Teoria Grafów – PPT 4.10.2016 Lista 1. Podstawowe pojęcia teorii

Teoria Grafów – PPT
Lista 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów.
4.10.2016
1. Ile jest wszystkich grafów etykietowanych o wierzchołkach 1, 2, . . . , n?
2. Ile jest wszystkich grafów etykietowanych o n wierzchołkach i k krawędziach, gdy pytamy o:
a) grafy;
b) grafy z pętlami;
c) multigrafy, tzn. grafy z wielokrotnymi krawędziami?
3. Ile jest nieizomorficznych grafów (prostych) o: a) 4 wierzchołkach; b) 5 wierzchołkach?
4. Ciągiem stopni grafu G o n wierzchołkach nazywamy ciąg długości n, którego elementami są stopnie wszystkich jego
wierzchołków uporządkowane niemalejąco. Czy prawdziwe są zdania:
a) każde dwa grafy izomorficzne mają ten sam ciąg stopni;
b) każde dwa grafy o tym samym ciągu stopni są izomorficzne?
5. Dla każdej pary spośród poniższych grafów wskaż izomorfizm lub uzasadnij
s
s
s
s
s
s
s
b)
a) s
@
@
@s
s
s
s
s
@s s
s
s
s
@
s @
s
s s
s s
@
s @s
@
@s
s
s @s
@s
s
s
s
s
jego brak:
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
6. Dla jakich n istnieje graf n-wierzchołkowy, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3?
7. Dla jakich n istnieje graf n-wierzchołkowy, w którym każdy wierzchołek ma stopień albo 2 albo 3, a wierzchołki
sąsiednie są różnych stopni? Narysuj dwa różne takie grafy o tej samej liczbie wierzchołków.
8. Ile wierzchołków i krawędzi ma kostka n-wymiarowa?
9. Uzasadnij, że każdy graf ma przynajmniej dwa wierzchołki tego samego stopnia.
10. Czy można narysować na płaszczyźnie 9 odcinków tak, aby każdy przecinał dokładnie trzy inne?
11. Podaj przykład symetrycznej sieci komunikacyjnej pomiędzy 10 miastami takiej, że z dowolnego miasta można
dostać się do każdego innego z co najwyżej jedną przesiadką, a z każdego miasta są co najwyżej trzy połączenia.
Czy możliwa jest taka sieć dla 8, 9 czy 11 miast?
12. Zapisz macierz sąsiedztwa dla: a) grafu dwudzielnego K3,3 ; b) grafu ośmiościanu; c) cyklu Cn . W podpunkcie a)
podaj wzór na n-tą potęgę tej macierzy.
13. Które z poniższych grafów są (pół)eulerowskie, a które (pół)hamiltonowskie?
14. Ile razy trzeba oderwać ołówek od papieru, rysując każdy z powyższych grafów, jeżeli żadnej linii nie można rysować
dwukrotnie?
15. Kiedy graf pełny jest grafem eulerowskim, a kiedy hamiltonowskim?
dwudzielnych.
To samo pytanie dla grafów pełnych
16. Wiadomo, że ruchem konika można obejść pola szachownicy 8 × 8 tak, aby na każdym być dokładnie jeden raz i
skończyć w polu początkowym. Czy istnieje taka droga dla szachownicy 7 × 7? A dla 4 × 4?
17. Czy graf Petersena jest hamiltonowski? A półhamiltonowski?
18. Uzasadnij, że warunek „deg v > n/2” w tw. Diraca nie może być zastąpiony warunkiem „deg v > ⌊n/2⌋”.
19. Czy prosty graf regularny stopnia r, mający 2r + 1 wierzchołków, musi być eulerowski?
20. (D. G. Wells, Recreations in logic, Dover 1979) Rysunek obok przedstawia układ
pokoi w willi milionera pana Triangulakisa. Każdy z 25 trójkątnych pokoi ma drzwi
do każdego z pokoi obok. Służąca ma codziennie sprzątać możliwie dużo pokoi, ale do
żadnego nie może wchodzić dwukrotnie, a nawet nie ma prawa dwukrotnie przechodzić
przez te same drzwi. Zacząć może, gdzie chce. Ile pokoi musi pominąć?
T
T
T
T
T
T
T
T
21*. Udowodnij, że w 17-osobowym towarzystwie, w którym każda osoba zna dokładnie 4 inne, znajdą się dwie osoby,
które się nie znają i nie mają wspólnych znajomych.
1/1