziemy utożsamiać z czwórkami xqq'y (nie jest to iloczyn), tj. elementami funkcji reakcji traktowanej jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego X×Q×Q×Y. Wyrażenie xqq'y będzie jednocześnie pełniło rolę nazwy (etykiety) danego łuku, podobnie jak symbol q pełni rolę nazwy (etykiety) węzła grafu
struktury.
Początkiem danego łuku nazywamy węzeł, z którego ten łuk wychodzi. Początek
łuku opisuje drugi element odpowiedniej czwórki xqq'y, czyli q.
Końcem danego łuku nazywamy węzeł, do którego ten łuk prowadzi, tj. trzeci element czwórki xqq'y, czyli q'.
Uwaga. Jedynie łuki grafu struktury, który jest unigrafem, mogą być jednoznacznie
zdefiniowane poprzez podanie tylko par qq', czyli swoich początków i końców.
__________
2
Wyrażenie typu f: X→Y oznacza zapis funkcji (odwzorowania) o dziedzinie X i przeciwdziedzinie
w zbiorze Y. Przypomnijmy, że matematyczne znaczenie terminu "funkcja" ("odwzorowanie") oznacza tu
więc przyporządkowanie każdemu elementowi x zbioru X jednego i tylko jednego elementu y zbioru Y.
Strzałka zaś x a y oznacza tu analogiczne przyporządkowanie "pokazane" na elementach dziedziny i
przeciwdziedziny przykładowej funkcji f. Będziemy też czasem używać bardziej klasycznego, a równoważnego zapisu funkcji: y=f(x).
78
Jacek J. Nowak
Jeśli graf struktury jest multigrafem, to wszystkie łuki opisane czwórkami xqq'y, których pary qq' są takie same, będziemy nazywać łukami równoległymi (paralelnymi).
Strukturę (graf struktury) z n-elementowym zbiorem stanów (wierzchołków) będziemy nazywać grafem rzędu1 n.
Złożoność (stopień złożoności) struktury danego systemu (grafu tej struktury) określa moc funkcji3 reakcji tego obiektu (liczba łuków grafu tej struktury).
3. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI STRUKTUR ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW
RZECZYWISTYCH
Określenie 3.1. Strukturą elementarną modelowanego systemu nazywamy relację
wiążącą bezpośrednio wejścia, stany i wyjścia tego systemu.
Powyższe pojęcie struktury elementarnej odpowiada formalnie definicji systemu (i
jego struktury) podanej w pracy Nowaka [2001]. Odróżnia ją od wcześniej określonego, ogólniejszego pojęcia struktury warunek bezpośredniej relacji pomiędzy elementami systemu, którymi są: wejścia, stany i wyjścia. Stąd przymiotnik „elementarna”.
Korzystając z faktu formalnej odpowiedniości struktury elementarnej i systemu
najwygodniej będzie nam rozważać struktury przedstawione nie w formie algebraicznej, czy zapisie teoriomnogościowym, a w postaci grafów (multigrafów) skierowanych.
3.1. UWAGI O NIEDOPUSZCZALNYCH WŁASNOŚCIACH STRUKTUR RZECZYWISTYCH
Z uwagi na fakt, że rozważania nasze, choć ogólne, to jednak dotyczą systemów
rzeczywistych, nie interesują nas przypadki struktur, które mają przynajmniej jedną z
następujących własności4:
a) zbiór stanów jest jedno-elementowy,
b) istnieją stany nie powiązane z żadnym innym stanem (węzły izolowane),
c) istnieją wejścia, które nie działają na żaden stan,
d) istnieją wyjścia, które nie są generowane przy żadnym układzie wejście - stan,
__________
3
Tj. moc zbioru φ czwórek xqq'y, przedstawiającego funkcję reakcji danego systemu.
Podstawowa, znana nam literatura o własnościach grafów mogących służyć jako opis struktur
systemów rzeczywistych (zob. np. [Harary, Norman i Cartwright 1965], [Korzan 1978], [Deo 1980] czy
[Kulikowski 1986]) dość niefrasobliwie traktuje problem ograniczeń nakładanych przez rzeczywistość na
grafy struktur. Podobnie jest w fundamentalnej pracy Zeiglera [1984].
4
Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu
79
e) zbiór wyjść jest jedno-elementowy, tzn. obiekt oddziałuje zawsze tak samo na
swoje otoczenie,
f) istnieje więcej niż jeden stan odpowiadający źródłu w grafie struktury (tj. węzłowi, z którego łuki tylko wychodzą, a żaden łuk nie dochodzi).
O ile warunki b-d i f zabezpieczają nas przed rozważaniem struktur o nierealnych
własnościach, o tyle warunki a oraz e eliminują z naszych rozważań systemy o żadnej,
w istocie, wartości poznawczej. Przypadki powyższe ilustrują grafy struktur przedstawione na rys. 1.
Rys. 1. Przykłady grafów struktur nierealnych.
3.2. PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA O WŁASNOŚCIACH STRUKTUR RZECZYWISTYCH
Każdorazowo punkt widzenia danego systemu określony jest przez podanie zbioru
wejść, zbioru stanów i zbioru wyjść. Relacja między elementami tych zbiorów, czyli
funkcja reakcji nie jest już od tego momentu zależna od naszego sposobu podejścia, a
tylko od rzeczywistej struktury badanego obiektu, przedstawianej oczywiście w terminach uprzednio zdefiniowanych zbiorów wejść, stanów i wyjść. Uwzględniając
więc rozważania z poprzedniego paragrafu wprowadzamy więc następujące aksjomaty, eliminujące z rozważań struktury fikcyjne bądź o żadnej wartości poznawczej, a
określające podstawowe własności struktur systemów rzeczywistych.
Dla przejrzystości tekstu będziemy czasem utożsamiać stan systemu z odpowiadającym mu węzłem grafu struktury tego systemu.
80
Jacek J. Nowak
Aksjomat 1. Dany jest m-elementowy zbiór wejść X, n-elementowy zbiór stanów Q
oraz p-elementowy zbiór wyjść Y, opisywanego systemu A, gdzie m, n i p są skończonymi liczbami naturalnymi takimi, że:
m ≥ 1, n ≥ 2, p ≥ 2
(4)
i istnieje relacja R, funkcja reakcji φ oraz zbiory (funkcje) δ i λ postaci następującej:
R ⊆ X×Q
(5a)
φ : R → Q×Y: xq a q'y
(5b)
δ = { xqq’: ∃y (φ(xq) = q'y) }
(5c)
λ = { xqy: ∃q' (φ(xq) = q'y) }
(5d)
Aksjomat 2. Dla każdego stanu q istnieje pewien inny stan q', taki, że system może
przejść od stanu q do stanu q' lub5 od stanu q' do stanu q.
Aksjomat 3. Dla każdego wejścia systemu x istnieje pewien stan q, na który to wejście
x może oddziaływać. Formalnie:
∀x ∃q ∃q'y (xqq' ∈ δ ∧ xqy ∈ λ)
(6)
Uwaga. Formalne wyrażenie (6) słownie sformułowanego aksjomatu 3 uściśla jednocześnie pojęcie "możliwości oddziaływania" wejścia na system, jako istnienia możliwości przejścia systemu od stanu q do stanu q' pod wpływem wejścia x.
Aksjomat 4. Dla każdego wyjścia, y, istnieje pewien stan q i wejście x działające na
ten stan, które powoduje, że system generuje dane wyjście y.
Aksjomat 5.. Jeżeli istnieje stan nie będący końcem żadnego łuku (czyli tzw. źródło),
to:
a) nie istnieje drugi taki stan w strukturze systemu,
b) musi istnieć przynajmniej jedna ścieżka przejść od tego stanu (źródła) do dowolnego innego stanu systemu.
Komentarz do aksjomatu 5. Stanu będącego źródłem nie można osiągnąć z żadnego
innego stanu. Zaliczenie takiego stanu do zbioru stanów systemu ma swoje usprawiedliwienie jedynie w zamiarze rozważania zachowania systemu, w którym to źródło
jest stanem początkowym. W takim razie musi istnieć możliwość osiągania z tego
źródła każdego z pozostałych stanów. Jeśliby z kolei zbiór stanów zawierał przynajmniej dwa stany o charakterze źródeł, to, z definicji źródła, fakt ten od razu uniemożliwiłby przejście co najmniej od źródła do źródła.
__________
5
Słowa "lub" będziemy zawsze używać w znaczeniu alternatywy niewykluczającej. W przypadku
alternatywy wykluczającej będziemy używać spójników "albo" ..., "albo".
Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu
81
Uwaga. Od tego momentu, jeśli to nie będzie inaczej wyraźnie zaznaczone, terminu
„graf struktury” będziemy używać w odniesieniu do grafów przedstawiających struktury systemów spełniających aksjomaty 1-5.
3.3. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI GRAFÓW STRUKTUR ELEMENTARNYCH
MODELOWANYCH OBIEKTÓW
Następujące trzy własności przyjmujemy bez dowodu, jako wynikające bezpośrednio z koncepcji systemu rzeczywistego przedstawionej w hipotezie roboczej (1)
lub z wprowadzonych aksjomatów.
Własność 1. Każdy graf struktury jest grafem skierowanym (digrafem), którego łuki
(strzałki) posiadają wagi6.
Własność 2. Każdemu łukowi przyporządkowana jest pewna waga postaci (x,y), gdzie
x jest elementem zbioru wejść, zaś y elementem zbioru wyjść danego obiektu. Innymi
słowy, istnieje relacja W ⊆ S×X×Y = {(q,q',x,y)}, gdzie
S = {(q,q'): ∃x (xqq' ∈ δ)}
(7)
i gdzie δ jest zbiorem odpowiadającym funkcji przejścia i określonym relacją (5c).
Wartości tej relacji W nazywamy wagami łuków7.
Własność 3. Warunkiem koniecznym na to, aby graf struktury systemu mógł być multigrafem jest, aby moc zbioru wejść była nie mniejsza od 2.
Wniosek 1. Bezpośrednio z własności 3 wynika, że jeśli zbiór wejść jest jedno-elementowy, to graf struktury jest zawsze unigrafem.
Własność 4. Dane wejście x, działając na dany stan q, powoduje przejście tylko do
jednego stanu następnego q' i wygenerowanie tylko jednego wyjścia y.
Wniosek 2. Maksymalną możliwą złożoność struktury każdego z rozważanych w
pracy systemów określa każdorazowo iloczyn mocy zbioru wejść i mocy zbioru stanów danego systemu, czyli mn.
Dla dalszych własności grafów struktur podamy (naszkicujemy) już dowody.
Twierdzenie 1. Każdy graf struktury jest grafem spójnym.
Dowód. Teza wynika bezpośrednio z aksjomatu 2. Q.E.D.
Komentarz. Ściślej rzecz ujmując, pewne pary węzłów grafu struktury mogą nie być
powiązane drogą lecz tylko łańcuchem, tj. ciągiem łuków różnie skierowanych. Pojęciu spójności, użytemu w twierdzeniu 1, odpowiada więc niekiedy używany w literaturze termin słabej spójności grafu.
__________
6
Jest to więc digraf ważony (według np. terminologii Deo [1980]) czy digraf obciążony (według np.
terminologii Wilsona [1985]).
7
S jest relacją określającą typ struktury danego obiektu (zob. paragraf 3.4). Uogólniamy tu zarazem
pojęcie wagi łuku rozumiane zwykle w teorii grafów jako liczba rzeczywista.
82
Jacek J. Nowak
Twierdzenie 2. Liczba wyjść (moc zbioru wyjść) p rzeczywistego systemu przedmiotowego o ustalonym zbiorze m wejść i zbiorze n stanów spełnia nierówność
2 ≤ mn
(8)
Innymi słowy, dany system o m wejściach i n stanach nie może oddziaływać na
swoje otoczenie na więcej niż mn sposobów (przy przyjętym punkcie widzenia danego systemu). Na ile sposobów może w rzeczywistości oddziaływać dany system na
swoje otoczenie, zależy to od jego struktury.
Twierdzenie 3. Rzeczywisty system przedmiotowy charakteryzujący się n-elementowym zbiorem stanów i p-elementowym zbiorem wyjść musi, aby spełniać aksjomaty
1-5, posiadać co najmniej ]p/n[-elementowy zbiór wejść (warunek konieczny), gdzie
symbol ]a[ oznacza najmniejszą liczbę całkowitą niemniejszą od a8.
Dowód. Twierdzenie 3 wynika z własności 4 i twierdzenia 2.
Q.E.D.
Na pytanie: kiedy dany graf struktury musi być multigrafem, odpowiada następujące twierdzenie:
Twierdzenie 4. Jeżeli moc zbioru wejść danego systemu przedmiotowego A jest nie
mniejsza od mocy jego zbioru stanów, czyli m ≥ n, oraz istnieje taki węzeł q bez pętli,
którego stopień wyjściowy9 d(q) jest nie mniejszy niż n, to graf G(A) struktury tego
systemu jest multigrafem o krotności10 co najmniej ]d(q)/(n-1)[, gdzie sens zapisu ]a[
określony jest w twierdzeniu 3.
Inaczej, G(A) jest multigrafem o krotności co najmniej ]d(q)/(n-1)[ , gdzie d(q)
oznacza stopień wyjściowy węzła q.
Dowód. Ponieważ węzeł q nie posiada pętli, to łuki z niego wychodzące mogą biec do
n-1 różnych stanów. Stąd oraz z własności 4 i założenia, że d(q)≥n wynika teza twierdzenia 4. Q.E.D.
Twierdzenie 5. Stopień wyjściowy poszczególnych węzłów grafu struktury nie może
być większy od m.
Dowód. Przypuśćmy, że stopień wyjściowy węzła q jest większy od m. Oznacza to, że
istnieje przynajmniej jedno wejście, które albo powoduje przejście od stanu q do
przynajmniej 2 innych stanów, albo do tego samego stanu q i przynajmniej do jednego z pozostałych stanów, albo przynajmniej dwa przejścia do tego samego stanu q
(dwie pętle) itp., generując co najmniej dwa różne wyjścia. A fakt taki przeczy istocie
funkcji reakcji (własności 4). Q.E.D.
Twierdzenie 6. Jeżeli graf struktury danego obiektu jest multigrafem, to krotność jego
jest niewiększa od mocy zbioru wejść, tj. m.
__________
8
A ściślej: ]a[=a, jeśli a jest liczbą całkowitą; oraz ]a[ = zaokrąglona w górę liczba a, jeśli a nie jest
całkowita.
9
Stopień wyjściowy węzła grafu określa liczbę łuków wychodzących z danego węzła, czyli liczbę
łuków, których dany węzeł jest początkiem (por. np . Deo 1980, s. 256).
10
Krotność grafu (multigrafu) jest to maksymalna liczba łuków paralelnych istniejących między
dwoma węzłami istniejących w danym grafie (por. Korzan 1978, s. 33).
Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu
83
Dowód. Twierdzenie 6 wynika z faktu, że krotność multigrafu wyznaczona jest przez
maksymalny stopień ze stopni wyjściowych poszczególnych węzłów tego multigrafu.
Ograniczenie tego maksymalnego stopnia do wartości m wynika zaś z twierdzenia 5.
Q.E.D.
3.4. TYPY STRUKTUR ELEMENTARNYCH
Definicja 1. Bazowym typem struktury elementarnej systemu rzeczywistego <X,Q,Y,
φ > nazywamy graf zbioru S ⊂ Q×Q, gdzie S jest zdefiniowane relacją (7), przy czym
parze qq' odpowiada łuk o początku q i końcu q'. Bazowy typ struktury będziemy
określali nazwą zbioru S.
Bazowy typ struktury elementarnej przedstawia więc unigraf nieoznaczony. Taki
graf ukazuje jedynie możliwe przejścia od stanu do stanu, nie pokazując
na ile możliwych sposobów takie bezpośrednie przejście między daną parą stanów może się realizować. Takie informacje zawarte są zaś w multigrafie, w którym krotność paralelnych łuków między daną parą węzłów qq' odpowiada liczbie
sposobów (wejść mogących oddziaływać na stan q) przejść od stanu q do stanu q'.
Taki multigraf nieoznaczony przedstawia właściwy, konkretny typ struktury danego
systemu. Stąd poniższa definicja:
Definicja 2. Typem struktury elementarnej systemu rzeczywistego <X, Q, Y, φ > nazywamy graf odpowiadający grafowi jego struktury elementarnej, którego łuki pozbawione zostały wag (x,y), zaś węzły etykiet11.
Przykład. Rozważmy dwa obiekty A i B o różnych strukturach elementarnych, ale tym
samym typie struktur.
Rys. 2. Struktury elementarne: a) obiektu A, b) obiektu B
__________
11
Pominięcie nazw węzłów (czyli ich etykiet) wynika z faktu, że zawsze można wzajemnie
jednoznacznie przyporządkować sobie elementy (np. poprzez przenumerowanie) równolicznych zbiorów
skończonych (tu: zbiorów węzłów), i to na wiele sposobów.
84
Jacek J. Nowak
Zauważmy dodatkowo, że struktury elementarne tego samego typu mogą się różnić
nie tylko zbiorami wejść czy wyjść, ale też tylko samą relacją między wejściami, stanami i wyjściami, co ilustruje rys. 3.
Rys. 3. Obiekt C o takich samych zbiorach X, Q i Y oraz typie struktury jak obiekt B.
Definicja 3. Rodziną struktury elementarnej danego systemu będziemy nazywać
graf odpowiadający grafowi struktury elementarnej tego systemu, pozbawiony oznaczeń (wag) łuków.
Faktem oczywistym jest, że na bazie danego zbioru stanów może powstać wiele
różnych rodzin struktur o takim samym typie struktury, a różniących się jedynie etykietami węzłów.
Definicja 4. Bazową rodziną struktury elementarnej danego systemu nazywamy
graf odpowiadający bazowemu typowi struktury tego systemu, ale z zachowaniem
etykiet węzłów.
Przykład. Rys. 4 ilustruje różnice między pojęciami wprowadzonymi powyższymi
definicjami.
Rys. 4. Ilustracja pojęć struktury elementarnej, bazowego typu struktury, bazowej rodziny struktury, typu
struktury i rodziny struktury
Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu
85
4. ELEMENTY DYSKUSJI12
Każdy warunek ogranicza poznawany system. Tak też jest z warunkami w postaci
własności niedopuszczalnych struktur systemów rzeczywistych, a stąd zbioru aksjomatów o własnościach tychże struktur. Jednakże celem tego nie było ograniczenie
naszych możliwości poznawczych, ale odgraniczenie od przedmiotu modelowania
struktur systemów nierzeczywistych.
Z drugiej strony, autor nie może być pewien, że zaproponowany układ własności
jest kompletny lub w pełni adekwatny do rzeczywistości. Np., w zależności od przyjętego punktu widzenia modelowania systemu, wydaje się, że możliwe byłoby dopuszczenie istnienia więcej niż jednego źródła. W takim przypadku należałoby zmodyfikować (lub odrzucić) aksjomat 5.
Z kolei w praktyce, człowiek lub zespół modelujący (poznający) nie jest Wszechwiedzącym. Może nie wyobrazić sobie wszystkich potencjalnych stanów, wejść i
wyjść lub możliwości osiągnięcia w danym systemie pewnych stanów. Zwłaszcza
dotyczy to sytuacji, które dopiero mogą zaistnieć w przyszłości. Być może w takim
przypadku, np. należałoby dopuścić istnienie izolowanych węzłów (stanów) – co stanowi wcześniej określoną własność niedopuszczalną. Ale czy jeszcze mamy w takim
przypadku do czynienia z systemem rzeczywistym, czy innym? Jakie systemy będziemy (należy) zaliczać do systemów „rzeczywistych”?
Innymi kwestiami są szczegóły kryjące się w koncepcji piątki (1) czy czwórki (2)
jako deterministycznej struktury wiążącej elementy pewnego wyróżnionego układu
wejść, stanów i wyjść.
Taką fundamentalną kwestią jest możliwość praktycznej reprezentacji (modelu)
systemu, który można przedstawić teoretycznie. Jeśli, np. w skład modelowanego
systemu wchodzą ludzie, to raczej nie da się tego systemu, podobnie jak pojedynczej
osoby, reprezentować modelem, który miałby podobnie deterministyczny charakter,
jak piątka (1). Sama bowiem liczba potencjalnych struktur mózgu człowieka, składającego się z około 100 miliardów neuronów, może być reprezentowana przez niewyobrażalną wielkość. Niektórzy szacują, że liczba potencjalnych układów połączeń
między neuronami mózgu przekracza kilkakrotnie szacunkową liczbę atomów, z jakich składa się znany nam Wszechświat...
Przynajmniej z tego względu, z powodu złożoności, a także z powodu naszej ograniczoności poznawczej w praktyce, systemy rzeczywiste jawią się nam jako systemy
zachowujące się w sposób niedeterministyczny.
Kolejną kwestią jest: co się kryje za „strzałkami” grafów reprezentujących struktury rzeczywiste, wejściami, wyjściami czy stanami. Mogą być one charakteryzowane
pojedynczymi wartościami (wielkościami lub własnościami jakościowymi) lub ukła__________
12
Autor wdzięczny jest w tym miejscu A. Balcerak, K. Góreckiemu i W. Kwaśnickiemu, których
wcześniejsze uwagi i spostrzeżenia przyczyniły się do powstania niniejszego podrozdziału.
86
Jacek J. Nowak
dami tych wartości (wielkości, własności). Ale często (być może zawsze, jeśli nie
jesteśmy na poziomie cząstek elementarnych) taka ich charakterystyka na początku
nie wystarczy, by struktura miała charakter deterministyczny. W rzeczywistości bowiem wejścia, stany, wyjścia i przejścia od stanu do stanu same są strukturami. Wtedy
należy, przynajmniej teoretycznie, zejść o szczebel abstrakcji niżej i skonkretyzować
wspomniane elementy pierwszej struktury jako też struktury.
Użyliśmy wyżej wyrażenia „przynajmniej teoretycznie”. Bo praca niniejsza ma
charakter teoretyczny. Co nie znaczy, że nie można z teoretycznych rozważań wyciągnąć wniosków praktycznych, nie tylko co do metodologii modelowania systemów.
Nie wymienionym bowiem osobno dalszym celem prac autora jest badanie różnych aspektów złożoności struktur systemów rzeczywistych, a na tej podstawie wyciąganie wniosków co do, np. zakresu delegacji uprawnień w strukturach zarządzania,
zakresu centralizacji i decentralizacji, efektywności systemowej przedsięwzięć itd.
Głębsze i szersze, bardziej kompletne reprezentowanie systemów gospodarczych –
w kierunku czego prowadzi koncepcja piątki (1) - może dać w rezultacie, jak w przypadku badań W. Bojarskiego [200] – niezależnych od pracy autora - nieoczekiwane
wyniki. Wyniki tych badań stawiają co najmniej pod znakiem zapytania sens i zasady
dotychczasowej polityki wobec nierentownych przedsiębiorstw. Dla gospodarki polskiej autor ten wykazał, m. in., że – wybieramy jedynie dwa z licznych wniosków:
1) „... skumulowane dochody publiczne, powodowane działalnością deficytowych
przedsiębiorstw są niekiedy wyższe, nawet parokrotnie wyższe, aniżeli wynosi ich
deficyt. Likwidacja więc tych przedsiębiorstw powoduje więc straty zarówno dla
ludności jak też dla budżetu i funduszy publicznych. Nie jest więc powszechną
prawdą, że należy likwidować deficytowe zakłady pracy, ani że utrzymywanie tych zakładów dokonuje się kosztem podatników i innych sektorów budżetowych” [Bojarski 2001, s. 315];
2) „... skumulowane dochody publiczne przy eksploatacji kopalni nierentownej są
wyższe niż przy eksploatacji kopalni rentownej (m. in. z powodu znacznie wyższych kosztów pracy, większych wpłat na fundusze ubezpieczeniowe, podatku od
dochodów osobistych i inne)” [Bojarski 2001, s. 143].
5. UWAGI KOŃCOWE
Określenie klasy grafów (struktur) dopuszczalnych, tj. takich, które mogą reprezentować własności struktur systemów rzeczywistych, to jedna z podstaw poprawnego modelowania i wnioskowania, np. za pomocą symulacji, o własnościach i zachowaniu rzeczywistych systemów przedmiotowych.
W niniejszej pracy zaproponowano zbiór aksjomatów określających warunki konieczne i dostateczne na to, aby daną strukturę (jej graf) uznać za strukturę dopuszczalną. W dalszym pracach skupimy się nad własnościami różnego rodzaju struktur
Struktury elementarne systemu przedmiotowego i jego modelu
87
dopuszczalnych, zwłaszcza tzw. struktur minimalnych, tj. struktur dopuszczalnych o
najmniejszej możliwej złożoności. Znając podstawowe własności struktur minimalnych uzyskamy pewną podstawę do wnioskowania, przynajmniej o części potencjalnych (i faktycznych) własności złożonych struktur rzeczywistych systemów przedmiotowych. Stanowić to powinno jeden z elementów wiedzy podstawowej przy
modelowaniu i symulacji systemów przedmiotowych.
Interesować nas też będzie szczególnie problem liczby (szerzej: kombinatoryka)
możliwych struktur, jakie mogą powstać na bazie zbiorów X, Q i Y o zadanych liczbach ich elementów, tj. m, n oraz p.
Problem ten ma podstawowe znaczenie, gdy przystępujemy do modelowania
struktur rzeczywistych (zwłaszcza gdy nic, albo niewiele co wiemy o rzeczywistych
relacjach), a następnie przy ocenie uproszczeń uczynionych w modelu i konsekwencji
z tego wynikających. Zwłaszcza dotyczy to wniosków wynikających z zastosowania
modelu do symulacji, prognozowania czy optymalizacji.
LITERATURA
BOJARSKI, W. 2001. Efektywność systemowa przedsięwzięć gospodarczych. Wyd. Wyższej
Szkoły Zarządzania i Przedsiębiorczości im. B. Jańskiego, Warszawa.
DEO, N. 1980. Teoria grafów i jej zastosowania w technice i informatyce. PWN, Warszawa.
FELLER, W. 1987. Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Tom I. PWN, Warszawa.
HARARY, F.; NORMAN, R.Z.; CARTWRIGHT, D. 1965. Structural Models: An Introduction to the
Theory of Directed Graphs. J. Wiley, New York.
KORZAN, B. 1978. Elementy teorii grafów i sieci. Metody i zastosowania. WN-T, Warszawa.
KULIKOWSKI, J.L. 1986. Zarys teorii grafów. Zastosowania w technice. PWN, Warszawa.
NOWAK, J. 1987. Struktury elementarne systemów rzeczywistych; [w:] Badanie, z wykorzystaniem systemu MIZAR, teorii struktur dyskretnych jako podstawy teorii struktur ekonomicznych (red. K. Rey), RPBP III.24/C.5, Białystok-Warszawa. (Część V, Rozdz. II)
NOWAK, J.J. 2000. O istotnym ograniczeniu regresji wielorakiej jako modelu symulacyjnego;
[w:] Symulacja Systemów Gospodarczych. Prace Szkoły Antałówka’2000. WSPiZ oraz Politechnika Wrocławska, Warszawa.
NOWAK, J.J. 2001. O strukturze modelu symulacyjnego; [w:] Symulacja Systemów Gospodarczych. Prace Szkoły Antałówka’2001. WSPiZ oraz Politechnika Wrocławska, Warszawa.
WILSON, R.J. 1985. Wprowadzenie do teorii grafów. PWN, Warszawa.
ZEIGLER, B.P. 1984. Teoria modelowania i symulacji. PWN, Warszawa.