∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫
Transkrypt
∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫
1. Dla jakich wartości x szereg jest zbieżny? Oblicz sumę dla x = x0 ∞ ∑ (1 − ln x )n , n =0 3 x0 = e 2 2. Zbadaj warunkową i bezwzględną zbieżność szeregu liczbowego ∞ cos(n 2 + 1) (4p) ∑ (− 1)n n(n + 1) n =1 3. Zbadaj zbieżność korzystając z wybranych kryteriów (napisz z których). ∞ ∑ 2 + 4n+2 (6n++...1)+ 2n (4p) n =1 ∞ 4. Znajdź przedział zbieżności szeregu potęgowego 2n ∑ nx2 4 n n =1 5. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję f (x) i podaj przedział zbieżności otrzymanego ( ) szeregu, gdzie f ( x) = ln 1 + x 3 6. Losowo ustawiamy 5 chłopców i 4 dziewczyny w rzędzie. Oblicz prawdopodobieństwo, że chłopcy i dziewczyny będą stali na przemian. 7. Rzucono pięcioma kostkami do gry. Niech X oznacza liczbę jedynek lub szóstek, które wypadły. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X oraz wartość średnią i i wariancję. (7p) 8. Dla jakiej wartości a funkcja f (x) jest gęstością prawdopodobieństwa. Znajdź i przedstaw graficznie dystrybuantę tej zmiennej. 0; x ≤ −2 1 f ( x) = ; − 2 < x ≤ 0 4 −2 x ae ; x>0 1 9. Oblicz wartość średnią i wariancję zmiennej losowej o gęstości f ( x) = , π 1+ x2 x ∈ R. ( ) 0; x < 0 10. Udowodnij, że funkcja f ( x) = −5 x , jest gęstością prawdopodobieństwa. 5e ; x ≥ 0 Znajdź dystrybuantę tej zmiennej. WZORY ∞ E ( X ) = ∑ x i pi E( X ) = i =1 D( X ) = ∞ ∫ (x − E ( X ) ) −∞ ∞ ∞ ∫ xf ( x)dx D ( X ) = ∑ ( x i − E ( X ) )2 p i −∞ 2 f ( x)dx D( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) i =1