ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH DLA

ZESTAW WYBRANYCH
WZORÓW MATEMATYCZNYCH
DLA ARKUSZA PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO
Ciàgi
Trygonometria
Funkcje trygonometryczne
Ciàg arytmetyczny
Wzór na n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego
Funkcja
a n = a1 + ^ n - 1h r
Suma
S n = a1 + a2 + f + a n - 1 + a n
Wzór na sum´ n poczàtkowych wyrazów ciàgu arytmetycznego
Sn =
2
7 2a1 + ^ n - 1h r A $ n
=
2
f ^ x h = sin x
f ^ x h = cos x
R
-1; 1
R
-1; 1
f ^ x h = tg x R & x : x = r + kr i k ! C 0
R
2
f ^ x h = ctg x R " x : x = k $ r i k ! C ,
R
2
an - 1 + an + 1 an - k + an + k
=
2
2
dla 0
<k<nin H2
> 0;
ciàg jest malejàcy, gdy r
ciàg jest sta∏y, gdy r
Suma
, dla
r
2
sin a + cos a = 1 (jedynka trygonometryczna)
sin a = 1 , gdy cos a ! 0 i sin a ! 0
tg a = cos
a ctg a
sin 2a = 2 sin a cos a
= 0.
2
2
2
2
cos 2a = cos a - sin a = 1 - 2 sin a = 2 cos a - 1
Funkcje trygonometryczne sumy i ró˝nicy kàtów
sin ^ a + b h = sin a cos b + cos a sin b
Wzór na n–ty wyraz ciàgu geometrycznego
a n = a1 $ q
r
Funkcje podwojonego kàta
< 0;
Ciàg geometryczny
n-1
2r
2r
ctg a = cos a = tg1a , gdy sin a ! 0 i cos a ! 0
sin a
tg a $ ctg a = 1, gdy sin a ! 0 i cos a ! 0
MonotonicznoÊç:
ciàg jest rosnàcy, gdy r
podstawowy
Zwiàzki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kàta
W∏asnoÊci ciàgu arytmetycznego
an =
Okres
f
rzeczywistej
n poczàtkowych wyrazów ciàgu arytmetycznego
^ a1 + a n h $ n
D
Df
zmiennej
cos ^ a + b h = cos a cos b - sin a sin b
nH2
n poczàtkowych wyrazów ciàgu geometrycznego
S n = a1 + a2 + f + a n - 1 + a n
sin ^ a - b h = sin a cos b - cos a sin b
cos ^ a - b h = cos a cos b + sin a sin b
ParzystoÊç i nieparzystoÊç funkcji trygonometrycznych
Wzór na sum´ n poczàtkowych wyrazów ciàgu geometrycznego
Zn $ a, gdy q = 1
]]
n
S n = [ a1a1 - q k
]]
, gdy q ! 1
1-q
\
cos ^ - x h = cos x
tg ^ - x h = - tg x
ctg ^ - x h = - ctg x
Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych çwiartkach
W∏asnoÊci ciàgu geometrycznego
a n = a n + 1 $ a n - 1 = a n + k $ a n - k, dla 0 < k < n i n H 2
MonotonicznoÊç:
> 1 i a1 > 0) lub (q ! ^0; 1h i a1 < 0)
ciàg jest malejàcy, gdy (q > 1 i a1 < 0) lub (q ! ^ 0; 1h i a1 > 0)
ciàg jest rosnàcy, gdy (q
ciàg jest sta∏y, gdy q
sin ^ - x h = - sin x
= 1 lub a1 = 0
I
II
III
IV
sin a
+
+
–
–
cos a
+
–
–
+
tg a
+
–
+
–
ctg a
+
–
+
–
Tabela wartoÊci funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kàta
x
0
0c
Procent sk∏adany
k z∏o˝ymy w banku na n lat, a oprocentowanie
p% w skali roku, to kapita∏ koƒcowy k n mo˝na obliczyç
p
100 n
n
r
3
60c
r
2
90c
0
1
2
2
2
3
2
1
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
tg x
0
3
3
1
3
nie istn.
ctg x
nie istn.
3
1
3
3
0
za pomocà wzoru:
k n = k d1 +
r
4
45c
sin x
Je˝eli kapita∏ poczàtkowy
lokat wynosi
r
6
30c
Geometria analityczna
Równoleg∏obok:
D∏ugoÊç odcinka o koƒcach w punktach
A = ^ x A ; y A h, B = ^ x B ; y B h dana jest wzorem:
AB = ^ x B - x A h + ^ y B - y A h
Wspó∏rz´dne Êrodka odcinka AB:
x +x y +y
e A 2 B ; A 2 B o.
2
Y
B = (xB; yB)
2
.
A = (xA; yA)
O
2
Y
Ax + By + C = 0,
y = ax + b
2
A + B ! 0 (tj. wspó∏czynniki A, B nie sà
b
równoczeÊnie równe 0).
Je˝eli prosta nie jest równoleg∏a do osi OY , to
ma ona równanie kierunkowe: y = ax + b
a
Liczba a to wspó∏czynnik kierunkowy prostej:
O
X
a = tg a.
Prosta przechodzàca przez dwa dane punkty A = ^ x A ; y A h, B = ^ x B ; y B h
jest wyra˝ona równaniem: ^ y - y A h^ x B - x A h - ^ y B - y A h^ x - x A h = 0.
gdzie
Prosta i punkt
Odleg∏oÊç punktu P
dana jest wzorem:
= ^ x 0 ; y0 h od prostej o równaniu Ax + By + C = 0
Ax 0 + By0 + C
2
A +B
2
d
a
a
Deltoid:
A
AC $ BD
P=
2
Obw. = 2 a + 2 b
b
D
a
D
C
b
gdzie c
=a +b -r
2
2
lub
y = a1 x + b1 i y = a2 x + b2
to
2
r
S
D
A
C
r
S
Dla okr´gu opisanego na czworokàcie (wielokàcie):
D
]A + ]C = ]B + ]D ^ = 180ch
to odpowiednio:
(sumy miar przeciwleg∏ych kàtów sà równe).
A
2
Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów
2
x + y - 2ax - 2by + c = 0,
Dany jest trójkàt:
a) Twierdzenie sinusów (Snelliusa):
Stosunek d∏ugoÊci boków do sinusów kàtów przeciwleg∏ych jest sta∏y i równy
Êrednicy okr´gu opisanego na trójkàcie:
> 0.
A = ^ x1 , y1h, B = ^ x 2 , y 2 h oraz k ! R, to
AB = 6 a, b @, CD = 6 c, d @,
a
b
a
A
c
B
Z 2
2
2
] a = b + c - 2 b c cos a
] 2
2
2
ków i cosinusa kàta zawartego mi´dzy nimi: [ b = a + c - 2 a c cos b
] 2
] c = a 2 + b 2 - 2 a b cos c
\
Pola i obwody wybranych figur p∏askich
1 Obw.
2
Twierdzenie Pitagorasa
C
Trójkàt:
c $ hc
P=
2
1
P = b $ c sin a
2
P = r p (r – promieƒ okr´gu wpisanego w trójkàt)
P = a b c (R – promieƒ okr´gu opisanego na trójkàcie)
4R
Obw. = a + b + c
c
b
b) Twierdzenie cosinusów (Carnota):
Kwadrat d∏ugoÊci dowolnego boku jest równy sumie kwadratów d∏ugoÊci
pozosta∏ych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn d∏ugoÊci tych bo-
Planimetria
p _ p - a i_ p - b i_ p - c i
C
a = b = c = 2R
sin a sin b sin c
Oznaczenia: P – pole powierzchni, Obw. – obwód, p =
C
r
S
B
AB + CD = 6 a + c, b + d @, AB - CD = 6 a - c, b - d @
P=
C
B
AB = 7 x 2 - x1 , y 2 - y1 A = 6 x, y @, k $ AB = 6 kx, ky @
JeÊli
a
Ko∏o:
P = rr
Obw. = 2 r r (d∏ugoÊç okr´gu)
(sumy d∏ugoÊci przeciwleg∏ych boków sà
równe).
Rachunek wektorowy
JeÊli
a
B
Równanie okr´gu o Êrodku w punkcie ^ a; b h i promieniu r:
2
b
B
Równanie okr´gu
2
b
A
a
AD + BC = AB + DC
A1 x + B1 y + C 1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 = 0
– sà równoleg∏e, gdy A1 B2 - A 2 B1 = 0,
– sà prostopad∏e, gdy A1 A 2 + B1 B2 = 0.
2
B
Dla okr´gu wpisanego w czworokàt (wielokàt):
Je˝eli proste dane sà równaniami w postaci ogólnej:
2
C
ha
c
– sà równoleg∏e, gdy a1 = a2,
– sà prostopad∏e, gdy a1 a2 = -1.
^ x - ah + ^ y - bh = r
B
b
D
A
b
a
Twierdzenie o wykonalnoÊci
.
Para prostych
Dwie proste, o równaniach kierunkowych
A
C
{
ha
a
Trapez:
Prosta
Równanie ogólne prostej:
b
P = a + b $ ha
2
P = a + b $ c sin a
2
Obw. = a + b + c + d
X
a
D
P = a $ ha
P = a b sin a
AC $ BD
P=
sin {
2
Obw. = 2 a + 2 b
Odcinek
C
c
b
A
a
b
a
hc
c
a
hc
b
a
b
B
A
c
B
Suma kwadratów d∏ugoÊci przyprostokàtnych jest równa kwadratowi d∏ugoÊci przeciwprostokàtnej:
2
2
a +b =c
2
Stereometria
Rachunek algebraiczny
Oznaczenia
WartoÊç bezwzgl´dna liczby
P – pole powierzchni ca∏kowitej
Pp – pole podstawy
WartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej
Pb – pole powierzchni bocznej
V
x definiujemy wzorem:
x dla x H 0
x =*
.
- x dla x < 0
Liczba
– obj´toÊç
x
jest to odleg∏oÊç na osi liczbowej punktu
W szczególnoÊci:
Prostopad∏oÊcian
H
P = 2 ^ ab + bc + ac h
V = abc,
gdzie a, b, c sà d∏ugoÊciami kraw´dzi
G
E
x H 0, - x = x .
y mamy:
Dla dowolnych liczb x,
x$y = x $ y.
x+y G x + y,
x-y G x + y,
x
x
.
Ponadto, jeÊli y ! 0, to y =
y
F
c
x od punktu 0.
prostopad∏oÊcianu.
D
C
b
a
A
Pot´gi i pierwiastki
Niech n b´dzie liczbà ca∏kowità dodatnià. Dla dowolnej liczby
a
definiujemy jej n-tà pot´g´:
B
n
a = a $\
f $ a.
n razy
Graniastos∏up prosty
Pb = 2p $ h
I
J
a stopnia n z liczby a H 0 nazywamy
n
b takà, ˝e b = a.
Je˝eli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczb´ b takà,
n
˝e b = a.
Pierwiastkiem arytmetycznym
liczb´
V = Pp $ h,
H
gdzie 2p jest obwodem podstawy
F
G
graniastos∏upa.
E
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejà.
h
D
m, n b´dà liczbami ca∏kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
-n
0
1
dla a ! 0: a = n oraz a = 1,
a
m
m
-m
1 .
dla a H 0: a n = n a , dla a > 0: a n =
m
n
a
Niech
C
A
B
Ostros∏up
S
V = 1 Pp $ h,
3
gdzie h jest wysokoÊcià ostros∏upa.
n
Niech r, s b´dà dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeÊli a
zachodzà równoÊci:
r
E
s
a $a =a
h
D
A
B
r
,
^ a $ bh = a $ b
r
r
C
aa k = a
r+s
r
s
a = a r - s,
s
a
,
r
r
Je˝eli wyk∏adniki r,
r
r$s
b ab l = a r .
b
,
> 0 i b > 0, to
s sà liczbami ca∏kowitymi, to powy˝sze wzory
a ! 0, b ! 0.
obowiàzujà dla wszystkich liczb
Walec
Wzory skróconego mno˝enia
Pb = 2rrh
Z dwumianu Newtona dla
P = 2rr ^ r + h h
2
V = rr h,
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysokoÊcià walca.
^ a + b h = a + 2ab + b
2
^ a + b h = a + 3a b + 3ab + b
3
^ a - b h = a - 2ab + b
2
,
^ a - b h = a - 3a b + 3ab - b
3
a - b = ^ a - b h^ a + b h,
a - b = ^ a - b ha a + ab + b k,
2
h
2
O
r
2
S
Pb = rrl
l
h
2
2
,
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
Logarytmy
Prawa dzia∏aƒ na logarytmach
O
r
Kula
log a ^ b1 $ b2 h = log a b1 + log a b2, gdy b1, b2 ! R + i a ! R + "1,
b
log a 1 = log a b1 - log a b2, gdy b1, b2 ! R + i a ! R + "1,
b2
log a b = m $ log a b, gdy b ! R +, a ! R + "1, i m ! R
log a n b = 1n log a b, gdy b ! R +, a ! R + "1, i n ! N " 0, 1,
log c b
log a b =
, gdy b ! R + i a, c ! R + "1,
log c a
log a b = 1 , gdy a, b ! R + "1,
log b a
m
2
P = 4rr
3
V = 4 rr ,
3
gdzie r jest promieniem kuli.
2
a + b = ^ a + b ha a - ab + b k
3
Sto˝ek
P = rr ^ r + l h
2
V = 1 rr h,
3
gdzie r jest promieniem podstawy,
h – wysokoÊcià,
l – d∏ugoÊcià tworzàcej sto˝ka.
n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych
liczb a, b:
O
r
,
.
Kombinatoryka
Funkcje
Permutacje
Funkcja i jej w∏asnoÊci
Liczba sposobów, w jaki
równa
n H 1 elementów mo˝na ustawiç w ciàg, jest
n!.
n elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy
k ^1 G k G n h ró˝nych wyrazów, jest równa
n! .
n $ ^ n - 1h $ f $ ^ n - k + 1h =
^n - kh!
Liczba sposobów, w jaki z
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, w jaki z
si´ z
x1 , x2 ! D f 1
1
Wariacje bez powtórzeƒ
si´ z
/ x < x 2 & f ^ x1 h < f ^ x 2 h
/ x < x 2 & f ^ x1 h > f ^ x 2 h
Funkcja malejàca:
x ,x !D 1
/ x < x 2 & f ^ x1 h H f ^ x 2 h
Funkcja nierosnàca:
x ,x !D 1
/ x < x 2 & f ^ x1 h G f ^ x 2 h
Funkcja niemalejàca:
x ,x !D 1
Funkcja ograniczona: 0 / f ^ x h G M
M !R x!D
Funkcja parzysta: / 8 - x ! D f / f ^ - x h = f ^ x h B
x!D
Funkcja nieparzysta: / 8 - x ! D f / f ^ - x h = - f ^ x h B
x!D
Funkcja rosnàca:
2
1
f
2
1
f
2
f
f
f
n elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy
f
k
k niekoniecznie ró˝nych wyrazów, jest równa n .
Funkcja kwadratowa
Kombinacje
a) Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) jest to funkcja
n elementów mo˝na wybraç
n
k ^ 0 G k G n h elementów, jest równa e o.
k
Liczba sposobów, w jaki spoÊród
Rachunek prawdopodobieƒstwa
Klasyczna definicja prawdopodobieƒstwa
Niech X b´dzie skoƒczonym zbiorem wszystkich zdarzeƒ elementarnych.
Je˝eli zajÊcie ka˝dego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieƒstwo zajÊcia zdarzenia
A
P ^ Ah =
X
gdzie
zbioru
A 1 X jest równe
postaci y = ax + bx + c, x ! R, a ! R # 0 -, b, c ! R.
2
Uwaga: Gdyby a = 0, to funkcja by∏aby liniowa: y = bx + c.
2
b) Wyró˝nik trójmianu kwadratowego to liczba Δ = b - 4ac.
c) Dziedzina i zbiór wartoÊci funkcji kwadratowej:
Df = R
Z
] - Δ ; + 3 o dla a > 0
] 4a
YW = [
] d - 3; - Δ dla a < 0
]
4a
\
d) Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola:
,
A oznacza liczb´ elementów zbioru A, zaÊ X
X.
Y
Y
liczb´ elementów
Δ
– ––
4a
W∏asnoÊci prawdopodobieƒstwa
0 G P ^ A h G 1 dla ka˝dego zdarzenia A 1 X
P ^ X h = 1, X – zdarzenie pewne
P ^ Q h = 0, Q – zdarzenie niemo˝liwe (pusty podzbiór X)
P ^ A h G P ^ B h, gdy A 1 B 1 X
P ^ A , B h = P ^ A h + P ^ B h - P ^ A + B h dla dowolnych zdarzeƒ
A, B 1 X, zatem P ^ A , B h G P ^ A h + P ^ B h dla dowolnych zdarzeƒ
A, B 1 X.
W
Δ
– ––
4a
lub
b
– ––
2a
dla a > 0
(ramiona ku górze)
X
dla a < 0
(ramiona w dó∏)
Istnienie miejsc zerowych
Liczba miejsc zerowych
Δ>0
Dwa miejsca zerowe
x1 =
Zdarzenia niezale˝ne
A 1 X i B 1 X sà niezale˝ne, gdy P ^ A + B h = P ^ A h $ P ^ B h.
b
– ––
2a
X
Istniejà.
Zdarzenia
W
Δ=0
-b - Δ
-b + Δ
; x2 =
.
2a
2a
Jedno miejsce zerowe
ozn.
x1 = x 2 = x 0
x0 = - b _ = p i
2a
Prawdopodobieƒstwo warunkowe
A, B 1 X b´dà zdarzeniami, przy czym P ^ B h > 0.
P ^ A | B h zajÊcia zdarzenia A
pod warunkiem, ˝e zasz∏o zdarzenie B, nazywamy liczb´:
P ^ A + Bh
P ^ A | Bh =
.
P ^ Bh
Niech
Prawdopodobieƒstwem warunkowym
Δ<0
b
x1 + x 2 + x 3 + f + x n 1 n
= n ! x i,
n
i =1
gdzie x i – to i-ta obserwacja, i
H 0 (istniejà miejsca zerowe)
c
suma: x1 + x 2 = - a , iloczyn: x1 $ x 2 = a
Elementy statystyki opisowej
Ârednia arytmetyczna zwyk∏a n liczb: x1 , x 2 , x 3 , f, x n to liczba:
x=
˚adnych miejsc zerowych
Wzory Vi¯te’a
Za∏o˝enie: Δ
Wówczas:
Statystyka
Nie istniejà.
! #1, 2, 3, f, n -, n – liczba obserwacji.