Matematyka Matematyka Dyskretna Lista 2 1. Które z podanych par

Matematyka
Matematyka Dyskretna
Lista 2
1. Które z podanych par grafów są izomorficzne? Podaj odpowiedni izomorfizm lub udowodnij nieizomorficzność grafów.
a
1
1
5
b
4
a
2
5
b
e
6
f
e
7
8
c
3
2
d
G1
3
G2
c
d
G1
(1)
g
h
4
G2
(2)
a
1
7
2
g
5
6
a
b
4
2
5
e
d
G1
1
b
f
e
f
4
3
c
G2
c
6
3
G1
(3)
d
G2
(4)
b
1
2
e
5
a
6
c
6
5
g
f
7
8
1
a
2
b
d
4
3
4
h
G1
c
3
G2
d
G1
(5)
G2
(6)
Figure 2.
2. Sprawdź, które z grafów podanych w poprzednim zadaniu są dwudzielne.
3. Wskaż automorfizmy (izomorfizmy grafu w siebie) dla następujących grafów:
1
2
3
4
1
5
2
7
3
3
5
6
G1
4
6
1
8
2
4
5
6
G2
G3
1
e
f
4. Na ile różnych sposobów można zaetykietować następujące grafy: Kn , Pn , K1,4 , K1,4 + e?
5. Pokazać, że jeżeli w grafie T każde dwa wierzchołki są połączone dokładnie jedną drogą, to T nie
zawiera cyklu i dla dowolnej krawędzi e ∈ E(T ), T + e zawiera dokładnie jeden cykl.
6. Wykazać, że las T mający k składowych spójności posiada |V (T )| − k krawędzi.
7. Narysować wszystkie 3, 4 wierzchołkowe drzewa
(a) niezaetykietowane, (b) zaetykietowane.
8. Obliczyć, ile spośród n-wierzchołkowych drzew zaetykietowanych zbiorem [n] posiada:
(a) wierzchołek stopnia n − 1,
(b) wierzchołek stopnia n − 2,
(c) wszystkie wierzchołki stopnia 1 lub 2.
9. Znaleźć kod Prüfera dla drzewa T = (V, E), jeżeli:
(a) V = [10], E = {{1, 5}, {1, 6}, {1, 7}, {1, 9}, {2, 6}, {3, 6}, {4, 6}, {4, 8}, {4, 10}},
(b) V = [9], E = {{1, 3}, {1, 5}, {1, 8}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {3, 9}}.
10. Znaleźć drzewa o podanych kodach Prüfera:
(a) (4, 5, 2, 6, 4, 4, 2, 4), (b) (3, 3, 4, 4, 9, 9, 6, 6, 4, 2, 6, 9, 4).
11. Dany jest graf G = (V, E), gdzie V = [5], E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}}:
(a) narysować wszystkie drzewa rozpinające tego grafu,
(b) wyznaczyć zbiór cykli fundamentalnych i przekrojów (kocykli) elementarnych związanych z wybranym drzewem rozpinającym,
(c) wygenerować wszystkie cykle i przekroje grafu G,
(d) wyznaczyć liczbę cyklomatyczną µ(G) oraz liczbę kocyklomatyczną µ∗ (G).
12. Znaleźć BFS-, DFS-lasy rozpinające grafów G1 , G2 przedstawionych na rysunku poniżej oraz grafów
danych w zadaniu 1 (Lista nr 1).
4
1
3
8
2
3
6
1
2
6
4
5
7
5
G1
G2
Rysunek.
2