Układy równań liniowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Układy równań liniowych.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład VI)
Układy równań liniowych
DEFINICJA Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1 , x2 , . . . , xn ,
układ równań postaci:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn =



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn =
..
..
..
..

.
.
.
.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn =
gdzie m ∈ N oraz n ∈ N, nazywamy
b1
b2
..
.
bm ,
gdzie aij ∈ R oraz bi ∈ R dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Macierzowa postać układu równań liniowych
Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie

a11
 a21

A= .
 ..
a12
a22
..
.
...
...
..
.

a1n
a2n 

..  ,
. 
am1
am2
...
amn


x1
 x2 
 
X =  . ,
 .. 

b1
 b2 
 
B =  . .
 .. 
xn

bm
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych, macierz X macierzą (kolumną) niewiadomych, zaś
macierz B macierzą (kolumną) wyrazów wolnych.
Rozwiązalność liniowego układu równań
DEFINICJA Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy ciąg (x1 , x2 , . . . , xn ) liczb rzeczywistych spełniających ten układ.
Układ równań liniowych może
— mieć dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony, układ równań niezależnych),
— mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony, układ równań zależnych),
— nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).
Kwadratowe układy równań
Niech macierz główna A liniowego układu równań będzie macierzą kwadratową.
TWIERDZENIE (CRAMERA)
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa.Rozwiązanie
to dane jest następującymi wzorami Cramera:

1
x1 = detA

detA


 x2 = detA2
detA
,
..

.



n
xn = detA
detA
gdzie macierz Ai otrzymujemy z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Kwadratowe układy równań – cd.
Jeżeli macierz główna układu jest osobliwa, to
— jeśli detA1 = detA2 = · · · = detAn = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
— w przeciwnym przypadku (detA1 6= 0 lub detA2 6= 0 lub . . . lub detAn 6= 0 ) układ jest sprzeczny.
1
Prostokątne układy równań
DEFINICJA Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny stopień nieosobliwej podmacierzy macierzy A.
Macierz rozszerzona układu równań jest to macierz powstała z macierzy głównej układu równań poprzez dopisanie
do niej kolumny wyrazów wolnych.
TWIERDZENIE (Kroneckera–Capellego)
Układ równań liniowych ma co najmniej jedno rozwiązanie, jeśli rząd r macierzy tego układu A jest równy rzędowi
macierzy rozszerzonej [A|B]. Wówczas jeżeli r jest równe liczbie niewiadomych n, to układ ma dokładnie jedno
rozwiązanie, zaś jeśli r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n − r parametrów.
Jeżeli rzędy powyższych macierzy są różne, to układ jest sprzeczny.
Jednorodne układy równań
DEFINICJA Układ równań nazywamy jednorodnym, gdy kolumna wyrazów wolnych jest macierzą zerową.
UWAGA Jednorodny układ równań ma zawsze rozwiązanie. Jest to rozwiązanie zerowe.
TWIERDZENIE (wniosek z tw. Cramera)
Kwadratowy jednorodny układ równań ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy macierz główna tego
układu jest osobliwa.
2