Ekstrema funkcji. Klasyczne twierdzenia dotyczące funkcji
Transkrypt
Ekstrema funkcji. Klasyczne twierdzenia dotyczące funkcji
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 7) Ekstrema funkcji. Klasyczne twierdzenia dotyczące funkcji różniczkowalnych Definicja 1. Niech f (x) będzie funkcją określoną w przedziale ha, bi i x0 ∈ (a, b). Jeśli istnieje takie δ > 0, że dla dowolnego x spełniającego warunek |x − x0 | < δ zachodzi nierówność f (x) 6 f (x0 ) (f (x) > f (x0 )), to mówimy, że f ma maksimum lokalne (minimum lokalne) w punkcie x0 . Maksimum funkcji i minimum funkcji określamy jednym pojęciem extremum lokalnego. Stwierdzenie 1. Jeżeli funkcja f (x) określona w przedziale domkniętym ha, bi swój kres górny (kres dolny) w punkcie x0 ∈ (a, b), to ma w tym punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne). Stwierdzenie 2. Jeżeli funkcja f (x) określona w przedziale ha, bi jest różniczkowalna w punkcie x0 ∈ (a, b) i ma w tym punkcie ekstremum, to f 0 (x0 ) = 0 Dowód. Załóżmy, że funkcja ta ma w punkcie x0 maksimum (dla minimum rozważania są analogiczne). Wtedy, na mocy definicji, w pewnym otoczeniu (powiedzmy, o promieniu δ) zachodzi nierówność f (x0 + h) − f (x0 ) < 0. Jednocześnie, wobec faktu, że f (x) ma pochodną w punkcie x0 , istnieje granica f (x0 + h) − f (x0 ) lim . h→0 h Zatem istnieją i są równe granice jednostronne lim h→0− f (x0 + h) − f (x0 ) , h lim h→0+ f (x0 + h) − f (x0 ) . h (x0 ) Ponieważ dla h < 0 wyrażenie f (x0 +h)−f przyjmuje wartości dodatnie, a dla h > 0 – ujemne. h Stąd pierwsza z nich jest nieujemna, a druga niedodatnia, co wobec ich równości oznacza, że obie są równe zero. Ostatecznie więc f 0 (x0 ) = 0. Przykład funkcji f (x) = xn , gdzie n jest nieparzyste, dowodzi, że twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Ta funkcja ma w punkcie x0 = 0 pochodną równą zero, ale extremów nie ma. Twierdzenie 3. (M. Rolle)1 Jeżeli f (x) jest funkcją ciągłą w przedziale ha, bi, różniczkowalną w przedziale (a, b) i f (a) = f (b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że 0 f (c) = 0. Dowód. Jeżeli f (x) jest stała w przedziale ha, bi, to oczywiście z definicji pochodnej jej wartość w każdym punkcie przedziału (a, b) jest równa 0. Załóżmy więc, że f (x) nie jest funkcją stałą i dla pewnych argumentów przyjmuje wartość większą niż f (a). Niech M będzie kresem górnym tej funkcji. Na podstawie tw. Weierstrassa wiemy, że istnieje c ∈ (a, b) taki, że f (c) jest kresem górnym funkcji f (x) w przedziale (a, b). Z założenia, ta funkcja jest w punkcie c różniczkowalna. Zatem na mocy stw. 1 i 2 f (c) = 0. Analogiczne rozumowanie prowadzimy, gdy w pewnym punkcie z przedziału (a, b) funkcja przyjmuje wartość mniejszą niż f (a). Twierdzenie 4. (J. L. Lagrange)2 Jeżeli f (x) jest funkcją ciągłą w przedziale ha, bi i różniczko(b) walną w przedziale (a, b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (b)−f = f 0 (c). b−a 1 Michel Rolle (1652-1719) - matematyk francuski, samouk, zwrócił na siebie uwagę rozwiązując problem postawiony w 1682 roku: Wskazać cztery liczby takie, że różnice między dwiema dowolnymi są kwadratami liczb naturalnych oraz suma trzech z nich jest też kwadratem liczby naturalnej. 2 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) 1 Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 7) Dowód. Dla dowodu wystarczy rozważyć funkcję g(x) zdefiniowaną wzorem g(x) = f (a) − f (x) + (x − a) f (b) − f (a) (b − a) Łatwo zauważyć, że jest to funkcja ciągła w przedziale ha, bi i różniczkowalna w (a, b). Poza tym g(a) = g(b) = 0, więc podstawie tw. Rolle’a dla pewnego c ∈ (a, b) jest g 0 (c) = 0. Ostatnia równość daje tezę twierdzenia. Twierdzenie 5. (A. L. Cauchy) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale domkniętym ha, bi i różniczkowalne w przedziale (a, b), to istnieje c ∈ (a, b) taki, że f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c) Dowód. Podobnie, jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia wystarczy zbadać własności funkcji h(x) zdefiniowanej wzorem h(x) = f (a) − f (x) + (g(x) − g(a)) f (b) − f (a) g(b) − g(a) i skorzystać z twierdzenia Rolle’a. Twierdzenie 6. a) Jeżeli f (x) jest funkcją różniczkowalną w (a, b) i dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi nierówność f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0), to funkcja jest rosnąca (malejąca) w tym przedziale. b) Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w punkcie c ∈ (a, b) i rośnie (maleje) w przedziale (a, b), to f 0 (c) > 0 (f 0 (c) 6 0). c) Jeśli f 0 (c) > 0 (f 0 (c) < 0), to jest ona rosnąca (malejąca) w pewnym otoczeniu punktu c. x x x 0 Przykład 1. Pochodna funkcji f (x) = ex jest równa ex = e (x−1) . Zatem w przedziałach x2 (−∞, 0) i (0, 1) jest malejąca, a w przedziale (1, +∞) jest rosnąca. Twierdzenie 7. Jeżeli funkcje f (x) i g(x) są ciągłe w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalne w (a, b) oraz lim f (a) = lim g(a) = 0, to x→a+ x→a+ lim x→a+ f (x) f 0 (x) = lim 0 . g(x) x→a+ g (x) Powyższy wzór ma również zastosowanie, gdy a = ∞. Dkoładniej: Twierdzenie 8. Jeżeli lim f (a) = 0 = lim g(a), to x→∞ x→∞ f 0 (x) f (x) = lim 0 . x→∞ g(x) x→∞ g (x) lim Podobnie, gdy mamy do czynienia z granicami w liczniku i mianowniku równym nieskończoności: Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f (x) i g(x) są określone w przedziale (a, bi i różniczkowalne w przedziale (a, b) oraz lim f (a) = ∞ = lim g(a), to x→a+ x→a+ lim x→a+ f (x) f 0 (x) = lim 0 , g(x) x→a+ g (x) o ile ta ostatnia granica istnieje (jest skończona lub nieskończona). 2 Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 7) Przykład 2. Wyznaczyć granice: 1 x ; 2. lim a x−1 ; 3. lim (cos x) x ; 4. lim 1. lim ln(1+x) x x→0+ x→0+ ex −e−x ; ln (e−x)+x−1 x→0 x→0+ tg x−x ; x→0 x−sin x 5. lim Definicja 2. Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną, jeśli lim (f (x) − (ax + b)) = 0 lub x→∞ lim (f (x) − (ax + b)) = 0 x→−∞ Stwierdzenie 10. Jeżeli prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f (x) to a = lim f 0 (x) i b = lim (f (x) − ax) lub a = lim f 0 (x) i b = lim (f (x) − ax) x→∞ x→−∞ x→∞ x→−∞ x+1 Przykład 3. Pokazać, że asymptota funkcji f (x) = (x + 2)e x−1 ma równanie y = ex + 4e Opracował: Czesław Bagiński 3