a1=3, a2=3 , a3=3 , … , a100=3 = = 3 = 3 = 3 = 3 − 1

Zadanie
Wykaż że liczba 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3100 jest podzielna przez 6.
Rozw.1.
Daną liczbę można potraktować jak sumę stu wyrazów ciągu geometrycznego,
w którym pierwszy wyraz jest równy 3, liczba wszystkich jego wyrazów wynosi
100, a iloraz ciągu jest równy 3:
a1=3, a2=32, a3=33, … , a100=3100
‫=ݍ‬
ܽଶ ܽଷ ܽସ
ܽଵ଴଴
=
=
=⋯
=3
ܽଵ ܽଶ ܽଷ
ܽଽଽ
ܵଵ଴଴ = ܽଵ
ଵି௤೙
ଵି௤
=3
ଵିଷభబబ
ଵିଷ
=3
ଷభబబ ିଵ
ଶ
=3
(ଷఱబ )మ ିଵమ
ଶ
=3
൫ଷఱబ ିଵ൯(ଷఱబ ାଵ)
ଶ
Liczba ܵଵ଴଴ jest liczbą naturalną. Jednym z czynników tej liczby jest 3, więc
jest ona podzielna przez 3. Iloczyn w liczniku jest iloczynem dwóch liczb
parzystych (ܵଵ଴଴ jest liczbą nieparzystą, więc zarówno liczba ܵଵ଴଴ − 1 , jak
i liczba ܵଵ଴଴ + 1 jest parzysta. Iloczyn tych liczb dzieli się więc przez 4.
Zatem liczba dzieli się przez 2.
Liczba 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3100 dzieli się przez 3 i dzieli się przez 2. Musi się
więc dzielić przez 6.
Rozw.2.
3+32+33+34+…+3100=3(1+3+32+33+…+399) – ponieważ w iloczynie jest liczba 3, więc cała
liczba jest podzielna przez 3.
3+32+33+34+…+3100= 3(1+3) + 33(1+3) + 35(1+3) + … + 399(1+3) = 4(3 + 33 + 35 + … + 399) –
ponieważ w iloczynie jest 4 to liczba jest podzielna przez 2.
Liczba 3+32+33+34+…+3100 jest podzielna przez 2 i 3 więc jest podzielna przez 6