lista pochodnych i całek

Tabela pochodnych ważniejszych funkcji elementarnych
Podane wzory mają sens tylko dla wartości x z dziedziny danej funkcji. Na przykład dziedzina funkcji
potęgowej f (x) = xα zależy od α: gdy α = 1, 2, 3, ... jest liczbą naturalną, to dziedziną f (x) jest zbiór
wszystkich liczb rzeczywistych R, gdy α = −1, −2, ..., to dziedziną jest zbiór liczb różnych od zera, a gdy
√
1
na przykład α = 12 , czyli gdy f (x) = x 2 = x, to dziedziną jest zbiór liczb nieujemnych [0, ∞). Więcej
informacji o dziedzinach poniższych funkcji będzie podanych na wykładzie.
Nazwa funkcji
Wzór funkcji i wzór jej pochodnej
funkcja stała
(c)0 = 0
funkcja potęgowa, α 6= 0
(xα )0 = αxα−1
√
( x)0 = 2√1 x
pierwiastek kwadratowy, tzn. α =
1
2
funkcja wykładnicza, a > 0, a 6= 1
(ax )0 = ax ln a
funkcja wykładnicza o podstawie e
(ex )0 = ex
funkcja logarytmiczna, a > 0, a 6= 1 (loga x)0 =
1
x ln a
logarytm naturalny, tzn. a = e
(ln x)0 =
sinus
(sin x)0 = cos x
cosinus
(cos x)0 = − sin x
tangens
(tg x)0 =
cotangens
(ctg x)0 = − sin12 x = −(1 + ctg2 x)
arkus sinus
(arcsin x)0 =
arkus cosinus
1
(arccos x)0 = − √1−x
2
arkus tangens
(arctg x)0 =
arkus cotangens
1
(arcctg x)0 = − 1+x
2
sinus hiperboliczny
(sh x)0 = ch x
cosinus hiperboliczny
(ch x)0 = sh x
Uwaga: sh x =
ex −e−x
,
2
1
x
1
cos2 x
= 1 + tg2 x
√ 1
1−x2
1
1+x2
ex +e−x
.
2
ch x =
Tabela całek nieoznaczonych ważniejszych funkcji elementarnych
Ponieważ całka nieoznaczona jest wyznaczona z dokładnością do stałej, więc każdy z poniższych
wzorów zawiera składnik C ∈ R.
R
0 dx = C
R
cos x dx = sin x + C
R
c dx = cx + C
R
1
sin2 x
dx = −ctg x + C
R
xα dx =
R
1
cos2 x
dx = tg x + C
R
1
1+x2
dx = arctg x + C
R
√ 1
1−x2
R
sh x dx = ch x + C
R
ch x dx = sh x + C
R dx
x
R
+ C,
α 6= −1
= ln |x| + C
ax dx =
R x
e dx
R
xα+1
α+1
ax
ln a
+ C,
0 < a 6= 1
= ex + C
sin x dx = − cos x + C
dx = arcsin x + C