zobacz

GEODEZJA
WYKŁAD
Rachunek współrzędnych
Katedra Geodezji im. K. Weigla
ul. Poznańska 2/34
Metody obliczeń geodezyjnych stosowane do obliczenia
współrzędnych:
- punktów osnów geodezyjnych,
- punktów charakterystycznych szczegółów terenowych przy
aktualizacji map gospodarczych,
- punktów obiektów przy wyznaczaniu kształtu lub zmian ich
kształtu (przemieszczeń i odkształceń budowli),
- punktów projektowanych budowli przy opracowaniu
geodezyjnym projektów zagospodarowania terenu,
- punktów obiektów przy inwentaryzacji powykonawczej i
pomiarach kontrolnych.
Punkt P2 na prostej (koniec odcinka)
x2  x1  d cos 12
y2  y1  dsin 12
d  x  y
2
12
2
y
 arctg ( )  r
x
Oznaczenia:
d – długość odcinka P1 P2 ,
1-2 – azymut odcinka P1 P2 ,
x, y – przyrosty (różnice) współrzędnych:
x1-2 = x2 – x1,
y1-2 = y2 – y1 ,
r – składnik redukcyjny zależny od orientacji odcinka, (ćwiartki układu
współrzędnych):
x  0 i y>0
r = 0,
II. x  0 i y>0
r=
III. x  0 i y<0
r = ,
IV. x  0 i y<0
r = 2
I.
Azymut odcinka i azymut odwrotny:
2-1 = 1-2 ± 
1-2 = 2-1 ± 
W jednostkach miary stopniowej  = 180 o, gradowej  = 200 g,
Obliczenie kąta:
P2
 = 1-3 -  1-2
 1-2

1-3
P3
P1
Kąt poziomy  jako różnica azymutów odcinków.
Punkty na prostopadłej:
PL :
xL = x1 + bL cos 1-2 + dL sin 1-2
X
PL
dL
bP
bL
P1
P2
dP
PP
yL = y1 + bL sin 1-2 - dL cos 1-2
PP :
xP = x1 + bP cos 1-2 - dP sin 1-2
yP = y1 + bP sin 1-2 + dP cos 1-2
Y
bP, dP – miara bieżąca i domiar prostokątny punktu PP
Zasady obliczania wcięcia kątowego w przód
 A-P =  A-B – A
X
d A-B = [(xB – xA)2 + (yB – yA )2]1/2
P
 A-P
A
d A-P = (dAB sin B)/sin(A +B)
xP = xA +dAP cos A-P
A
d A-B
yP = yA + dAP sin A-P
B
B
Y
 A-P – azymut kierunku wcinającego
AB – baza wcięcia
Zasady obliczania wcięcia liniowego w przód
A-P = A-B – A
X
d A-B = [(xB – xA)2 + (yB – yA )2]1/2
P
 A-P
dA-P
A
A
dA-B
cos(A) = (d2A-B+ d2A-P- d2B-P)/(2dA-B dA-B )
xP = xA +dA-P cos A-P
dB-P
B
yP = yA + dA-P sin A-P
B
Y
dA-P, dB-P – długości odcinków (z pomiaru)
A , B - wartości kątów poziomych (obliczone)
Obliczenie wcięcia wstecz:
d 12 
X

S-P1
S
2
2
ctg  = (d2-3 sin 1)/(d1-2 sin(2 - 1))
P1
1
 x2  x1    y2  y1 
2
tg
d1-2

P2

d2-3

P3
Y
 
2
 tg
 
2

tg 45o  

+ = 360º – ( +  + 2)
 = 180º – (1+)
 = 180º – (2 - 1+)
dS-P1= (d1-2 sin )/ sin 1
S-P1= 180º + (1-2 +)
1 ,2 – kąty poziome z pomiaru, pomocnicze obliczone: , ,,,
S – punkt wyznaczany z wcięcia
Przeliczenie współrzędnych z układu biegunowego
 B-Pi = B-C + i
X
xPi = xB +di cos B-Pi
C
yPi = yB + di sin B-Pi
A-P
Pi
i
B
Dane:
di
i - kąt biegunowy punktu Pi
di - odległość biegunowa
Y
B – biegun układu - (stanowisko pomiarowe)
BC – oś biegunowa
Przeliczenie współrzędnych z układu prostokątnego
YC  YB
)
X C  YB
Y  YB
 arctg ( Pi
)
X Pi  YB
 B-C  arctg (
 B-Pi
X
C
Do obliczenia:
A-P
Pi
i
B
di - odległość biegunowa
di
XB
i - kąt biegunowy punktu Pi
i =  B-Pi - B-C
di  (XPi  XB )2  (YPi - YB )2
YB
Y
Dane: XB , YB współrzędne bieguna układu
XC , YC współrzędne punktu na osi biegunowej
Punkt przecięcia dwóch prostych (odcinków)
Układ równań:
X
A1 x + B1 y + C1= 0
A2 x + B2 y + C2= 0
XO = (C1 A2 - C2A1 )/(A1 B2 - A2 B1)
P2
P1
YO = (C2 B1 – C1B2 )/(A1 B2 - A2 B1)
Po
P4
x1-2 = xP2 – xP1,
y1-2 = yP2 – yP1
x3-4 = xP4 – xP3,
y3-4 = yP4 – yP3
współczynniki
P3
A = - y, B = x,
Y
C = y xPk - x yPk
(k=1 lub 3)
OBLICZENIE POLA POWIERZCHNI FIGUR
Pole figury na podstawie miar:
•
Z bezpośredniego pomiaru
•
Z mapy
Metody:
- graficzna (podział figury na trójkąty, trapezy, prostokąty)
- analityczna (z pomierzonych wymiarów, współrzędnych)
- mechaniczna (planimetry)
Metoda graficzna wyznaczania pól bazuje na miarach pomierzonych na mapie Stawia metodę
graficzną w grupie metod niższej dokładności. Pomiary na mapie elementów potrzebnych do
obliczenia wyznaczanego pola zawierają błędy. Błąd względny wyznaczania pola metodą
graficzną w = 1/200. Działkę wybraną do pomiaru dzieli się na figury proste (trójkąty, prostokąty i
trapezy), w których potrzebne długości odcinków wyznaczamy za pomocą cyrkla i podziałki.
Metoda analityczna - elementy potrzebne do obliczenia są mierzone w terenie, a pole
powierzchni określone jest na podstawie tych pomiarów lub ich funkcji (współrzędnych).
Błąd względny pola: w = 1/1000 (gdy błąd pomiaru kątów będzie ±1” , a błąd względny pomiaru
długości boków nie większy od 1/2000).
Metoda mechaniczna polega na pomiarze powierzchni na mapach przy użyciu planimetrów.
Urządzenia te w wyniku przeprowadzonego pomiaru dają wartość odczytu kółka całkującego. Do
obliczenia pola wykorzystuje się wzór: P = C1*n. C1 – stała planimetru zależna od skali rysunku i
długości ramienia wodzącego przyrządu. Dokładność jest równoważna metodzie graficznej.
Często stosowana w praktyce jest kombinacja metody analitycznej i graficznej. Ma szczególne
zastosowanie przy pomiarach wąskich i długich działek. Z wstępnej analizy dokładności na
podstawie wzoru: P = a*b, wnioskujemy, że decydujący wpływ na błąd pola, ma błąd boku
krótkiego. Błąd względny pola: w = 1/2000 - 1/500 zależnie od skali mapy.
1. Metoda graficzna podział figury na trapezy
Szablon linii równoległych w równych odstępach = h, na kalce (przeźroczystej folii),
dzieli figurę na n trapezów. Cyrkiel pomaga w pomiarach średniej z obu podstaw
każdego trapezu.
cyrkiel
bi
P = h  bi
Automatyzacja obliczania powierzchni na mapach
Znaczne przyspieszenie obliczania pola figur na mapach analogowych i
zwiększenie dokładności umożliwiają digimetry. Digimetr, to przetwornik
graficzno-cyfrowy lub koordynatometr (digitizer), jest urządzeniem, które
przetwarza informacje graficzne (rysunek, mapa) na postać cyfrową.
Wyznaczenie pól figur na mapach numerycznych: przebiega
automatycznie pod kontrolą programów systemu graficznego
obsługującego mapę numeryczną. Sprowadza się to do wskazania
kursorem ikony z paska narzędziowego, a także kolejnych punktów
(wierzchołków) figury na mapie.
Systemy informatyczne posiadają specjalne moduły, które ułatwiają
proces obliczania pola w typowych zadaniach. W tym przypadku figury
na mapach (rysunkach projektów) są obiektami, a pole figury jest jedną
z cech, które uzyskuje się przez wskazanie dowolnego punktu obiektu.
Metoda graficzna - podział na trójkąty:
b
1
2
c
h
3 4
a
Pi = (ai hi)/2
lub wz. Herona:
q = (a+b+c)/2
Pi =[q(q-a)(q-b)(q-c)]½
in
P   Pi
i 1
3. Metoda analityczna - obliczenie pola ze współrzędnych biegunowych:
Różnica kątów biegunowych:
2
1
3
2

n
ds.-i
n-1
4
i =  i+1 - i
i n
ds.-{i+1}
P  0.5  di di1 sin(i1  i )
S
i 1
współrzędne biegunowe:
Punkt nr 1, 1 , ds.-1
12
S – biegun (stanowisko pomiarowe)
Metoda analityczna - obliczenie pola ze współrzędnych prostokątnych:
Obliczamy współrzędne wierzchołków konturu lub
odczytujemy z mapy.
2
3
1
Wzór Gaussa:
2
4
i n
P  0.5  x i ( yi1 - yi-1 )
n
i 1
12
Planimetry
- biegunowe
- wózkowe
Planimetry biegunowe
mechaniczny
1/300
elektroniczny
1/1000
Zasada planimetru biegunowego
KC
O
P = (2 r/1000)RWM2 (Ok-Op)
W
C1 = (2 r/1000) RWM2
P = C1 (Ok – Op)
C1 = stała planimetru [m2]
Ok – Op- różnica odczytów kółka
P = C1 (Ok – Op) + C0 – biegun wewnątrz
B
C0 = stała planimetru [m2]
B – biegun
OW - Rw = długość ramienia wodzącego
W – wodzik
BO - RB = długość ramienia biegunowego
KC – kółko całkujące
r = promień kółka całkującego
Wyznaczenie stałej planimetru
C1 : C2 : C3 : . . . = RW1: RW2: RW3: . . .
C1 : C2 : C3 : . . . = M12 : M22 : M32 : . . .
Mi – mianowniki skal rysunków
C1 = Pt / (Ok – Op)
Pt = pole figury testowej [m2]
Ok , Op= odczyty kółka całkującego
Aby uprościć obliczenia, można zmienić długość ramienia biegunowego,
z R1 ustawionej na początku testu, na R2, przy której stała C2 będzie
równa np. 10. Obliczamy długość : R2 = R1 * C2 / C1 ,
Obliczanie objętości budowli ziemnych
Do określenia objętości bryły zawartej między powierzchnią terenu a powierzchnią projektowaną
najczęściej stosowany jest sposób podziału tej bryły na graniastosłupy o podstawie kwadratu,
prostokąta lub trójkąta.
1. Metoda siatki kwadratów prostokątów lub trójkątów.
Wyznaczamy na powierzchni działki siatką figur (np. kwadratów) o określonej długości boku, np.
a, w terenie (lub na mapie). dla każdego z wierzchołka figury określa się wysokość H k z pomiaru
wysokościowego (na mapie z interpolacji między warstwicami).
Na podstawie danych możemy wyznaczyć różnice wysokości punktów terenu i powierzchni
projektowanej w wierzchołkach kwadratów o średnią dla graniastosłupa numerze k, h k = H k - H k
Objętość k-tego graniastosłupa: V k = h k Pk . Dla całej bryły: V =  V k .
Pk = pole podstawy graniastosłupa.
W skryptach spotykamy wzory dla typowych zadań:
 H i = H i - H i - różnice wysokości punktów (wierzchołków siatki kwadratów i=1,2,3,4)
a2
V
4
 H
1
 2 H 2  3 H 3  4 H 4 
Interpretacja wyznaczenia objętości nasypu metodą siatki figur
H1
H2
powierzchnia wtórna
H3
H1
H2
powierzchnia pierwotna
H3
Vi = Pi [(H1 + H1 + H1)/3 - Ho]
Vi = Pi [(H1 + H1 + H1)/3 - Ho]
V’ =  Vi
P2
V” =  Vi
P1
P3
Poziom porównawczy Ho
Objętość nadkładu: V = V’ - V”
Pi – pole trójkąta (figury będącej podstawą graniastosłupa)
V’ – suma objętości graniastosłupów do poziomu wtórnego (kolor niebieski)
V” – suma objętości graniastosłupów do poziomu pierwotnego (kolor zielony)
Punkty powierzchni wtórnej mogą tworzyć inną siatkę niż punkty powierzchni
pierwotnej. Muszą jednak wypełniać obszar obejmujący obie powierzchnie.
Obliczanie objętości nasypu
Obliczanie objętości pryzmy węgla
Podział na elementy podłoża pryzmy
Obliczanie objętości robót ziemnych cd
a — długość boku kwadratu.
  H 1 — suma dla punktów występujących pojedynczo
  H 2 — suma dla punktów wspólnych dla dwóch kwadratów,
  H 3— suma dla punktów wspólnych dla trzech kwadratów,
  H 4 — suma dla punktów wspólnych dla czterech kwadratów,
Dodatkowo należy obliczyć objętości graniastosłupów dla kwadratów z przebiegającą przez nie
linią granicy obszaru.
2. Metoda przekrojów obiektu: V = 0.5(P1+P2)*d ,
Dokładność wyznaczenia objętości zależy o odległości pomiędzy przekrojami. Powierzchnie
przekrojów można wyznaczyć na przekrojach graficznie lub za pomocą planimetru.
przekrój 2
przekrój 1
Metoda przekrojów poprzecznych stosowana powszechnie przy obliczaniu robót ziemnych w
opracowaniach projektów tras komunikacyjnych i obwałowań.
n
Błąd obliczenia objętości
m V   mo
d śr  d i
i 1
2
mo - błąd pomiaru lub wyznaczenia z mapy wysokości punktów przekroju
3. Metoda przekrojów poziomych - obliczenie objętości w oparciu o dane z map warstwicowych
Przy wyznaczaniu pojemności zbiorników wodnych oraz mas ziemnych na większych obszarach,
dla których posiadamy mapę warstwicową, objętość obliczymy jako sumę brył ograniczonych
płaszczyznami warstwic i powierzchnią terenu.
Obliczana objętość jest sumą objętości warstw gruntu zawartego pomiędzy płaszczyznami
warstwic w granicach budowli.
H— odstęp (różnica wysokości) sąsiednich warstwic,
h — odległość powierzchni terenu od najwyższej lub najniższej płaszczyzny warstwowej o nr n,
Pi — pole powierzchni ograniczonej i-tą warstwicą, które można wyznaczyć przy pomocy
planimetru lub obliczyć ze współrzędnych
Metoda przekrojów poziomych – interpretacja geometryczna
mapa warstwicowa
Pi+1
P
Pi
H
obiekt
V 
1
1
H  Pi  Pi 1   h Pn
2
3
Pi – Pola powierzchni figury ograniczonej warstwicą i brzegiem obszaru opracowania,
Wyznaczona planimetrem z błędem mS = 0.005*S.
Wymagania dokładnościowe
Materiały i opracowania geodezyjne potrzebne do obliczania objętości
1.
Mapy sytuacyjno wysokościowe (mo 25 cm - 50 cm zależnie od skali),
2.
Pomiary geodezyjne
-
niwelacja metodą siatki kwadratów (boiska, place) mo 2 cm,
-
niwelacja metodą punktów rozproszonych (dla powierzchni falistych) mo 5 cm,
-
niwelacja metodą przekrojów podłużnych i poprzecznych (trasy komunikacyjne,
brzegi rzek) mo 5 cm,
-
tachimetria, dla zadań nie wymagających dużej dokładności (wysypiska, hałdy
wyrobiska) mo 10 cm,
-
fotogrametria naziemna lub aerofotogrametria dla terenów bez pokrycia obiektami
mo 20 cm.
Dokładność potrzebna do obliczenia objętości gruntu przy projektowaniu budowli
ziemnych (wg normy PN-68/B-06050, dopuszczalna odchyłka wysokości punktu w
siatce kwadratów 40X40 m wynosi H = 0.04m)
Błąd dopuszczalny ukształtowania terenu m = 40*40*0.04 = = 64m3
Dla całego obiektu – figury o powierzchni S m2, wystąpi n = s/64 kwadratów,
Wymagania dokładnościowe cd
mV  64 n  1.6 S
Grunty podlegają zagęszczeniu. Wskaźnik zagęszczenia D zależy od rodzaju gruntu
(wg normy D = <0,0.9 – 1.15>). Tolerancja dla wskaźnika zagęszczenia wynosi 2%
Dopuszczalna odchyłka objętości z tytułu zagęszczenia gruntu równa się: 0.02D*V.
Możemy do analiz przyjmować mz = 0.02 V.
Rzeczywista dokładność obliczenia objętości gruntu zależy jeszcze od wilgotności, a
także od osiadania. Największy wpływ ma jednak błąd metody numerycznej przyjętej
do obliczeń.
Wpływ błędów danych wysokościowych (z pomiarów lub odczytanych z mapy) na
objętość gruntu zależy od liczby punktów obranych na powierzchni terenu.
m Vh   mo
S
k
mo – błąd wyznaczenia wysokości punktu (0.02 –0.20 zależnie od metody),
k - liczba punktów wierzchołków siatki.