Pochodna funkcji Interpretacja geometryczna i fizyczna
Transkrypt
Pochodna funkcji Interpretacja geometryczna i fizyczna
Pochodna funkcji Def. 1. Pochodn¡ wªa±ciw¡ funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic¦ f 0 (x0 ) := lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa. Funkcj¦ f nazywamy wtedy ró»niczkowaln¡. Przy zaªo»eniu, »e f jest ci¡gªa w x0 analogicznie okre±lamy pochodne niewªa±ciwe +∞ i −∞. Pochodn¡ lewostronn¡ i prawostronn¡ nazywamy odpowiednio: 0 f− (x0 ) := lim x→x− 0 Ilorazem ró»nicowym f (x) − f (x0 ) x − x0 0 i f+ (x0 ) := lim x→x+ 0 f (x) − f (x0 ) . x − x0 nazywamy wyra»enie ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = . = x − x0 ∆x ∆x Uwaga 1. W denicji pochodnej niewªa±ciwej zakªadamy dodatkowo ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0 . Zaªo»enie, to jest zb¦dne dla pochodnej wªa±ciwej poniewa» z istnienia granicy wªa±ciwej f 0 (x0 ) := lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 wynika ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0 . W ka»dym przypadku zachodzi: Twierdzenie 1. funkcja f Je±li istnieje wªa±ciwa lub niewªa±ciwa pochodna jest ci¡gªa w f 0 (x0 ), to x0 . Interpretacja geometryczna i zyczna • Pochodna wªa±ciwa w punkcie x0 jest wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie x0 . • Je±li f 0 (x0 ) = ±∞, to styczna do wykresu jest prost¡ pionow¡ x = x0 . • Równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f ró»niczkowalnej w punkcie x0 : y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ). • Pochodna wyra»a szybko±¢ przyrostu funkcji w chwili x0 . • Je±li s = s(t), jest funkcj¡ drogi w zale»no±ci od czasu, to pochodna s0 (t0 ) jest pr¦dko±ci¡ w chwili t0 . • Je±li v = v(t), jest funkcj¡ pr¦dko±ci w zale»no±ci od czasu, to v 0 (t0 ) jest przy±pieszeniem w chwili t0 . 1 Pochodne funkcji elementarnych 1. c0 = 0 (pochodna funkcji staªej jest równa 0), 2. (xr )0 = rxr−1 dla dowolnego r ∈ R, 3. (sin x)0 = cos x, 4. (tgx)0 = (cos x)0 = − sin x, 1 , cos2 x (ctgx)0 = − 1 , sin2 x 5. (ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex , 6. (loga x)0 = 1 1 , (ln x)0 = , x ln a x 7. (arcsin x)0 = √ 8. (arctgx)0 = 1 1 , (arccos x)0 = − √ , 1 − x2 1 − x2 1 1 , (arcctgx)0 = − . 2 1+x 1 + x2 Def. 2. Mówimy, »e funkcja f jest ró»niczkowalna w zbiorze X ⊂ R gdy jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie tego zbioru. Funkcj¦, która ka»demu x ∈ X przyporz¡dkowuje pochodn¡ f 0 (x) w tym punkcie nazywamy pochodn¡ f 0 na zbiorze X . Twierdzenie 2. f, g Je±li maj¡ pochodne w x0 , 1. (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ), 2. (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ), 3. (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ) f 0 f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ) o (x0 ) = g g 2 (x0 ) 4. Twierdzenie 3. punkcie f (x0 ), gdzie 1. Je»eli f to c ∈ R, ile g(x0 ) 6= 0. ma pochodn¡ w punkcie x0 a g ma pochodn¡ w to (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ). 2. Je»eli funkcja f jest ci¡gªa i ±ci±le monotoniczna w otoczeniu punktu oraz ma pochodn¡ f 0 (x0 ) 6= 0, to (f −1 )0 (f (x0 )) = 2 1 . f 0 (x0 ) x0 Wyra»enia wykªadniczo-pot¦gowe f (x)g(x) 0 = eg(x) ln f (x) 0 = f (x)g(x) (g 0 (x) ln f (x) + g(x)f 0 (x) . f (x) 1. Wyznaczy¢ pochodn¡ funkcji f (x) = (sin x)cos x w dowolnym punkcie dziedziny naturalnej. Przykªad: Def. 3. Ró»niczk¡ funkcji f ró»niczkowalnej w x0 nazywamy funkcj¦ df przyrostu argumentu ∆x = x − x0 okre±lon¡ wzorem df (∆x) = f 0 (x0 ) · ∆x. 2. Ró»niczka jest funkcj¡ liniow¡ przyrostu argumentu. Uwaga 3. Ró»niczka szybciej zbiega do przyrostu warto±ci funkcji ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ni» ∆x → 0. Dokªadniej Uwaga ∆f − df = 0. ∆x lim ∆x→0 Dlatego dla maªych ∆x stosujemy przybli»enie f (x + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x. Przykªady: √ 3 1. 8, 03. 1. Wyznaczy¢ bez kalkulatora przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia 2. Z jak¡ dokªadno±ci¡ wyznaczymy obj¦to±¢ sze±cianu je±li zmierzona z dokªadno±ci¡ do 1 cm dªugo±¢ jego kraw¦dzi jest równa 1 m? Twierdzenie 4 (Rolle'a). c ∈ (a, b), »e (a, b) oraz f 0 (c) = 0. Twierdzenie 5 (Lagrange'a). ró»niczkowalna na przedziale Je»eli funkcja (a, b), Twierdzenie 6 (Cauchy'ego). ró»niczkowalne na przedziale c ∈ (a, b), »e f, g g 0 (x) 6= 0 Je»eli funkcje (a, b) x→x0 c ∈ (a, b), [a, b] i [a, b] i »e oraz s¡ ci¡gªe na przedziale dla x ∈ (a, b), to istnieje taki f 0 (c) f (b) − f (a) = . g 0 (c) g(b) − g(a) lim f (x) = lim g(x) = 0, x→x0 jest ci¡gªa na przedziale f (b) − f (a) . b−a Twierdzenie 7 (Reguªa de L'Hospitala). 1. f to istnieje taki punkt f 0 (c) = punkt f jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i f (a) = f (b), to istnieje taki punkt Je»eli funkcja ró»niczkowalna na przedziale Je»eli funkcje przy czym 3 g(x0 ) 6= 0 f, g speªniaj¡ warunki: w s¡siedztwie x0 , 2. istnieje lim x→x0 f 0 (x) g 0 (x) (wªa±ciwa lub niewªa±ciwa), to lim x→x0 f (x) f 0 (x) = lim 0 . g(x) x→x0 g (x) Twierdzenie jest równie» prawdziwe dla granic jednostronnych, granic w niesko«czono±ci oraz przy pierwszym zaªo»eniu postaci: 1'. lim f (x) = lim g(x) = ∞. x→x0 x→x0 Przykªady: ln cos x x + sin x √1 ; (2) lim x x ; (3) lim . x→∞ x→∞ x→0 ln cos 2x x 2. Wyznaczy¢ granice: (1) lim Def. 4. Pochodne wy»szych rz¦dów deniujemy indukcyjnie: 1. f (1) (x) := f 0 (x), 2. Dla n > 1: 0 f (n+1) (x) := f (n) (x). Stosujemy równie» oznaczenia f 00 , f 000 , f iv , ... oraz f (0) (x) := f (x). Przykªad: 2. Wyznaczy¢ wzór na n-t¡ pochodn¡ funkcji f (x) = xex . Twierdzenie 8 (Wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a). f (n−1) [x0 , x] c ∈ (x0 , x), »e na przedziale taki punkt f (x) = f (x0 ) + + oraz pochodn¡ f (n) Je»eli f na przedziale ma ci¡gª¡ pochodn¡ (x0 , x), to istnieje f (2) (x0 ) f (n−1) (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + ... + (x − x0 )n−1 1! 2! (n − 1)! f (n) (c) (x − x0 )n . n! Wyra»enie Rn = nazywamy . f (n) (c) (x − x0 )n n! reszt¡ w postaci Lagrange'a a caª¡ reszt¦ sumy - lora 4 wielomianem Tay- Wn. 1 (Wzór Maclaurina). f (x) = f (0) + Przykªad Dla x0 = 0 wzór Taylora przyjmuje posta¢: f 0 (0) f (2) (0) 2 f (n−1) (0) n−1 f (n) (c) n x+ x + ... + x + x . 1! 2! (n − 1)! n! 1 (Szeregi Maclaurina dla funkcji ex , sin x i cos x:). x3 x4 xn−1 xn c x2 + + + ... + e 2! 3! 4! (n − 1)! n! 2. sin x = x − x5 x7 x9 x2n−1 x3 + − + + ... + (−1)n+1 cos c 3! 5! 7! 9! (2n − 1)! 3. cos x = 1 − x2 x4 x6 x8 x2n + − + + ... + (−1)n cos c 2! 4! 6! 8! (2n)! Wyznaczy¢ cos 0, 2 z dokªadno±ci¡ do 10−4 . 5 x 1! 1. ex = 1+ +