Paradoksy prawdopodobieństwa - Wiedza, logika i informacja
Transkrypt
Paradoksy prawdopodobieństwa - Wiedza, logika i informacja
Paradoksy prawdopodobieństwa 19.12.13 W przypadku gdy odwołujemy się do prawdopodobieństwa zdefiniowanego na gruncie teorii Kołmogorowa napotykamy następujące trudności: 1. Każdy element {w} ma prawdopodobieństwo 0. Natomiast suma tych zdarzeń o prawdopodobieństwie zerowym każde, ma prawdopodobieństwo 1. U 2. Jeśli F jest zbiorem skończonym i {w} F, wtedy prawdopodobieństwo warunkowe Pk ({w}|F) nie jest zdefiniowane. Istnienie takiego prawdopodobieństwa nie jest zadarzeniem niemożliwym. 3. Istnieją podzbiory zbioru Ω dla których prawdopodobieństwo nie jest zdefiniowane, dlatego, że są to tzw. zbiory niemierzalne. Łoś (1955) powołując się na późniejszą pracę Kołmogorowa stwierdza, że Kołmogorow był świadom tego, że w jego teorii występują zbiory niemierzalne i podjął wysiłek, aby tak zdefiniować prawdopodobieństwo, żeby uniknąć tej konsekwencji. Ad.3 Niech A będzie σ - ciałem podzbiorem zbioru Ω. Funkcję μ : A > [0, ∞] nazywamy miarą, gdy μ (Ø) = 0 oraz zachodzi warunek przeliczalnej addytywności: ∞ ∞ μ (nU= 1An) =nΣ= 1 μ (An) dla zbiorów A1, ..., An, ... C A parami rozłącznych. Miary, które spełniają warunek μ (Ω) = 1 nazywamy probabilistycznymi. Najbardziej znaną miarą jest miara Lebesque’a. Miara ta nie obejmuje obejmuje wszystkich podzbiorów prostej i dlatego mówimy o zbiorach niemierzalnych w sensie Lebesque’a. Twierdzenie (Tarski, Banach, 1924): Przedział [0,1] można podzielić na rozłączne parami zbiory A0, A1, ... w taki sposób, że pewne ich przesunięcia: t0 + A1, t1 + A1, ..., też są parami rozłączne i w sumie dają przedział [0, 2]. Z tego twierdzenia wyprowadzamy wniosek, że takie podwojenie długości przedziału nie byłoby możliwe, gdyby wszystkie zbiory Ai należały do ciała zbioru A, więc conajmniej jeden z tych zbiorów musi być niemierzalny względem miary, w tym przypadku miary Lebesque’a. W związku z tym, teoria prawdopodobieństwa Kołmogorowa (1933) nie pozwala na wprowadzenie ściśle pozytywnej miary prawdopodobieństwa czyli miary, która przyjmuje 0 tylko dla zbioru pustego. Modelowanie prawdopodobieństwa nieskończonego prawdopodobieństwa Nie-Archimedesowego. ciągu rzutów monetą w teorii Założenia: 1. Funkcja prawdopodobieństwa Nie-Archimedesowego P spełnia następujące warunki: |A F| |F| U P(A|F) = Ω i F jest zbiorem skończonym oraz niepustym, wtedy U 1. Jeśli F 2. Dla skończonej liczby wyników n: -n P(c) = 2 , gdzie C = {ω C Ω: ωik = tk} (tk jest orłem (O) lub reszką(R)) Każdy nieskończony ciąg rzutów monetą należący do Ω = {O,R}N prawdopodobieństwa Nie-Archimedesowego, prawdopodobieństwo: 1 n (Ω) ma na gruncie teorii n - liczność Niech ciąg postaci b * c będzie wynikiem złożenia ciągu b z nieskończonym ciągiem c. b * n c = (b1, ..., bn, c1, ..., ck, ...) gdzie b C {O, R} , c C {O,R} N . Definiujemy zbiór λ n, σ λ n, σ = {b * c : b C {O,R} n ; c C σ} oraz rodzinę zbiorów λn, σ : N Δ = { λ n, σ : σ C Pfin ({O, R} ; n C N} Dowodzimy, że jeśli P jest prawdopodobieństwem Nie-Archimedesowym, to P(c) = n (c) -n =2 n (Ω) PARADOKS SIMPSONA Nazwa paradosku pochodzi od nazwiska autora (E. H. Simpson) artykułu z 1951 r. poświęconego temu problemowi. Zauważmy, że dla pewnych liczb naturalnych zachodzą następujące nierówności: 2 1 < 8 5 6 4 < 8 5 7 > 6 13 13 Wyniki badania statystycznego: Badano mężczyzn ubiegających się o stanowisko na dwóch wydziałach uniwersytetu: otrzymano proporcję tych, którzy zostali przyjęci do tych wszystkich mężczyzn (na odpowiednich wydziałach), którzy ubiegali się o to stanowisko. Analogiczne badanie przeprowadzono dla grupy kobiet na tych samych wydziałach. Mężczyźni 1 5 6 8 7 13 < < > Kobiety 2 8 4 5 6 13 Wydział Historii Wydział Geografii Łącznie