Szkielet notatek wykładu

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1
PaweÃl Domański — szkicowe notatki do wykÃladu
WykÃlad 3
1. Liczby zespolone
Jak zauważyliśmy liczby wymierne nie wystarczaja̧ (i wiedzieli to już
starożytni Grecy) - okazuje sie jednak, że liczby rzeczywiste też nie wystarczaja̧ np. gdy chcemy rozwia̧zać równanie
x2 + 1 = 0
Paradoksalnie liczby rzeczywiste jest trudno skonstruować ale jak już je
mamy to Ãlatwo zdefiniować liczby zespolone, dla których powyższe równanie
ma rozwia̧zanie (a nawet dwa!).
Definicja 1 Zbiorem liczb zespolonych nazywamy zbiór par liczb rzeczywistych
(a, b) ∈ R2 i określamy na nich dziaÃlania:
(1)
(2)
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Oznaczenie: C od “complex”
Pierwsze dziaÃlanie jest oczywiste - drugie wygla̧da tajemniczo - spróbujmy
je wyjasnić.
a)
(a, 0) · (c, d) = (ac, ad)
(a, 0) · (c, 0) = (ac, 0)
Zatem jeśli utożsamimy liczbȩ rzeczywista̧ a z liczba̧ zespolona̧ (a, 0), to
dziaÃlania sa̧ zachowane: istotnie liczby zespolone sa̧ rozszerzeniem liczb rzeczywistych.
b)
(a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+b·(0, 1)
istotnie b · (0, d) = (b, 0) · (0, d) = (0, bd).
Zatem liczba i := (0, 1) jest szczególnie ważna:
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
czyli jest ona pierwiastkiem z −1!!!!! Sta̧d:
(a, b) = a + b · i
1
c) ReguÃla mnożenia:
(a, b)·(c, d) = (a+bi)·(c+di) = ac+bdi2 +adi+bci = ac−bd+(ad+bc)i = (ac−bd, ad+bc)
Mnożymy liczby jak wyrażenia i zastepujemy i2 przez −1.
Twierdzenie 2 Zbiór liczb zespolonych z dziaÃlaniami jest ciaÃlem tj. speÃlnia
aksjomaty liczb rzeczywistych (1)-(9), gdzie (0, 0) jest elementem neutralnym
dodawania a (1, 0) jest elementem neutralnym mnożenia. Nie jest ciaÃlem
uporza̧dkowanym.
Dowód jest dość żmudny i zrobiony w ksia̧żce SoÃltysiaka.
2. Terminologia
z = (a, b) = a + bi
• a czȩść rzeczywista: Re z;
• b czȩść urojona: Im z;
• (a, −b) = a − bi liczba sprzȩżona: z̄;
√
• a2 + b2 moduÃl: |z|;
2
Tablica 2.4
WÃlasności sprzȩżenia liczby
zespolonej
Jeśli z i w sa̧ liczbami zespolonymi, to
(1) z + w = z + w;
(2) z · w = z · w;
(3) z = z;
(4) z·z jest liczba rzeczywista̧ nieujemna̧;
(5) z + z jest liczba rzeczywista̧;
1 (z − z);
(6) Re z = 12 (z + z) i Im z = 2i
(7) z jest liczba rzeczywista̧ wtedy i tylko
wtedy, gdy z = z.
3
Tablica 2.5
WÃlasności moduÃlu liczby
zespolonej
Jeśli z i w sa̧ liczbami zespolonymi, to
(1) |z| > 0 dla z 6= 0, |0| = 0;
(2) |z| = |z|;
(3) |z|2 = z · z;
(4) | Re z| ≤ |z|, | Im z| ≤ |z|;
(5) |z · w| = |z| · |w|;
(6) |z + w| ≤ |z| + |w|.
4
3. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
L
à atwo zobaczyć, że liczby zespolone można interpretować jako punkty
pÃlaszczyzny gdzie oś pozioma to oś rzeczywista i wtedy pierwsza wspóÃlrzȩdna
punktu, to czȩść rzeczywista, a druga: czȩść urojona.
interpretacja:
• ModuÃl: odlegÃlość punktu od środka ukÃladu = dÃlugość wektora wodza̧cego
punktu;
• Argument: ka̧t miȩdzy wektorem wodza̧cym punktu i dodatnia̧ póÃlosia̧
osi rzeczywistej;
• Liczba sprzȩżona: punkt symetryczny wzglȩdem osi rzeczywistej.
• Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
• Dodawanie liczb zespolonych to dodawanie wektorów.
5
• Mnożenie liczb zespolonych
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ),
w = |w|(cos ψ + i sin ψ)
mnożymy:
z · w = |z| · |w|(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i[cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ])
= |z| · |w|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
Czyli: mnoża̧c - mnożymy moduÃly i dodajemy argumenty!
• Mnożenie przez liczbȩ o module 1 to obrót o argument mnożnika.
MoraÃl: Struktura liczb zespolonych pozwala na “arytmetyzacjȩ” geometrii
pÃlaszczyzny.
Pokaz mnożenia w pliku: “liczby zespolone w3.nb”.
6
4. Wzór Moivre’a
(cos ϕ + i sin ϕ)k = cos kϕ + i sin kϕ
a) Pozwala on obliczać Ãlatwo sinusy i cosinusy wielokrotności ka̧ta: np.
cos 2ϕ + i sin 2ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)2 = cos2 ϕ − sin2 ϕ + i2 cos ϕ sin ϕ
czyli
cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ,
sin ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ
b) Pierwiastki.
Niech dana bȩdzie liczba zespolona w = |w|(cos ψ + i sin ψ) 6= 0, szukamy
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) takiego, że z 2 = w, wówczas:
|w| = |z 2 | = |z|2
oraz
(
cos 2ϕ = cos ψ;
sin 2ϕ = sin ψ.
zatem:
2ϕ = ψ + 2kπ,
k ∈ Z dowolne
czyli:
ψ
ψ
,
lub
ϕ= +π
2
2
MoraÃl: Istnieja̧ dokÃladnie dwa różne pierwiastki kwadratowe dowolnej liczby
zespolonej w 6= 0.
ϕ=
Ogólniej: Istnieje dokÃladnie n pierwiastków n tego stopnia z dowolnej
liczby zespolonej w 6= 0.
Wykresu funkcji zespolonych i funkcja zespolona jako przeksztaÃlcenie
pÃlaszczyzny patrz plik: “funkcje zespolone1 w3.nb” oraz “funkcje zespolone2 w3.nb”
7
5. Przestrzeń wektorowa Rd
Rozpatrzmy przestrzeń Rd tj. przestrzeń cia̧gów d-elementowych liczb
rzeczywistych. Dla d = 2 możemy interpretować ja̧ jako pÃlaszczyznȩ, dla
d = 3 jako przestrzeń trójwymiarowa̧.
Elementy przestrzeni Rd nazywamy wektorami a liczby rzeczywiste a
skalarami (uwaga ta sama umowa stosuje siȩ dla Cd , wtedy liczby zespolone
to skalary).
Dla d > 2 nie wprowadzamy mnożenia, ale nadal możemy dodawać i
mnożyć przez liczby rzeczywiste:
(x1 , x2 , . . . , xd ) + (y1 , y2 , . . . , yd ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xd + yd ),
a(x1 , x2 , . . . , xd ) = (ax1 , ax2 , . . . , axd ).
Z algebry wiemy, że Rd z powyższymi dziaÃlaniami to tzw. przestrzeń
liniowa tj. wszystkie znane Państwu wÃlasności dziaÃlań na wektorach sa̧
speÃlnione.
6. Iloczyn skalarny wektorów
Odta̧d zakÃladamy, że:
x = (x1 , x2 , . . . , xd ),
y = (y1 , y2 , . . . , yd )
Wprowadza sie jednak pewien iloczyn wektorów: iloczyn skalarny który
jako wynik daje skalar:
hx, yi := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xd yd
8
Tablica 3.1
WÃlasności iloczynu skalarnego
Jeśli x, y, u, v sa̧ wektorami w przestrzeni
Rd, a α jest liczba̧ rzeczywista̧, to
(1) hx, yi = hy, xi — symetria;
(2) hα · x, yi = hx, α · yi = α · hx, yi
hu + v, yi = hu, yi + hv, yi
hx, u + vi = hx, ui + hx, vi
— dwuliniowość;
(3) hx, xi ≥ 0 oraz hx, xi = 0 wtedy i
tylko wtedy, gdy x = 0
— dodatnia określoność.
9
Ponieważ hx, xi = x21 + x22 + · · · + x2d ≥ 0 wiȩc można zdefiniować normȩ
(euklidesowa̧) wektora:
q
p
kxk = hx, xi = x21 + x22 + · · · + x2d
która np. dla d = 3 jest zwykÃla̧ dÃlugościa̧ wektora!
Z twierdzenia cosinusów mamy:
kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2kxk · kyk cos α
Z definicji iloczynu skalarnego i wÃlasności jego:
kx − yk2 = hx − y, x − yi = hx, x − yi − hy, x − yi
= hx, xi − hx, yi − hy, xi + hy, yi = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi
Porównuja̧c te dwa wzory dostajemy:
hx, yi = kxk · kyk cos α
Wniosek 3
x⊥y ⇔ hx, yi = 0
10
Tablica 3.2
WÃlasności normy euklidesowej
w Rd
Jeśli x, y, z sa̧ wektorami w przestrzeni
Rd, a α jest liczba̧ rzeczywista̧, to
(1) kxk ≥ 0;
(2) kxk = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
x = 0;
(3) kα · xk = |α| · kxk;
(4) |hx, yi| ≤ kxk · kyk;
(5) kx + yk ≤ kxk + kyk — nierówność
trójka̧ta;
(6) kx − yk ≤ kx − zk + kz − yk;
(7) | kxk − kyk | ≤ kx−yk — odwrotna
nierówność trójka̧ta.
11
7. Nierówność Schwartza
Twierdzenie 4 Dla dowolnych wektorów x, y w Rd zachodzi:
|hx, yi| ≤ kxk · kyk
Lub równoważnie dla dowolnych liczb zespolonych a1 , . . . , ad , b1 , . . . , bd zachodzi:
¯ j=d
¯2 Ã j=d
!
! Ã j=d
¯X
¯
X
X
¯
¯
|aj |2 ·
|bj |2
aj bj ¯ ≤
¯
¯
¯
j=1
j=1
j=1
Dowód w ksia̧żce SoÃltysiaka.
Wniosek 5 Nierównośc trójka̧ta:
kx + yk ≤ kxk + kyk.
Dowód:
kx + yk2 = hx + y, x + yi =
= hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi =
= kxk2 + 2hx, yi + kyk2
≤ kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2
Nier. Schwartza
= (kxk + kyk)2
12
8. Metryka
Metryka czyli odlegÃlość zostaÃla najpierw wprowadzona na pÃlaszczyżnie i
w przestrzeni trójwymiarowej - jest to tzw. metryka euklidesowa:
d(x, y) := kx − yk
Zbadajmy jej wÃlasności:
• d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
• d(x, y) = d(y, x) (symetria);
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nierówność trójka̧ta).
Wszystkie te wÃlasności wynikaja̧ z wÃlasności normy np. ostatnia z nierówności
trójka̧ta.
Definicja 6 Weźmy teraz dowolny zbiór X np. liczb, zdarzeń, sÃlów, formuÃl,
stoÃlów i wprowadźmy w nim funkcjȩ d speÃlniaja̧ca̧ warunki powyżej wóczas
para (X, d) to tzw. przestrzeń metryczna.
W przestrzeni metrycznej możemy mierzyć odlegÃlość elementów tej przestrzeni
czyli możemy powiedzieć które punkty sa̧ bliżej a które dalej - wybór konkretnej metryki=odlegÃlości zależy od zagadnienia do którego chcemy jej użyć.
13
PrzykÃlady:
• metryka na zbiorze sÃlów: odlegÃlość dwóch sÃlów to ilość pozycji w
sÃlowach które siȩ różnia̧ (np. d(”aba”, ”ada”) = 1, d(”aba”, ”a”) = 2
itp.). Metryka mierzy “podobieństwo sÃlów”.
• metryka na zbiorze cia̧gów rzeczywistych 10-elementowych. Interpretujemy te cia̧gi jako pomiary pewnej wielkości w 10 kluczowych momentach pewnego procesu. OdlegÃlośc jest nam potrzebna do sprawdzenia
jak bliska jest symulacja procesu do procesu przebiegaja̧cego w warunkach doświadczalnych. ZaÃlożmy, że ta wielkość to naprȩżenia w pewnym
elemencie maszyny. Oczywiście jeśli wartość naprȩżenia przekroczy
pewna̧ wartość graniczna̧, maszyna siȩ zepsuje. Zatem prawidÃlowa metryka to:
d(x, y) = max(|x1 − y1 |, . . . , max |x10 − y10 |)
Jeśli jednak mierzona wielkość to nakÃlady w poszczególnych latach, to
lepsza jest metryka:
j=10
d(x, y) =
X
|xj − yj |
j=1
mierza̧ca sumȩ bÃledów oceny nakÃladów.
Obrazki z metrykami patrz plik:“metryki w3.nb”.
14