Geometria Zadania powtórzeniowe Waldemar Pompe 1

Geometria
Zadania powtórzeniowe
Waldemar Pompe
1. Rozstrzygnąć, czy istnieje trapez, którego ramiona mają długości 1, 2, a podstawy 3 i 4.
Jeśli tak, to obliczyć pole tego trapezu.
2. Punkt P leży wewnątrz pięciokąta foremnego. Niech a, b, c, d, e będą odpowiednio
odległościami punktu P od prostych zawierających boki pięciokąta. Wykazać, że wartość
sumy a + b + c + d + e nie zależy od wyboru punktu P .
) AP B > <
) ACB.
3. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ABC. Wykazać, że <
) BAC >
4. Dany jest trójkąt ABC. Udowodnić, że BC > AC wtedy i tylko wtedy, gdy <
<
) ABC.
5. W trójkącie ABC punkt M środkiem boku AB, a w trójkącie A0 B 0 C 0 punkt M 0 jest
środkiem boku A0 B 0 . Rozstrzygnąć, czy z równości AC =A0 C 0 , BC =B 0 C 0 oraz M C =M 0 C 0
wynika, że trójkąty ABC i A0 B 0 C 0 są przystające.
6. W trójkącie ABC punkt D jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą AC, a w trójkącie A0 B 0 C 0 punkt D0 jest rzutem prostokątnym punktu B 0 na prostą A0 C 0 . Rozstrzygnąć,
czy z równości AC = A0 C 0 , BC = B 0 C 0 oraz BD = B 0 D0 wynika, że trójkąty ABC i A0 B 0 C 0
są przystające.
7. Udowodnić, że w czworokąt wypukły ABCD można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy okręgi wpisane w trójkąty BCD i BAD są styczne do prostej BD w tym samym
punkcie.
8. Promień okręgu dopisanego do trójkąta o bokach długości a, b, c, stycznego do boku
o długości a, wynosi rA . Wykazać, że pole tego trójkąta wynosi (p−a)rA , gdzie p oznacza
połowę obwodu trójkąta.
9. Dany jest czworokąt wypukły, którego długości boków wynoszą kolejno a, b, c, d. Wykazać, że jeśli przekątne tego czworokąta są prostopadłe, to
a2 + c2 = b2 + d2 .
10. W trójkącie o bokach a, b, c spełniona jest równość a3 + b3 = c3 . Czy ten trójkąt jest
ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny?
11. Dane są dwa okręgi o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego ma długość 10. Obliczyć pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi.
12. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny odpowiednio do boków BC, CA, AB
odpowiednio w punktach D, E, F . Znając miarę α kąta BAC obliczyć miarę kąta EDF .
13. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, a punktu O jest środkiem
okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznaczyć miarę kąta ACB wiedząc, że punkty A, B,
I, O leżą na jednym okręgu. Wyznaczyć środek tego okręgu.
14. Punkty K, L, M są odpowiednio środkami boków BC, CA, AB trójkąta ABC.
Punkt D jest spodkiem wysokości tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C. Udowodnić, że punkty K, L, M , D leżą na jednym okręgu.
15. Wysokości AD, BE, CF trójkąta ostrokątnego ABC przecinają się w punkcie H.
Punkt M jest środkiem odcinka CH. Dowieść, że punkty D, E, F , M leżą na jednym
okręgu.
16. Wykazać, że w każdym trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest
równa sumie długości średnic okregów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
) AP B + <
) CP D = 180◦ .
17. Punkt P leży wewnątrz równoległoboku ABCD, przy czym <
) ABP = <
) ADP .
Wykazać, że <