Wykład 3. Własnosci grafów

Transkrypt

Podstawowe własności grafów
Wykład 3.
Własności grafów
1 / 87
Działania na grafach
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Suma grafów
Niech będą dane grafy proste G1 = (V1 , E1 ) oraz G2 = (V2 , E2 ).
2 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Suma grafów
Wówczas
Definicja
Graf G = (V , E ) nazywamy sumą grafów G1 i G2 i oznaczamy G = G1 ∪ G2 ,
gdy V = V1 ∪ V2 oraz E = E1 ∪ E2
3 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Suma grafów
Wówczas
Definicja
Graf G = (V , E ) nazywamy sumą grafów G1 i G2 i oznaczamy G = G1 ∪ G2 ,
gdy V = V1 ∪ V2 oraz E = E1 ∪ E2
G1
a
c
b
e
G2
d
4 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Zespolenie grafów
Definicja
Graf G = (V , E ) nazywamy zespoleniem grafów G1 i oznaczmy G2
G = G1 + G2 , gdy V = V1 ∪ V2 oraz
E = E1 ∪ E2 ∪ {{v1 , v2 } : v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 }
5 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Zespolenie grafów
Definicja
G = G1 + G2 , gdy V = V1 ∪ V2 oraz
E = E1 ∪ E2 ∪ {{v1 , v2 } : v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 }
G+
1
a
G2
c
d
b
e
6 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Zespolenie grafów
Definicja
G = G1 + G2 , gdy V = V1 ∪ V2 oraz
E = E1 ∪ E2 ∪ {{v1 , v2 } : v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 }
G+
1
a
G2
c
d
b
e
Twierdzenie
Jeśli G = G1 + G2 , to |V | = |V1 | + |V2 | oraz |E | = |E1 | + |E2 | + |V1 | ∗ |V2 |.
7 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf regularny
Definicja
Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy
grafem regularnym.
8 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf regularny
Definicja
grafem regularnym.
Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r , to graf ten nazywamy grafem
regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3
nazywamy grafem kubicznym.
9 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf regularny
Definicja
grafem regularnym.
Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r , to graf ten nazywamy grafem
regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3
nazywamy grafem kubicznym.
a)
b)
c)
d)
e)
Własność
Graf r -regularny o n wierzchołkach posiada
nr
2
krawędzi.
10 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph)
Definicja
k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją
nieujemne liczby λ i µ takie, że
11 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
1
dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje
dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v ,
12 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
1
2
dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje
dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v
13 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
1
2
Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ)
14 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
1
2
Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ)
1
8
2
3
7
4
6
5
(8, 4, 0, 4)
15 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
Definicja
Grafem trójkątnym Tn nazywamy graf prosty, którego wierzchołki
odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru
n−elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i
tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste.
16 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
Definicja
Grafem trójkątnym Tn nazywamy graf prosty, którego wierzchołki
odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru
n−elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i
tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste.
{1,3}
{1,2}
T2
{2,3}
T3
17 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf T4
Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
18 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf T4
Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
{1,3}
{1,4}
{1,2}
{3,4}
{2,4}
{2,3}
19 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
Własności grafu Tn
1
Graf Tn ma |V | =
n
2
=
n(n−1)
2
wierzchołków.
20 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
n
2
n(n−1)
2
1
Graf Tn ma |V | =
2
Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n − 4.
=
wierzchołków.
21 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
n
2
n(n−1)
2
1
Graf Tn ma |V | =
2
3
n − 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v , jeżeli u i
v są sąsiednie.
=
wierzchołków.
22 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
n
2
n(n−1)
2
1
Graf Tn ma |V | =
2
3
v są sąsiednie.
4
4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v , jeżeli u i v nie są
sąsiednie.
=
wierzchołków.
23 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Grafy trójkątne
n
2
n(n−1)
2
1
Graf Tn ma |V | =
2
3
v są sąsiednie.
4
4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v , jeżeli u i v nie są
sąsiednie.
=
wierzchołków.
Wniosek
Grafy trójkątne są grafami silnie regularnymi, które charakteryzuje ciąg
!
!
n
, 2n − 4, n − 2, 4
2
24 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pełny
Definicja
Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią
nazywamy grafem pełnym . Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy
symbolem Kn .
25 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pełny
Definicja
Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią
nazywamy grafem pełnym . Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy
symbolem Kn .
K1
K2
K3
K4
K5
26 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pełny
Własność
Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym Kn wynosi n − 1.
27 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pełny
Własność
Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym Kn wynosi n − 1.
Twierdzenie
Graf pełny Kn ma
|EKn | =
n (n − 1)
2
krawędzi.
28 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pusty
Definicja
Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest
pusty zbiór wierzchołków, czyli |V | > 0 oraz |E | = 0). Graf pusty mający n
wierzchołków oznaczamy symbolem Nn .
29 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pusty
Definicja
N8
30 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pusty
Definicja
Własność
1
Graf Nn składa się z n
wierzchołków izolowanych.
N8
31 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pusty
Definicja
Własność
1
Graf Nn składa się z n
wierzchołków izolowanych.
2
Graf Nn jest grafem regularnym
stopnia 0.
N8
32 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf cykliczny
Definicja
Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny
mający n wierzchołków oznaczamy symbolem Cn .
33 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf cykliczny
Definicja
C5
34 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf cykliczny
Definicja
Własność
1
W grafie cyklicznym każde dwie
sąsiednie krawędzie są
połączone szeregowo.
C5
35 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf cykliczny
Definicja
Własność
1
W grafie cyklicznym każde dwie
sąsiednie krawędzie są
połączone szeregowo.
2
Graf cykliczny Cn posiada n
krawędzi.
C5
36 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf liniowy
Definicja
Jeżeli z grafu Cn usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf
nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem Pn .
37 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf liniowy
Definicja
P6
38 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf liniowy
Definicja
Własność
1
Graf Pn nie jest grafem
regularnym.
P6
39 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf liniowy
Definicja
Własność
P6
1
Graf Pn nie jest grafem
regularnym.
2
Graf Pn posiada zawsze 2
wierzchołki stopnia pierwszego,
a pozostałe n − 2 wierzchołki są
stopnia drugiego.
40 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Koło
Definicja
Kołem Wn nazywamy graf Wn = Cn−1 + N1 .
41 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Koło
Definicja
Kołem Wn nazywamy graf Wn = Cn−1 + N1 .
N1
C5
W6
W6 = C5 + N1
42 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf dwudzielny
Niech G = (V , E ) będzie grafem prostym.
Definicja
Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą
dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V1 i V2 , takich, że każda krawędź
tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V1 z wierzchołkiem ze zbioru V2 .
43 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf dwudzielny
Niech G = (V , E ) będzie grafem prostym.
Definicja
Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą
dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V1 i V2 , takich, że każda krawędź
tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V1 z wierzchołkiem ze zbioru V2 .
x1
x2
x3
x3
y2
x2
y3
x1
y1
y1
y2
44 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf dwudzielny
Twierdzenie
Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość
parzystą.
45 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf dwudzielny
Twierdzenie
Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość
parzystą.
Dowód. Niech V = V1 ∪ V2 oraz niech v0 v1 v2 . . . vm v0 będzie cyklem w G .
Załóżmy, bez straty ogólności, że v0 ∈ V1 , wtedy v1 ∈ V2 , v2 ∈ V1 , itd.
(Wierzchołki o indeksach parzystych należą do zbioru V1 , a o indeksach
nieparzystych do zbioru V2 ). Ponieważ cykl jest długości m oraz vm ∈ V2 ,
więc cykl ma długość parzystą.
46 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf pełny dwudzielny
Definicja
Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek
zbioru V1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V2 dokładnie jedną
krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym |V1 | = r i |V2 | = s oznaczamy
symbolem Kr ,s .
47 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
symbolem Kr ,s .
x2
x3
x2
x1
y1
y1
x1
K 2,2
K 1,3
y2
x3
y3
y2
x1
x1
x3
y2
x2
x3
Własność
x2
y1
K 2,3
x1
y1
K 2,3
x2
y2
1
Kr ,s = Nr + Ns
x3
x2
x1
K 3,3
y1
y1
y2
K 3,3
y3
48 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
symbolem Kr ,s .
x2
x3
x2
x1
y1
y1
x1
K 2,2
K 1,3
y2
x3
y3
y2
x1
x1
x3
y2
x2
x3
Własność
x2
y1
K 2,3
x1
y1
K 2,3
x2
y2
x3
1
Kr ,s = Nr + Ns
2
Każdy graf Kr ,s
ma r + s
wierzchołków.
x2
x1
K 3,3
y1
y1
y2
K 3,3
y3
49 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
symbolem Kr ,s .
x2
x3
x2
x1
y1
y1
x1
K 2,2
K 1,3
y2
x3
y3
y2
x1
x1
x3
y2
x2
x3
Własność
x2
y1
K 2,3
x1
y1
K 2,3
x2
y2
K 3,3
y1
y1
y2
K 3,3
Kr ,s = Nr + Ns
2
Każdy graf Kr ,s
ma r + s
wierzchołków.
3
Każdy graf Kr ,s
ma r · s krawędzi.
x3
x2
x1
1
y3
50 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Algorytm testowania dwudzielności grafu
BIPART(G , s; S, T , bip)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Algorytm
Dane: G spójny graf, dowolny
Q ← 0, bip ← true, S ← ∅
wierzchołek s grafu G
for każdy v ∈ V
Wynik: jeżeli graf jest dwudzielny,
do
wówczas bip ma wartość true oraz
d(v ) ← ∞
generowane
są zbiory S i T , takie,
d(s) ← 0, s ⇒ Q
że
S
∪
T
=
V
i S ∩T =∅
while Q 6= ∅ and bip = true
do
u ← head [Q]
for każdy v ∈ Adj[u]
do
if d(v ) = ∞ then d(v ) ← d(u) + 1; v ⇒ Q
else if d(u) = d(v ) then bip ← false
if bip = true
then
for v ∈ V
do
if d(v ) = 0(mod2) then S ← S ∪ {v }
T ←V \S
51 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Kostki
Definicja
Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a1 , a2 , . . . , an ), oraz
którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem
nazywamy n−kostką Qn .
52 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Kostki
Definicja
Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a1 , a2 , . . . , an ), oraz
którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem
nazywamy n−kostką Qn .
101
100
110
010
000
111
011
001
53 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
W trakcie przyjęcia pan Szaradek udał się do toalety. W tym czasie goście
rozłożyli na stole w jednym rzędzie (w losowy sposób) n > 1 monet i podali
liczbę ze zbioru {1, ..., n}. Pani Szaradkowa odwróciła do góry nogami
dokładnie jedną monetę. Czy patrząc na układ monet na stole Pan Szaradek,
który wrócił z toalety już po odwróceniu monet, jest w stanie odpowiedzieć
na pytanie jaką liczbę podali goście?
Wskazówka: Rozstrzygnąć, dla jakich n jest to możliwe.
54 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf krawędziowy
Definicja
Grafem krawędziowym L(G ) grafu G , nazywamy graf, którego wierzchołki
odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa
wierzchołki w grafie L(G ) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy
odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G .
55 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf krawędziowy
Definicja
Grafem krawędziowym L(G ) grafu G , nazywamy graf, którego wierzchołki
odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa
wierzchołki w grafie L(G ) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy
odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G .
56 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Dopełnienie grafu
Definicja
Dopełnieniem grafu G = (V , E ) nazywamy graf G , którego zbiór
wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są
sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G .
57 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Dopełnienie grafu
Definicja
u
u
v
y
x
w
y
x
v
w
Własność
1
Dopełnieniem grafu pełnego Kn jest graf pusty Nn .
58 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Dopełnienie grafu
Definicja
u
u
v
y
x
w
y
x
v
w
Własność
1
Dopełnieniem grafu pełnego Kn jest graf pusty Nn .
2
Dopełnieniem grafu pełnego dwudzielnego Kr ,s są dwa grafy pełne Kr i
Ks .
59 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Podgraf grafu
Definicja
Graf H = hVH , EH , γH i jest podgrafem grafu G = hVG , EG , γG i wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnione są warunki:
VH ⊂ VG
EH ⊂ EG
γH = γG |EH
x5
f
x4
b
a
x1
c
G
x3
x5
e
g
x3
x4
g
d
x2
x5
b
a
d
e
f
G’1
x3
x1
c
x4
G’2
60 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Własności podgrafów
Własność
1
Każdy graf jest swoim własnym podgrafem.
61 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Własność
1
2
Podgraf G 00 podgrafu G 0 grafu G jest podgrafem grafu G tzn
G 0 ⊂ G ∧ G 00 ⊂ G 0 ⇒ G 00 ⊂ G .
62 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Własność
1
2
3
G 0 ⊂ G ∧ G 00 ⊂ G 0 ⇒ G 00 ⊂ G .
Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G .
63 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Własność
1
2
G 0 ⊂ G ∧ G 00 ⊂ G 0 ⇒ G 00 ⊂ G .
3
4
Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu
G.
64 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Własność
1
2
G 0 ⊂ G ∧ G 00 ⊂ G 0 ⇒ G 00 ⊂ G .
3
4
G.
5
Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego
Kn .
65 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Własność
1
2
G 0 ⊂ G ∧ G 00 ⊂ G 0 ⇒ G 00 ⊂ G .
3
4
G.
5
Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego
Kn .
6
Liczba wszystkich różnych grafów prostych zawierających n
wierzchołków jest równa
2
n(n−1)
2
66 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Podgrafy grafu
Niech dany będzie graf G = hV , E , γi i krawędź e ∈ E .
G − e oznacza podgraf otrzymany z grafu G przez usunięcie krawędzi e.
Niech F będzie dowolnym podzbiorem zbioru krawędzi grafu G (F ⊂ E ),
wówczas G − F oznacza podgraf grafu G powstały przez usunięcie
wszystkich krawędzi należących do zbioru F .
u
d
f
e
v
c
b
d
f
e
v
a
G
y
z
u
z
f
x
a
G - b
e
v
c
g
g
x
u
z
y
c
g
x
y
a
G - {d,b}
67 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Podgrafy grafu
Niech dany będzie graf G = hV , E , γi i niech wierzchołek v ∈ V .
G − v oznacza podgraf grafu G otrzymany z G przez usunięcie wierzchołka v
i wszystkich krawędzi do niego incydentnych.
Jeżeli S jest dowolnym podzbiorem zbioru wierzchołków V grafu G
(S ⊂ V ∧ S 6= V ), to G − S oznacza graf, który otrzymamy z grafu G przez
usunięcie wszystkich wierzchołków należących do zbioru S i wszystkich
krawędzi incydentnych do dowolnego wierzchołka ze zbioru S.
u
u
f
v
e
v
a
g
x
a
y
G - z
g
x
y
G - {z,u}
v
y
G - {z,x}
68 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Graf częściowy
Definicja
Graf H nazywamy grafem częściowym lub grafem spinającym grafu G jeżeli
jest podgrafem G i VH = VG .
x5
x5
x4
x3
x1
G
x2
x4
x3
x1
H
x2
69 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone
krawędzią.
70 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone
krawędzią.
71 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak,
aby razem z nią również tworzył klikę.
72 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o
większej liczbie wierzchołków.
73 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(G ).
74 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
75 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Klika
Definicja
76 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Podgraf indukowany
Definicja
Podgrafem indukowanym H = (VH , EH ) grafu G = (V , E ), nazywamy graf,
w którym VH ⊂ V oraz EH = {{u, v } : u, v ∈ VH oraz {u, v } ∈ E }
podgraf indukowany G [1, 2, 3, 5, 7, 10]
77 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Składowe spójne grafu
Definicja
Każdy spójny podgraf G1 grafu G (G1 ⊂ G ), który nie jest zawarty w
większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania
zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną
grafu G .
78 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
grafu G .
x
y
a
c
x6
b
d
w
z
x
x3
79 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Definicja
grafu G .
x
y
a
c
b
d
w
z
Oczywiście każdy wierzchołek izolowany danego grafu jest jego spójna
składową.
x6
x
x3
80 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Twierdzenie
Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n − 1 krawędzi.
81 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Twierdzenie
Twierdzenie
Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia
zależność
n(n − 1)
n−1≤m ≤
2
82 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Twierdzenie
Twierdzenie
Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia
zależność
n(n − 1)
n−1≤m ≤
2
Twierdzenie
Niech G będzie grafem prostym o n wierzchołkach. Jeżeli graf G ma k
składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia nierówność
n−k ≤m ≤
1
(n − k) (n − k + 1)
2
Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż
jest spójny.
(n−1)(n−2)
2
krawędzi
83 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Lemat
Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n − 1 krawędzi.
84 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Lemat
Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n − 1 krawędzi.
Twierdzenie
Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas dowolne dwa warunki
implikują trzeci.
1
G jest spójny
2
G jest acykliczny
3
G posiada dokładnie n − 1 krawędzi
85 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Algorytm sprawdzający spójność grafu
Dane: graf G = (V , E )
Spojny(G )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
for wszystkie v ∈ V
do
odwiedzony [v ] = false
v - dowolny wierzchołek grafu
S ←v
while istnieje wierzchołek w S dla którego odwiedzony [v ] = false
do
N ← zbiór wszystkich sąsiadów wierzchołka v
S ←S ∪N
odwiedzony [v ] = true
if S = V
then graf spójny
else graf niespójny
86 / 87
Rodzaje grafów
Podgrafy
Grafy spójne
Dziękuję za uwagę!!!
87 / 87

Wykład 3. Własnosci grafów

Transkrypt

Podobne dokumenty

zadania - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Teoria grafów Lista 3 1. Które z poniższych grafów są

CZĘŚĆ IV - grafy i sieci

Teoria Grafów – PPT 4.10.2016 Lista 1. Podstawowe pojęcia teorii

Matematyka dyskretna Zestaw 8. 1. Wiadomo, że zbiór V ma n

IiE Matematyka Dyskretna Lista 5 1. Dane jest drzewo T = (V,E

POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza

Spis treści - Naukowa.pl

Matematyka Matematyka Dyskretna Lista 2 1. Które z podanych par