Rachunek prawdopodobieństwa

Nazwa przedmiotu:
Rachunek prawdopodobieństwa
Probability theory
Kierunek:
Matematyka
Rodzaj przedmiotu:
Poziom kwalifikacji:
Semestr:
obowiązkowy dla wszystkich
specjalności
I stopnia
III
Rodzaj zajęć:
Liczba godzin/tydzień:
Liczba punktów:
wykład, ćwiczenia
2WE, 2C
6 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C1. Przedstawienie studentom teorii rachunku prawdopodobieństwa jako teorii matematycznej.
C2. Wskazanie studentom związku teorii prawdopodobieństwa z praktyką modelowania zjawisk
losowych i podejmowania decyzji w warunkach niepewności.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1. Wiedza z podstaw teorii zbiorów i algebry liniowej.
2. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III.
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK 1 – potrafi zdefiniować podstawowe pojęcia oraz sformułować podstawowe twierdzenia z
zakresu rachunku prawdopodobieństwa,
EK 2 – wymienia najważniejsze klasy rozkładów prawdopodobieństwa i potrafi
scharakteryzować zjawiska rzeczywiste których modelami mogą być te rozkłady,
EK 3 – potrafi przeanalizować związki pomiędzy podwektorami wektorów losowych, znaleźć ich
rozkłady oraz wyprowadzać rozkłady funkcji od zmennych losowych w typowych
sytuacjach,
EK 4 – potrafi obliczyć i interpretować podstawowe liczbowe charakterystyki zmiennych i
wektorów losowych.
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć – WYKŁADY
Liczba
godzin
W 1 – Wstęp. Elementy teorii miary (ciała zbiorów, funkcje zbiorów, definicja miary).
2
W 2 – Klasyfikacja miar. Przykłady miar. Funkcje mierzalne.
2
W 3 – Definicja całki względem miary. Kryteria całkowalności, twierdzenia Lebesguea,
Lemat Fatou.
2
W 4 – Absolutna ciągłość miar. Pochodna Radona-Nikodyma, gęstość miary. Przykłady.
Równoważne rodziny miar.
2
W 5 – Przestrzenie probabilistyczne, aksjomatyka Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo
warunkowe, niezależność zdarzeń.
2
W 6 – Wzór Bayesa. Prawdopodobieństwo całkowite. Prawo zero-jedynkowe
Kołmogorowa, Lemat Borella-Cantelliego.
2
W 7 – Zmienna losowa, rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta, liczbowe charakterystyki
zmiennej losowej. Funkcje charakterystyczne.
2
W 8 – Obliczanie charakterystyk rozkładów w typowych sytuacjach.
2
W 9 – Ważne klasy rozkładów prawdopodobieństwa w modelowaniu zjawisk
rzeczywistych.
2
W 10 – Wektory losowe, dystrybuanta wielowymiarowa. Rozkłady łączne, brzegowe.
Niezależność zmiennych losowych.
2
W 11 – Warunkowe wartości oczekiwane zmiennych losowych. Rozkłady warunkowe.
2
W 12 – Liczbowe charakterystyki rozkładów wektorów (Macierz kowariancji,
współczynniki korelacji-ich rodzaje i interpretacja). Wielowymiarowy rozkład normalny.
2
W 13 – Rozkłady funkcji wektorów losowych. Rozkład sumy i różnicy zmiennych
losowych. Sploty rozkładów. Nierówności Markowa, Czebyszewa i Kołmogorowa.
2
W 14 – Ciągi zmiennych losowych, rodzaje zbieżności. Słabe prawa wielkich liczb i
mocne prawa wielkich liczb.
2
W 15 – Centralne twierdzenia graniczne.
2
Forma zajęć – ĆWICZENIA
Liczba
godzin
C 1 – Istota rachunku prawdopodobieństwa. Interpretacje prawdopodobieństwa.
Klasyczna i geometryczna definicja prawdopodobieństwa.
2
C 2 – Elementy kombinatoryki w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa.
2
C 3 – Ciała i σ-ciała zbiorów. Sprawdzanie mierzalności funkcji. Konstrukcje funkcji
mierzalnych w prostych przypadkach.
2
C 4 – Całkowanie funkcji mierzalnych, stosowanie poznanych kryteriów. Dowodzenie
prostych faktów związanych z całką Lebesguea.
2
C 5 – Rozkłady absolutnie ciągłe wz. miary i liczącej i wzg. miary Lebesqua. Własności
gęstości miar unormowanych.
2
C 6 – Podstawowych wzory rachunku prawdopodobieństwa i ich zastosowania.
2
C 7 – Kolokwium.
2
C 8 – Dystrybuanty i gęstości.
2
C 9 – Obliczanie i interpretacja charakterystyk rozkładu.
2
C 10 – Ważne klasy rozkładów prawdopodobieństwa.
2
C 11 – Rozkłady łączne, brzegowe - związki.
2
C 12 – Warunkowe wartości oczekiwane zmiennych losowych.
2
C 13 – Rozkłady funkcji wektorów losowych.
2
C 14 – Nierówności Markowa, Czebyszewa i Kołmogorowa. Twierdzenia graniczne.
2
C 15 – Kolokwium.
2
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych
2. – materiały wykładowe w wersji elektronicznej
3. – zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania
4. – ćwiczenia audytoryjne
SPOSOBY OCENY ( F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
F1. – ocena przygotowania do ćwiczeń oraz aktywności studenta
F2. – ocena z kontrolowanej pracy własnej
P1. – ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów oraz sposobu prezentacji
uzyskanych wyników – dwa kolokwia zaliczeniowe na ocenę
P2. – ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu – egzamin
sprawdzający opanowanie treści i umiejętności przekazywanych podczas wykładu
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
Godziny kontaktowe z prowadzącymi
30W 30C → 60 h
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
20 h
Przygotowanie do ćwiczeń
23 h
Przygotowanie do kolokwiów
20 h
Obecność na konsultacjach
5h
Przygotowanie do egzaminu
20 h
Obecność na egzamine
2h
Suma
150 h
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS
6 ECTS
DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
2,7 ECTS
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym
3,1 ECTS
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa , SCRIPT, Warszawa 2001
P. Billinglsey, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987
A. Borowkow, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1975
W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I i II, PWN, Warszawa 1980
A. Plucińska A., E. Pluciński, Probabilistyka, WNT, Warszawa 2009
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna w zadaniach, cz. I, PWN, Warszawa, wydanie 1994 lub nowsze
M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, 1969.
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. dr hab. Michał Matałycki, prof zw. [email protected]
2. dr inż. Andrzej Grzybowski [email protected]
MATRYCA REALZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Efekt
kształcenia
EK1
EK2
Odniesienie
danego efektu
do efektów
zdefiniowanych
dla kierunku
Matematyka
K_W01
K_W02
K_U01
K_U02
K_U06
K_U14
K_U23
K_U30
K_U31
K_U32
K_U33
K_W01
K_W02
K_W04
K_U01
K_U30
K_U31,
Cele
przedmiotu
C1 ,C2, C3
C2, C3
Treści
programowe
W1-15
C1-15
W9-12
C10-12
Narzędzia
dydaktyczne
Sposób
oceny
1-4
F1
F2
P1
P2
1-4
F1
F2
P1
P2
EK3
K_U01
K_U16
K_U30
K_U31
EK4
K_U01
K_U30
K_U31
C1, C2, C3
C2, C3
W10-13
C11-13
W8,9,12,13
C9,10,12,13
1-4
F1
F2
P1
P2
1-4
F1
F2
P1
P2
II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY
Na ocenę 2
EK 1
Umie mniej niż
na ocenę dst.
Na ocenę 3
Na ocenę 4
Potrafi zdefiniować
podstawowe pojęcia
oraz sformułować
podstawowe
twierdzenia z zakresu
rachunku
prawdopodobieństwa.
Potrafi zdefiniować
większość pojęć oraz
sformułować
większość twierdzeń z
zakresu rachunku
prawdopodobieństwa.
Na ocenę 5
Potrafi zdefiniować
większość pojęć oraz
sformułować większość
twierdzeń z zakresu
rachunku
prawdopodobieństwa.
Dodatkowo potrafi także
udowodnić wybrane
twierdzenia.
EK 2
Umie mniej niż
na ocenę dst.
Zna wszystkie klasy
rozkładów
wprowadzone na
wykładzie. Umie je
zdefiniować. Umie tam gdzie to możliwe wykorzystać zależność
liczbowych
charakterystyk
rozkładu od jego
parametrów (być
może z pomocą
notatek). W przypadku
najważniejszych
rozkładów zna
przykłady zjawisk
rzeczywistych dla
których dany rozkład
jest dobrym modelem
(dotyczy to m.in.
rozkładu normalnego,
wykładniczego,
dwumianowego,
Poissona).
Zna wszystkie klasy
rozkładów
wprowadzone na
wykładzie. Umie je
zdefiniować. Potrafi w
większości
przypadków podać ich
najważniejsze
własności. Umie - tam
gdzie to możliwe podać zależność
liczbowych
charakterystyk
rozkładu od jego
parametrów. Na ogół
potrafi
scharakteryzować i
podąć przykłady
zjawisk rzeczywistych
dla których dany
rozkład jest dobrym
modelem.
Zna wszystkie klasy
rozkładów omówione na
wykładzie oraz także te,
które trzeba było poznać w
ramach pracy własnej. Umie
je zdefiniować oraz zna ich
najważniejsze własności.
Umie - tam gdzie to możliwe
- podać zależność
liczbowych charakterystyk
rozkładu od jego
parametrów. Potrafi
scharakteryzować i podać
przykłady zjawisk
rzeczywistych dla których
dany rozkład jest dobrym
modelem.
EK 3
Umie mniej niż
na ocenę dst.
Zna pojęcie rozkładów
łącznych, brzegowych i
warunkowych. Potrafi
w typowych
sytuacjach wskazać
związki zachodzące
między nimi. Na ogół
potrafi w przypadkach
omówionych na
wykładzie wykorzystać
znajomości rozkładu
łącznego wektora dla
wyznaczenia
podstawowych
charakterystyk jego
współrzędnych. W
prostych przypadkach
potrafi wyznaczyć
rozkłady funkcji od
wektorów losowych (z
pomocą notatek) .
Potrafi obliczać
warunkowe wartości
oczekiwane w
najprostszych
sytuacjach. Zna
pojęcie niezależności
wektorów losowych.
Zna odpowiednie
wyniki formalne.
Zna pojęcie rozkładów
łącznych, brzegowych i
warunkowych. Potrafi
w typowych
sytuacjach wskazać
związki zachodzące
między nimi. Potrafi w
przypadkach
omówionych na
wykładzie wykorzystać
znajomości rozkładu
łącznego wektora dla
wyznaczenia
podstawowych
charakterystyk jego
współrzędnych.
Potrafi wyznaczyć
rozkłady funkcji od
wektorów losowych w
przypadkach
omawianych na
zajęciach. Potrafi
obliczać warunkowe
wartości oczekiwane i
rozróżnia różne ich
rodzaje. Umie
wykorzystać
niezależność
wektorów losowych
przy prowadzeniu
analizy rozkładów.
Zna odpowiednie
większość wyników
formalne.
Zna pojęcie rozkładów
łącznych, brzegowych i
warunkowych. Potrafi
wskazać związki zachodzące
między nimi. Potrafi na
podstawie znajomości
rozkładu łącznego wektora
wyznaczać charakterystyki
jego podwektorów. Potrafi
wyznaczyć rozkłady funkcji
od wektorów losowych.
Potrafi obliczać warunkowe
wartości oczekiwane i
rozróżnia różne ich rodzaje.
W każdym przypadku potrafi
sformułować właściwe
twierdzenia umożliwiające
przeprowadzenie danej
operacji. Zna i umie
wykorzystać pojęcie
niezależności wektorów
losowych w rozmaitych
przekształceniach.
EK 4
Umie mniej niż
na ocenę dst.
Zna podstawowe
liczbowe
charakterystyki
rozkładów jedno i
wielowymiarowych
(wartość oczekiwana,
wariancja, odchylenie
standardowe,
mediana, wsp.
korelacji). W
przypadku znajomości
rozkładu zmiennej
losowej potrafi je
obliczać. Potrafi
przytoczyć
podstawowe wzory
dotyczące tych
charakterystyk. Potrafi
właściwie
interpretować ich
wartości.
Zna liczbowe
charakterystyki
rozkładów jedno i
wielowymiarowych.
Potrafi wykorzystać
znajomość rozkładu
do ich wyznaczenia,
ewentualnie
stwierdzić, że w
danym przypadku nie
istnieją. Potrafi
formułować większość
twierdzeń dotyczących
tych charakterystyk.
Potrafi właściwie
interpretować
wartości większości
podstawowych
charakterystyk
rozkładu.
Zna liczbowe charakterystyki
rozkładów jedno i
wielowymiarowych. Potrafi
wykorzystać znajomość
rozkładu do ich
wyznaczenia, ewentualnie
stwierdzić, że w danym
przypadku nie istnieją.
Potrafi formułować i
dowodzić twierdzenia
dotyczące tych
charakterystyk (w tym
prawa wielkich liczb). Potrafi
właściwie interpretować
wartości poznanych
charakterystyk.
Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia
wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej.
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie
internetowej:
www.wimii.pcz.pl
2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z
danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki:
www.im.pcz.pl