ABCF - Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Metody matematyczne w informatyce – laboratorium
Wstęp do programu Excel pod kątem obliczeń numerycznych.
Rozwiązywanie nieliniowych równań algebraicznych.
Rozwiązywanie układów równań liniowych (2 godziny)
Program laboratorium obejmuje następujące zagadnienia:
• Reprezentacja danych numerycznych, adresowanie względne, bezwzględne i mieszane, formuły
1. Z jaką dokładnością Excel przechowuje dane numeryczne (ile jest cyfr znaczących)? Jak
ustawić ilość wyświetlanych
miejsc znaczących? Sprawdź to na przykładzie obliczenia war√
tości liczby π i 2 (pomocne funkcje Excela: PI() oraz PIERWIASTEK()).
2. Sporządzić tabelę konwersji temperatury ze skali Fahrenheita na skalę Celcjusza od 50F do
500F z krokiem co 50F. Wskazówka - wykorzystać możliwość tzw. wypełniania serii danych
(menu Edycja→Wypełnij→Serie danych) oraz wzór na konwersję C = 59 (F − 32), gdzie F
– wielkość w Fahrenheitach, C – wielkość w stopniach Celcjusza.
3. Wykorzystując odpowiednie adresowanie mieszanie oraz kopiowanie formuł sporządzić tabliczkę mnożenia dla liczb naturalnych od 1 do 15.
• Funkcje logiczne i warunkowe
4. Sporządzić tablice prawdy dla funkcji logicznych AND, OR, NOT oraz XOR (wskazówka a XOR b = āb + ab̄, przydatne funkcje Exela - NIE(), LUB(), ORAZ())
5. Pokazać za pomocą tabeli prawdy i przy użyciu funkcji logicznych, że dla poniższego układu
logicznego na wyjściu F otrzymujemy 1 tylko wtedy, gdy na wejściach jest więcej 1 niż 0. Jak
to pokazać, używając jedynie funkcji warunkowej IF (funkcja Excela o nazwie JEŻELI())?
F
A
B
C
• Znajdowanie pierwiastków algebraicznych równań nieliniowych (przy użyciu narzędzia Goal Seek
– Szukaj wyniku)
6. Znaleźć pierwiastki równania kwadratowego 2x2 − 5x − 12 = 0 dla przybliżenia początkowego x1 = 0 oraz x2 = 3. Czym wyjaśnić fakt, że rozwiązanie zależy od przybliżenia
początkowego? Pomocne będzie narysowanie wykresu wielomianu w zakresie x ∈ [−3, 5]
√ √ √
√
7. Znaleźć przybliżenia wielkości 2, 3 8, 3 20. Wskazówka – n c, c ∈ R+ jest rozwiązaniem
równania nieliniowego xn − c = 0.
8. Znaleźć pierwiastki równania e−x = sin(x) dla przybliżenia początkowego x1 = 1 oraz
x2 = 2, 5. Pomocne będzie narysowanie wykresu równania w zakresie x ∈ [0, 4]
1
• Funkcje tablicowe. Należy zapoznać się ze sposobem użycia funkcji tablicowych Excela:
WYZNACZNIK.MACIERZY(tablica) (zwraca skalar - wyznacznik danej macierzy),
MACIERZ.ODW(tablica) (zwraca macierz odwrotną),
MACIERZ.ILOCZYN(tablica1;tablica2) (zwraca iloczyn macierzy).
9. Obliczyć wyznaczniki oraz odwrotności macierzy A, B i C. Dlaczego nie można obliczyć odwrotności macierzy C ? Policzyć iloczyny macierzy AC oraz CA i sprawdzić przemienność
mnożenia macierzowego. Sprawdzić,
że A−1 A = I, gdzie I oznacza macierz jednostkową

1 2
1
1 2
1 2


5
A=
B= 3 4
C=
3 4
2 4
1 5 10
10. Dokonać mnożenia macierzy i wektora AB. Czy da się wykonać mnożenie BA ? Pomnożyć
wektory CB – wynikiem jest skalar; jaką operację właśnie wykonano? Czy da się wykonać
mnożenie
BC ? – jeśli

 tak, to jakiego

rozmiaru macierz wynikową otrzymamy?
1 2
1
1
5 
A= 3 4
B= 2 
C= 1 2 3
1 5 10
3
• Rozwiązywanie układów równań liniowych
Układ równań liniowych w postaci:
x
3x
+
2y
4y
=
=
-1
17
można zapisać macierzowo w postaci:
1
3
-2
4
x
y
=
-1
17
i dalej ogólnie: AX = B, gdzie A – macierz układu, X – wektor niewiadomych, B – wektor
wyrazów wolnych.
Rozwiązanie takiego układu równań można otrzymać używając zależności:
X = A−1 B
11. Bazując na powyższej zależności oraz poznanych funkcjach tablicowych Excela rozwiązać
poniższe układy równań liniowych:
x
3x
+
2y
4y
=
=
-1
17

 2x
3x

4x
+
-
3y
2y
y
+
+
2z
2z
3z
=
=
=
15
-2
2
Sprawdzić przez podstawienie poprawność otrzymanego rozwiązania.
2