lista 4 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań nr 4 – spotkanie w dniu 1.12.2007.
Okrąg dziewięciu punktów
1. Udowodnić, że w trójkącie ABC prosta przechodząca przez środek boku AC,
równoległa do boku AB, przecina bok BC w jego środku.
2. Udowodnić, że w każdym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest
równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego
boku.
3. W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu opisanego, punkt H jest ortocentrum (punktem przecięcia wysokości), D jest środkiem odcinka BC, a P
jest środkiem odcinka AH. Wykazać, że środki odcinków OH i DP pokrywają
się.
4. Udowodnić, że w każdym trójkącie:
(1) środki boków trójkąta,
(2) spodki wysokości,
(3) środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z jego wierzchołkami,
leżą na jednym okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem dziewięciu punktów.
5. Wyznaczyć promień okręgu dziewięciu punktów i położenie środka tego okręgu.
6. Udowodnić, że w trójkącie: środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości trójkąta, środek okręgu dziewięciu punktów i ortocentrum leżą na jednej
prostej. Tę prostą nazywamy prostą Eulera.
7. (Zadanie domowe.) W trójkącie ABC punkt H jest ortocentrum, punkty K i L
są spodkami wysokości opuszczonych odpowiednio z punktów A i B, a punkt
R jest środkiem odcinka CH. Dowieść, że w okręgu dziewięciu punktów tego
trójkąta punkt R jest środkiem łuku KL.