Statystyka stosowana: Lista 7-8

Statystyka stosowana: Lista 7-8
1. Sygnał przesłany z miejsca A do B może być obarczony błędem losowym ε o rozkładzie N (0, 4). Sygnał o wartości 14 został wysłany niezależnie 7 razy. Oblicz p-wartość
dla hipotezy H0 , jeśli w miejscu B otrzymano następujące wartości tego sygnału:
14.6, 14.8, 15.1, 13.2, 12.4, 16.8, 16.3.
2. Specjaliści supermarketów sprzedających m.in. mleko pochodzące od jednego z producentów podejrzewają, że ma ono niższą zawartość tłuszczu niż 3.2%. Specjaliści
zakładają przy tym, że deklarowane przez producenta odchylenie standardowe nie
zmieniło się i wynosi 0.05%. Ponadto, faktyczna procentowa zawartość tłuszczu jest
wielkością losową o rozkładzie normalnym. Na podstawie otrzymanych wyników:
3.26, 3.12, 3.24, 3.16, 3.08, 3.14, 3.23, 3.11, 3.09, 3.24 sformułować test i przetestować odpowiednią hipotezę. Przyjąć poziom istotności (a) α = 0.01 (b) α = 0.05.
Wyznaczyć w tym celu p-wartość (odp. H0 nie odrzucamy tylko w (a), p = 0.0185)
3. Wytrzymałość pewnego materiału jest cechą o rozkładzie N (µ, σ 2 ). Dokonano 5
niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano następujące wyniki: 20.4, 19.6,
22.1, 20.8, 21.1. Przetestować hipotezę H0 : µ ­ 20 przeciw HA : µ < 20 na poziomie
istotności α = 0.05.
4. Konstruktor twierdzi, że odczyty robione za pomocą pewnego przyrządu nie są obarczone błędem systematycznym. Aby to sprawdzić wykonano 6 niezależnych pomiarów wzorca µ = 10 mm i otrzymano następujące wyniki: 10.01, 10.02, 10.05, 10,
9.99, 10.05. Jaki model należy przyjąć aby potwierdzić lub obalić zapewnienia konstruktora? Czy można przyjąć jego zapewnienie?
5. Zmierzono średnicę 11 drzew wybranych losowo z lasu sosnowego i otrzymano średnią średnicę równą 37.3 cm. Przetestuj hipotezę
(a) H0 : µ = 35 przeciwko HA : µ 6= 35
(b) H0 : µ ­ 35 przeciwko HA : µ < 35.
Przyjmij, że α = 2% i dane pochodzą z rozkładu normalnego. Rozważ przypadek
σ 2 = 16cm2 (znanej wariancji) oraz przypadek nieznanej wariancji s2 = 16cm2 . W
przypadku znanej wariancji wyznacz dla punktów (a) i (b) p-wartości.
6. Dostawca drewnianych belek twierdzi, że ich średnia wytrzymałość wynosi µ = 40.
Wiadomo, że wytrzymałość może być uznana za cechę o rozkładzie normalnym.
Wybrano losowo 55 belek i zmierzono ich wytrzymałości. Otrzymano, że średnia
wytrzymałość w próbie wynosi 39, a odchylenie standardowe 4.4. Celem sprawdzenia, czy twierdzenie dostawcy nie powinno być odrzucone przetestować odpowiednią
hipotezę. Obliczyć p-wartość.
7. Ocenia się, że w województwie korzystało bezprawnie z pewnej ulgi podatkowej
10% podatników. Istnieje obawa, że zmiana przepisów podatkowych mogła zwiększyć podany odsetek osób nieprawidłowo obliczjących płacony przez nie podatek.
Wylosowano 150 podatników i wykazano, że 21 z nich niesłusznie skorzystało ze
wspomnianej ulgi. Skonstruować odpowiedni test i na tej podstawie ocenić zasadność istniejących obaw (wyznaczyć p-wartość). (odp. nie ma podstaw do odrzucenia
H0 )
8. W partii towaru, która przypuszczalnie zawiera 10% braków, znaleziono 71 braków
w próbce złożonej z 500 elementów. Sprawdzić na poziomie istotności α = 0.05
hipotezę orzekającą, że w partii jest (a) nie więcej niż 10% braków, (b) jest 10%
braków.
9. Dane podają wiek kobiety i mężczyzny w dniu zawarcia związku małżeńskiego:
wiek kobiety
18 24
wiek mężczyzny 21 29
40 33 30 25
51 30 36 25
(a) Wyznaczyć prostą regresji, jeśli wiek kobiety jest zmienną niezależną.
(b) Wyznaczyć współczynnik determinacji, korelacji w próbce. Co możemy na tej
podstawie powiedzieć o modelu regresji w (a)?
(c) Obliczyć błąd średniokwadratowy (estymator wariancji).
(d) Przetestować hipotezę β = 0.
(e) Wyznaczyć 99%PU dla wieku pana młodego, jeśli panna młoda ma 32 lata. (f)
Narysuj wykres standaryzowanych residuów.
10. Postanowiono porównać liczbę punktów jaką uczniowie uzyskali przy przyjmowaniu
na uczelnię z liczbą punktów jaką uzyskali na koniec studiów.
początek
koniec
88 74 70 77 83 94 92 81 85 92
3.2 2.7 2.3 2.9 2.8 3.6 3.0 2.8 3.3 3.1
(a) Wyznaczyć prostą regresji, jeśli „początek” jest zmienną niezależną. Narysować
ją na wykresie rozproszenia.
(b) Przetestować hipotezę β = 0.
(c) Wyznaczyć współczynnik korelacji w próbce, co z tego wynika?
(d) Obliczyć błąd średniokwadratowy (estymator wariancji) - wyciągnąć odpowiedni
wniosek.
(e) Podać wartość prognozowaną wyniku końcowego studenta, który na początku
otrzymał 87 punktów.
(f) Wyznaczyć 90%PU dla przypadku w podpunkcie (e).
AJ