Analiza Matematyczna 1 dla WPPT F/IB, lista 3 Zadanie 1. Narysuj

Analiza Matematyczna 1 dla WPPT F/IB, lista 3
Zadanie 1. Narysuj dwa trójkąty prostokątne: połowę kwadratu o boku a i połowę trójkąta równobocznego
o boku a. Zaznacz odpowiednie kąty i podaj ich miary w stopniach. Oblicz, zapisz i zapamiętaj (bo to
będzie wielokrotnie używane, w tym na egzaminach!) wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens
wszystkich kątów w tych trójkątach.
Zadanie 2. Kąty można mierzyć nie tylko w stopniach.
Narysuj na płaszczyźnie z zaznaczonym układem współrzędnych okrąg o środku (0, 0) i promieniu 1 oraz
dowolną półprostą o początku w (0, 0). Zaznacz łuk okręgu zawarty pomiędzy dodatnią półosią Ox i
narysowaną półprostą. Zaznaczony łuk wyznacza pewien kąt, a za miarę tego kąta przyjmijmy długość
tego łuku. Jednostką tej miary jest radian. Ponieważ okrąg o promieniu 1 ma obwód 2π, więc kąt pełny
ma 2π radianów. Przypomnijmy, że gdy mierzymy w stopniach, to kąt pełny ma 360◦ . Korzystając z
proporcji, wyraź w radianach:
a) 0◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ , 90◦ , 120◦ , 150◦ , 180◦ , 270◦ , 330◦ .
π
b) Ile stopni ma kąt, którego miara w radianach jest równa: 12
, π5 , 3π
, 3π
, −π?
5
12
c) Przyjmując, że π ≈ 3, 1416, oblicz w przybliżeniu do jednego stopnia, ile stopni ma jeden radian.
Zadanie 3. Z jedynki trygonometrycznej, tzn. z tożsamości sin2 x + cos2 x = 1 prawdziwej dla każdego
sin x
(prawdziwej dla jakich x?) wyprowadź tożsamości:
x ∈ R, oraz z tożsamości tg x = cos
x
1 + tg2 x =
1
,
cos2 x
1 + ctg2 x =
1
.
sin2 x
Zadanie 4. Z tożsamości sin(x+y) = sin x cos y+sin y cos x wyprowadź tożsamość cos(x+y) = cos x cos y−
sin y sin x. Wsk. Zastosuj wzór redukcyjny sin( π2 − x) = cos x. Następnie wyprowadź tożsamości
sin(2x) = 2 sin x cos x,
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1.
x
Zadanie 5. Naszkicuj dla −3 < x < 3 wykresy funkcji y = 2x oraz y = 12 .
a) Powyższa para wykresów jest symetryczna względem osi Oy. Z jakiej własności potęgowania wynika ta
?
symetria? Wsk. Jaki wykładnik trzeba wstawić w równości 2x = 12 w miejsce znaku zapytania?
b) Dla jakich a > 0 funkcja y = ax jest rosnąca? Dla jakich jest malejąca?
Zadanie 6. Jeśli y = f (x) jest różnowartościowa, to istnieje funkcja odwotna f −1 (y) = x.
Wyznaczając x z równania y = f (x), znajdź wzór funkcji odwrotnej, gdy a) y = x + 7, a) y = (x + 2)3 ,
c) y = log2 (x − 5), x > 5, d)* y = x + x1 , x > 0 .
Określ dziedziny powyższych funkcji odwrotnych.
Zadanie 7. W większości przypadków nie potrafimy wyznaczyć x z równania y = f (x), gdyż na przykład
funkcja odwrotna nie wyraża się za pomocą poznanych dotąd wzorów. Jednak wiele własności funkcji
odwrotnej można odczytać z jej wykresu.
Korzystając z faktu, że wykres funkcji f −1 (x), odwrotnej do f (x), jest symetryczny do wykresu
f (x) względem prostej y = x, narysuj wykres funkcji odwotnej do: a) f (x) = x2 , dla x ­ 0,
b) f (x) = e−x dla x ∈ R, c) f (x) = tg x dla − π2 < x < π2 , d) f (x) = sin x dla − π2 ¬ x ¬ π2 ,
e) f (x) = cos x dla 0 ¬ x ¬ π.
Zadanie 8. Arcus to po łacinie łuk. Dlatego funkcja odwrotna do f (x) = tg x, − π2 < x < π2 , nazywa
się arkus tangens i oznaczana jest symbolem arctg x, funkcja odwrotna do f (x) = sin x, − π2 ¬ x ¬ π2 ,
to arkus sinus; symbolicznie arcsin x, a funkcja odwrotna do f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬ π, to arkus cosinus;
symbolicznie arccos x. Wszystkie te funkcje, łącznie z funkcją odwrotną do cotangensa (rozważanego na
przedziale 0 < x < π), nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.
a) Jak wyglądają wykresy funkcji cyklometrycznych? b) Jakie granice w nieskończonościach ma funkcja arctg
x? c) Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych: arcsin 1, arccos (−1), arctg 1,
q x, a jakie arccot
√
√
√
3
arccos 1/2, arcsin 2 , arctg 3, arccot 3. d) Oblicz sin(arccos (0, 1)), tg(arcsin (0, 2)) .