Teoria grafów II rok inf. PPT Lista 1 1. Narysować wszystkie

Teoria grafów
II rok inf. PPT
Lista 1
1. Narysować wszystkie nieizomorficzne grafy proste o pięciu wierzchołkach i czterech krawędziach.
2. Dla jakich n istnieją grafy proste o n wierzcholkach, w których każdy wierzchołek ma stopień
r = 3? Narysować wszystkie niezomorficzne takie grafy dla n = 6.
3. Graf prosty ma 7 wierzchołków, a każdy jego wierzchołek ma taki sam stopień r > 0. Jakie
wartości może przyjąć liczba r? Podać realizacje.
4. Multigraf (tzn., graf, o którym nie zakładamy, że jest prosty) bez pętli ma 4 wierzchołki i każdy
wierzchołek jest stopnia r = 3. Narysować wszystkie nieizomorficzne multigrafy o podanych
parametrach.
5. Ile cykli jako podgrafy zawiera graf pełny o n wierzchołkach?
6. Trójka wierzchołków x, y, z w grafie prostym G = hX, Ri jest trójkątem, jeżeli każda para
wierzchołków w tej trójce jest połączona krawędzią, tzn. xRy, yRz, zRx. Jaką największą
liczbę krawędzi może mieć graf prosty o n wierzchołkach dla n = 6 i n = 7, jeżeli nie zawiera
trójkątów? Jakiego typu są te dwa grafy?
7. Każdy z jedenastu uczestników konferencji znał dokładnie trzech albo dokładnie pięciu uczestników tej konferencji. Czy mogła się odbyć taka konferencja? Zakładamy, że jeśli osoba A zna
B, to B zna również A. Przyjmujemy też, że nie uwzględniamy petli.
8. Czy można narysować na płaszczyźnie 9 odcinków w taki sposób, aby każdy przecinał się
dokładnie z trzema innymi?
9. Udowodnić, że w grupie złożonej z 13 osób znajdują się dwie osoby, które mają taką samą liczbę
znajomych.
10. Dany jest graf prosty o n wierzchołkach, każdy stopnia 2 lub 3. Wierzchołki sąsiadujące, tzn.
połączone krawędzią, mają różne stopnie. Dla jakich n istnieją takie grafy? Znaleźć wszystkie
nieizomorficzne takie grafy dla n = 10.