Matematyka dyskretna - zadania Zadanie 1. Sprawdzić, czy dla

Matematyka dyskretna - zadania
Zadanie 1.
Sprawdzić, czy dla każdej relacji określonej w zbiorze niepustym prawdziwe są następujace zdania:
(a) jeśli relacja jest antysymetryczna, to jest antyzwrotna
(b) jeśli relacja jest słabo antysymetryczna, to jest zwrotna
(c) jeśli relacja jest słabo antysymetryczna, to jest antysymetryczna
(d) jeśli relacja jest antysymetryczna, to jest słabo antysymetryczna
Rozwiązanie :
(a)
Załóżmy, że relacja jest antysymetryczna: dla każdych x, y ∈ X jest (x, y) ∈ δ ⇒
(y, x) ∈
/ δ. W szczególności dla x = y dostajemy zdanie sprzeczne: (x, x) ∈ δ ⇒
(x, x) ∈
/ δ, więc para (x, x) nie należy do relacji δ. A zatem relacja jest antyzwrotna.
(b)
Nie. Kontrprzykład:
Rozważmy zbiór X = {1, 2} i relację δ = {(1, 2), (2, 2)}. Tak określona relacja jest
słabo antysymetryczna, lecz nie jest zwrotna.
(c)
Nie. Kontrprzykład:
Rozważmy zbiór X = {1, 2} i relację δ = {(1, 2), (2, 2)}. Tak określona relacja jest
słabo antysymetryczna, lecz nie jest antysymetryczna.
(d)
Jeśli relacja jest antysymetryczna, to (x, y) ∈ δ ⇒ (y, x) ∈
/ δ dla każdych x, y ∈ X.
Wówczas nigdy nie jest spełniony poprzednik implikacji (x, y) ∈ δ ∧ (y, x) ∈ δ w
określeniu słabej antysymetrii. Stąd implikacja jest zawsze prawdziwa.
Zadanie 2.
Pokazać, że relacja δ w zbiorze X jest przechodnia, gdy δ ◦ δ ⊆ δ.
Czy możliwa jest równość: δ ◦ δ = δ
Rozwiązanie: ( ⇒ )
Załóżmy, że relacja δ jest przechodnia. Niech (a, b) ∈ δ ◦ δ. Wtedy:
_
aδc ∧ cδb
c∈X
Ale ponieważ δ jest relacją przechodnią, to (a, b) ∈ δ. A więc δ ◦ δ ⊆ δ.
(⇐)
Załóżmy, że: δ ◦ δ ⊆ δ. Niech (x, y) ∈ δ ◦ δ, a więc:
_
(xδz ∧ zδy)
⇔
x(δ ◦ δ)y
z∈X
Ale z zał. wynika, że (x, y) należy do δ, a więc: (xδz ∧ zδy) ⇒ xδy
Równość δ ◦ δ = δ jest możliwa. Np. dla relacji R ⊂ N ×N określonej w następujący
sposób: xRy ⇔ 2|x + y.
Zadanie 3.
Niech dany będzie n-elementowy zbiór X.
Ile można w tym zbiorze zdefiniować relacji:
a) zwrotnych, b) symetrycznych, c) antyzwrotnych, d) antysymetrycznych
e) słabo antysymetrycznych, f) zwrotnych i symetrycznych
g) antyzwrotnych i symetrycznych, h) zwrotnych i słabo antysymetrycznych
Rozwiązanie: (a)
Wszystkich relacji, które można zdefiniować w n-elementowym zbiorze X jest tyle,
ile jest podzbiorów zbioru X × X, a więc 2nn . Jeśli relacja jest zwrotna, to każdy
element postaci (x, x) należy do relacji. A więc możliwych relacji zwrotnych jest:
2n(n−1) .
(b)
Niech relacja δ ⊂ X × X będzie symetryczna. Wtedy xδy ⇒ yδx, dla dowolnych
x, y ∈ X. Połączmy elementy zbioru X × X w pary, tak aby do każdej pary należały
elementy (x, y) oraz (y, x) - dla dowolnych x, y ∈ X. Jest n elementów, które nie
posiadają pary - są to elementy postaci (x, x).
Zatem liczba możliwych relacji symetrycznych w zbiorze X wynosi: 2n+[n(n−1)/2]
(c)
Jeśli relacja jest antyzwrotna, to żaden element postaci (x, x) nie należy do relacji.
A więc wszystkich możliwych do zdefiniowania w zbiorze n-elementowym relacji antyzwrotnych jest: 2n(n−1)
(d)
Niech relacja δ ⊂ X × X będzie antysymetryczna. Wtedy xδy ⇒ ∼ (yδx), dla dowolnych x, y ∈ X. Połączmy elementy zbioru X × X w pary, tak aby do każdej pary
należały elementy (x, y) oraz (y, x) - dla dowolnych x, y ∈ X.
n elementów nie posiada pary - są to elementy postaci (x, x). Jednak te elementy nie
mogą należeć do relacji antysymetrycznej (por. zad. 1.a)
Defiuniując relacje antysymetryczne należy pamiętać, iż z każdej pary możemy wybrać tylko jeden element: (x, y) albo (y, x), bądź nie wybrać żadnego. Wszystkich
par jest n(n − 1)/2. Stąd wszystkich relacji antysymetrycznych jest: 3[n(n−1)/2]
(e)
Jeśli relacja jest słabo antysymetryczna, to nie mogą do niej należeć jednocześnie
pary (x, y) i (y, x) dla x 6= y. Połączmy zatem elementy zbioru X × X w pary, tak
aby do każdej pary należały elementy (x, y) oraz (y, x) - dla dowolnych x, y ∈ X. n
elementów nie mających pary.
Do każdej relacji słabo antysymetrycznej można wybrać tylko jeden element z pary
lub nie wybrać żadnego. Można wybrać też element postaci (x, x).
Stąd wszystkich relacji słabo antysymetrycznych jest: 2n · 3n(n−1)/2
(f)
Do relacji zwrotnej i symetrycznej należy n par postaci (x, x). Ponadto przynależność
do relacji pary (x, y) pociąga przynależność pary (y, x). Połączmy zatem elementy
zbioru X × X w pary, tak jak w zadaniu 2.b.
Stąd wszystkich relacji zwrotnych i symetrycznych jest: 2n(n−1)/2 .
(g)
Rozumowanie jest analogiczne jak w poprzednim przypadku. Tym razem żadna z
par postaci (x, x) nie należy do relacji. Pozostałe łączymy w pary i dostajemy w
konsekwencji, że wszystkich relacji antyzwrotnych i symetrycznych jest: 2[n(n−1)/2] .
(h)
Do relacji zwrotnej i słabo antysymetrycznej należą wszystkie pary postaci (x, x) i
co najwyżej jeden z pary elementów: (x, y), (y, x).
Stąd relacji zwrotnych i słabo antysymetrycznych jest: 3n(n−1)/2
Zadanie 4.
Zbadać, które działania w zbiorze relacji zachowują własności relacji.
Rozwiąznie:
Niech R, S będą relacjami określonymi w niepustym zbiorze X × X.
(a)
Suma dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną.
Niech R, S będą relacjami zwrotnymi, wówczas: (x, x) ∈ R i (x, x) ∈ S. Zatem
(x, x) ∈ R ∪ S.
(b)
Suma dwóch relacji symetrycznych jest relacją symetryczną.
Niech R, S będą relacjami symetrycznymi i niech (x, y) ∈ R ∪ S. Wtedy (x, y) ∈ R
lub (x, y) ∈ S. Załóżmy, że (x, y) ∈ R, wtedy (y, x) ∈ R, a więc (y, x) ∈ R ∪ S.
Analogicznie dla przypadku (x, y) ∈ S.
(c)
Suma dwóch relacji antyzwrotnych jest relacją antyzwrotną.
Niech R, S będą relacjami antyzwrotnymi, wówczas: (x, x) ∈
/ R i (x, x) ∈
/ S. Zatem
(x, x) ∈
/ R ∪ S.
(d)
Suma relacji antysymetrycznych nie musi być relacją antysymetryczną.
Przykład: Niech X = {1, 2} i niech R = {(1, 2)}, S = {(2, 1)}. Obie relacje są antysymetryczne, zaś R ∪ S = {(1, 2), (2, 1)} nie jest relacją antysymetryczną.
(e)
Suma relacji słabo antysymetrycznych nie musi być relacją słabo antysymetryczną.
Przykład. Jak w przypadku (d). Suma relacji R ∪ S nie jest słabo antysymetryczna.
(f)
Suma dwóch relacji przechodnich nie musi być relacją przechodnią.
Przykład: Niech X = {1, 2, 3} i R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, S = {(2, 1), (1, 3), (2, 3)}.
Obie relacje są przechodnie. Ich suma R ∪ S = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} nie jest
relacją przechodnią - brakuje elementu (1, 1).
(g)
Przekrój dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną.
Ponieważ relacje R, S są zwrotne, to każda para (x, x) należy do tych relacji, a więc
należy także do części wspólnej tych relacji.
(h)
Przekrój dwóch relacji antyzwrotnych jest relacją antyzwrotną.
Ponieważ relacje R, S są antyzwrotne, to żadna para (x, x) nie należy do tych relacji,
a więc także żadna para (x, x) nie należy do części wspólnej.
(i)
Przekrój dwóch relacji symetrycznych jest relacją symetryczną.
Niech R, S będą relacjami symetrycznymi. Niech (x, y) ∈ R ∩ S. Wtedy (x, y) ∈ R i
(x, y) ∈ S. Więc (y, x) ∈ R i (y, x) ∈ S, stąd (y, x) ∈ R ∩ S
(j)
Przekrój dwóch relacji antysymetrycznych jest relacją antysymetryczną.
Niech R, S będą relacjami antysymetrycznymi. Niech (x, y) ∈ R ∩ S. Wtedy (x, y) ∈
R i (x, y) ∈ S. Ponadto (y, x) ∈
/ R i (y, x) ∈
/ S, a więc (y, x) ∈
/ R ∩ S.
(k)
Przekrój dwóch relacji przechodnich jest relacją przechodnią.
Niech R, S będą relacjami przechodnimi i (x, y) ∈ R ∩ S oraz (y, z) ∈ R ∩ S. Wtedy
(x, y) i (y, z) należą zarówno do R jak i do S. Ponieważ obie relacje są przechodnie,
to do obu relacji należy też para (x, z). A więc do przekroju R ∩ S należy element
(x, z).
Zadanie 6.
Znaleźć przechodnie domknięcie relacji następnika w zbiorze liczb naturalnych.
Niech R oznacza relację następnika. R = {(x, y) ∈ X ×X: x = y + 1}.
Ponadto:
R(2) = {(x, y) ∈ X ×X: x = y + 2} . . . R(n) = {(x, y) ∈ X ×X: x = y + n}
Korzystając z lematu udowodnionego w zadaniu 6 wnioskujemy, że:
R∗ = {(x, y) ∈ X ×X: x > y}
Zadanie 7.
Niech dane będą relacje R, S ⊂ X ×X. Jeśli R, S są relacjami równoważności, to:
(a)
Suma dwóch relacji równoważności nie jest relacją równoważności.
Przykład. Niech R, S ⊂ N × N będą takimi relacjami, że xRy ⇔ 2|x − y oraz
xSy ⇔ 3|x + y. Jak łatwo sprawdzić, obie te relacje są relacjami równoważnościowymi. Do sumy tych relacji należą pary (3, 1), (1, 4). Natomiast para (3, 4) do niej
nie należy. Nie jest więc zachowana przechodniość.
(b)
Iloczyn dwóch relacji równoważności jest relacją równoważności.
Istotnie. Iloczyn dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną. Iloczyn dwóch relacji
symetrycznych jest relacją symetryczną. Iloczyn dwóch relacji przechodnich jest relacją przechodnią. (por. zad. 3).
(c)
Złożenie dwóch relacji równoważności nie jest relacją równoważności.
Przykład. Niech X = {1, 2, 3} i niech R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)} i S =
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}. Obie relacje są relacjami równoważności. Jednak
do złożenia tych relacji należy para (3, 2), zaś para (2, 3) do złożenia nie należy. Nie
jest więc spełniony warunek symetryczności.
Zadanie 8.
Przechodnie domknięcie relacji zwrotnej i symetrycznej jest relacją równoważności.
Niech R ⊂ X ×X będzie zwrotna i symetryczna. Wtedy dla każdego x ∈ X jest:
∞
[
(x, x) ∈ R = R(1) ⊂
R(n)
n=1
co oznacza, że przechodne domknięcie relacji R jest relacją zwrotną.
Pokażemy symetryczność przechodniego domknięcia relacji R.
(x, y) ∈
∞
[
R(n) ⇔
n=1
_
(x, y) ∈ R(m)
m∈N
a więc istnieją takie v1 , . . . , vm−1 ∈ X, że: (x, v1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R
Ze względu na symetryczność relacji R jest także:
(v1 , x) ∈ R ∧ . . . ∧ (y, vm−1 ) ∈ R
⇔
(y, vm−1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (v1 , x) ∈ R
Powyższa koniunkcja oznacza jednak, że (y, x) ∈ R(m) .
Dla pokazania przechodniości przechodniego domknięcia relacji R wystarczy zauważyć, że przechodnie domknięcie każdej relacji jest relacją przechodnią.
W myśl powyższych rozważań przechodnie domknięcie relacji zwrotnej i symetrycznej jest relacją równoważności.
Zadanie 9.
Pokazać, że jeżeli R i S są relacjami równoważności to przechodnie domknięcie R ∪ S
jest relacją równoważności.
Rozwiązanie.
Najpierw pokażemy zwrotność. Zauważmy, że (x, x) ∈ R i (x, x) ∈ S, więc:
(x, x) ∈ R ∪ S = (R ∪ S)(1) ⊂
∞
[
(R ∪ S)(n)
n=1
Symetria również zachodzi. Jeśli para (x, y) należy do przechodniego domknięcia
R ∪ S, to istnieje takie m ∈ N , że (x, y) ∈ (R ∪ S)(m) . To z kolei oznacza, że istnieją
takie elementy v1 , . . . , vm−1 , że:
(x, v1 ) ∈ R ∪ S ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R ∪ S
⇔
⇔
((x, v1 ) ∈ R ∨ (x, v1 ) ∈ S) ∧ . . . ∧ ((vm−1 , y) ∈ R ∨ (vm−1 , y) ∈ S)
Każda z par (x, v1 ), . . . , (vm−1 , y) należy do co najmniej jednej z relacji R i S. Wtedy
każda z par (y, vm−1 ), . . . , (v1 , x), na mocy symetrii, należy do co najmniej jednej z
relacji R i S. A więc:
(y, vm−1 ) ∈ R ∪ S ∧ . . . ∧ (v1 , x) ∈ R ∪ S
co oznacza, że (y, x) ∈ (R ∪ S)(m) .
Pokażemy przechodniość. Niech do przechodniego domknięcia R∪S należą pary (x, y)
i (y, z). Wówczas istnieją takie r, m ∈ N , że: (x, y) ∈ (R∪S)(r) oraz (y, z) ∈ (R∪S)(m) .
Stąd już bardzo łatwo pokazać, że (x, z) ∈ (R ∪ S)(r+m)
Zadanie 10.
Niech R będzie relacją równoważności z zbiorze skończonym X. Załóżmy, że elementy zbioru X ponumerowano w ten sposób, że jeśli xi oraz xj należą do pewnej klasy
abstrakcji relacji R oraz i < k < j, to xk należy do tej samej klasy abstrakcji. Opisać
postać macierzy relacji R przy takim uporządkowaniu elementów zbioru X.
Rozwiązanie.
Macierz relacji R ma postać:
x1 · · · xa v1 · · · vb z1 · · · zc · · ·
x1
..
.
1
..
.
···
...
1
..
.
0
..
.
xa
v1
..
.
1
0
..
.
···
···
...
1
0
..
.
0
1
..
.
vb
z1
..
.
0
0
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
1
0
..
.
zc
..
.
0
..
.
···
0
..
.
0
..
.
··· 0
. . . ..
.
··· 0
··· 1
. . . ..
.
0
..
.
··· 1
··· 0
.
..
. ..
··· 0
..
.
0
1
..
.
··· 0 ···
.
..
. ..
··· 0 ···
··· 0 ···
.
..
. ..
··· 0 ···
··· 1 ···
.
..
. ..
1
..
.
··· 1 ···
.. . .
.
.
0
0
..
.
przy założeniu że do klasy pierwszej klasy abstrakcji [x] należy a elementów, do klasy
abstrakcji [v] - b elementów, do klasy abstrakcji [z] - c elementów itd.
Zadanie 11.
Pokazać, że:
(a) Każdy element największy zbioru uporządkowanego jest maksymalny.
Niech a będzie elementem największym w uporządkowanym zbiorze X. Załóżmy
niewprost, że a nie jest elementem maksymalnym, wtedy:
_
a ¬ x ∧ a 6= x
x∈X
Ponieważ a jest elementem największym, to jest jednocześnie: a ¬ x i x ¬ a, co na
mocy słabej antysymetrii daje a = x. Sprzeczność.
(b) W zbiorze uporządkowanym może istnieć co najwyżej jeden element maksymalny.
Załóżmy, że a i b są elementami największymi w uporządkowanym zbiorze X. Wtedy:
^
x¬a ∧ x¬b
x∈X
A więc w szczególności (podstawiając x = b i x = a) dostajemy: b ¬ a i a ¬ b, co na
mocy słabej antysymetrii daje a = b.
(c) Każdy zbiór skończony posiada co najmniej jeden element maksymalny.
Jeśli X jest zbiorem jednoelementowym, to fakt ten jest oczywisty. Załóżmy, że powyższe zdanie zachodzi dla zbiorów uporządkowanych mających n elementów. Rozważmy zbiór uporządkowany (Y, ¬), taki, że Y ma n + 1 elementów. Ponieważ Y
jest zbiorem niepustym, to należy do niego pewien element y0 . Niech X = Y \ {y0 }.
Zauważmy, że (X, ¬) jest także zbiorem uporządkowanym, a więc na mocy założenia
indukcyjnego istnieje w X element maksymalny an . Rozważmy znów zbiór (Y, ¬).
W zbiorze tym zachodzi an ¬ y0 lub ∼ (an ¬ y0 ). W pierwszym przypadku y0 jest
szukanym elementem maksymalnym, w drugim jest nim element an .
(d) Każdy skończony i niepusty zbiór liniowo uporządkowany ma element największy.
Jeśli X jest zbiorem jednoelementowym, to fakt ten jest oczywisty. Załóżmy, że
powyższe zdanie zachodzi dla zbiorów liniowo uporządkowanych n-elementowych.
Rozważmy zbiór liniowo uporządkowany (Y, ¬), taki, że |Y | = n + 1. Ponieważ Y
jest zbiorem niepustym, to należy do niego pewien element y0 . Niech X = Y \ {y0 }.
Zauważmy, że (X, ¬) jest także zbiorem liniowo uporządkowanym, a więc na mocy
założenia indukcyjnego istnieje w X element największy an . Rozważmy znów zbiór
(Y, ¬). W zbiorze Y na mocy spójności zachodzi y0 ¬ an lub an ¬ y0 . Jeśli y0 ¬ an ,
to an jest elementem największym w Y . Jeśli zaś an ¬ y0 , to elementem największym
w Y jest element y0 .
Zadanie 12.
Spawdzić czy przechodnie domknięcie relacji zwrotnej i słabo antysymetrycznej jest
relacją porządkową.
Rozwiązanie:
NIE. Kontrprzykład. Rozpatrzmy zbiór X = {0, 1, 2, 3} i relację:
R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2)}
Wtedy do R ◦ R należy element (3, 1), więc do przechodniego domknięcia tej relacji
będą należeć (1, 3) i (3, 1). Oczywiście 1 6= 3, czyli nie zachodzi słaba antysymetria.
Copyright
c
Grzegorz Gierlasiński