lista 7 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań nr 7 – spotkanie w dniu 5.01.2008.
Trójkąt i jego własności
1. Twierdzenie Stewarta. Niech punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Wówczas
|CD|2 · |AB| + |AD| · |DB| · |AB| = |AC|2 · |DB| + |BC|2 · |AD|.
2. Obliczyć długości środkowych i dwusiecznych w trójkącie mając dane długości
jego boków.
3. Obliczyć sumę kwadratów długości środkowych w trójkącie o bokach długości
a, b, c.
4. Wyrazić odległość między środkiem ciężkości a środkiem okręgu opisanego
na trójkącie za pomocą długości boków i promienia okręgu opisanego.
5. Wyrazić, podobnie jak w zadaniu 4, odległości pomiędzy: ortocentrum trójkąta,
środkiem okręgu dziewięciu punktów, środkiem ciężkości i środkiem okręgu
opisanego.
6. Twierdzenie Cevy. Niech punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach BC,
CA, AB trójkąta ABC. (Punkty te są różne od wierzchołków.) Odcinki AA1 ,
BB1 , CC1 przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
|AC1 | |BA1 | |CB1 |
·
·
= 1.
|C1 B| |A1 C| |B1 A|
7. Udowodnić, że odcinki AA1 , BB1 i CC1 mają punkt wspólny (gdzie A1 leży na
boku BC, B1 na CA, a C1 na AB w trójkącie ABC), jeśli:
(1) A1 , B1 , C1 są środkami boków,
(2) AA1 , BB1 , CC1 są dwusiecznymi,
(3) A1 , B1 , C1 są spodkami wysokości w trójkącie ostrokątnym,
(4) A1 , B1 , C1 są punktami styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta,
(5) A1 , B1 , C1 są punktami styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta.
8. Twierdzenie van Aubela. Jeżeli punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach
BC, CA, AB trójkąta ABC i odcinki AA1 , BB1 , CC1 przecinają się w punkcie O,
to
|AC1 | |AB1 |
|AO|
=
+
.
|OA1 |
|C1 B| |B1 C|
9. Niech punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na
bokach BC, CA, AB trójkąta ABC i niech
C
|BA1 |
|CB1 |
1
|AC1 |
=
=
= .
|C1 A|
|A1 C|
|B1 A|
2
B1
Udowodnić, że pole trójkąta zacieniowanego
1
jest pola całego trójkąta.
7
A1
A
C1
B
10. (Zad. dom.) Udowodnić, że
d2 = R2 − 2Rr,
gdzie d jest odległością między środkami okręgu opisanego na trójkącie i okręgu wpisanego w trójkąt, a R i r są odpowiednio promieniami tych okręgów.